Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общие вопросы методики обучения математике в начальных классах. Учебно-методическое пособие
.pdf
81
а) приобретение учащимися определенной системы математических
фактов и идей;
б) овладение определенными математическими умениями и навы-
ками;
в) развитие математического мышления.
До недавнего времени считалось, что успешное решение первой и
второй из этих задач автоматически повлечет за собой успешное решение
и третьей задачи, т.е. предполагалось, что развитие математического мыш-
ления происходит в процессе обучения математике стихийно. В какой-то
мере это верно.
Опыты многих отечественных и зарубежных психологов показали,
что математическое мышление является не только одним из важнейших
компонентов процесса познавательной деятельности учащихся, но и таким
компонентом, без целенаправленного развития которого невозможно достичь эффективных результатов в обучении системе математических зна-
ний, умений и навыков.
Советский психолог А.Н. Леонтьев неоднократно подчеркивал, что
обучение и умственное развитие ребенка тесно связаны между собой, и хотя ребенок, обучаясь, развивается, однако умственное развитие его относительно самостоятельно. Оказывается, что математические понятия не формируются у учащихся помимо познавательного процесса, а постепенно
конструируются с различной степенью полноты, на отдельных этапах обу-
чения.
Иными словами, учащийся со слабо развитым математическим
мышлением не может усвоить (понять) ту или иную математическую
идею, а способен разве только формально запомнить относящиеся к ней
факты. Чтобы усвоить эту идею по существу, он должен развить в себе
способность к определенным умственным операциям, при наличии которых он может активно и сознательно воспринимать новое, явно или неявно
участвуя в его созидании.
Развитие математического мышления предполагает не столько развитие у учащихся способности к овладению фиксированными операциями
и приемами, сколько способность к обнаружению новых связей, овладение
общими приемами, могущими привести к решению новых задач, к овладению новыми знаниями. Об этом также убедительно свидетельствуют исследования наших и зарубежных психологов, согласно которым в процессе
обучения математике необходимо не только целенаправленно развивать
математическое мышление учащихся, но развивать его всесторонне, с дос-
таточной степенью глубины и общности.
Общие приемы мышления формируются на основе овладения част-
ными приемами мышления, которые тесно связаны с конкретным содер-
жанием изучаемого материала.
Так, например, обучаясь решению конкретных текстовых задач ме-
82
тодом уравнения (задачи на движение и т.д.), учащиеся на основе овладе-
ния умениями составлять уравнение по условию задач данных конкретных
типов овладевают одним из общих приемов решения задач – методом со-
ставления уравнения. Этот прием решения задач является своеобразной
формой аналитического мышления. Таким образом, сформировавшись на
некотором конкретном математическом материале, общие приемы отличаются универсальностью, а также возможностью их переноса в другие
сферы математической деятельности.
Математическое мышление естественно полностью отвечает той характеристике, которая присуща мышлению вообще. Вместе с тем эта разновидность мышления имеет свои специфические черты и особенности,
которые обусловлены спецификой изучаемых при этом объектов, а также
спецификой методов их изучения.
Прежде всего, понятие математического мышления относится (как
вид к роду) к мышлению естественнонаучному.
Естественнонаучное мышление характеризуется:
1) приобретением естественнонаучной информации и знаний (знани-
ем фактов, специальных терминов, умением воспроизводить устно законы
и правила, определять форму, структуру, процессы и их функции, умением
объяснять значение закона);
2) формированием умения пользоваться естественнонаучными знаниями на практике, обогащением жизненного опыта путем использования
в быту знания законов природы, умением различать факты и гипотезы,
ставить эксперименты и проверять выводы, делать обобщения на основе
экспериментальных данных.
Так как мышление неотделимо от деятельности, понятно, что и есте-
ственнонаучное мышление может быть охарактеризовано и со стороны со-
ответствующей ему методики.
Основными элементами естественнонаучной методики являются:
1) понимание проблемы;
2) точное определение ее и отграничение от других проблем;
3) изучение всех ситуаций, связанных с данной проблемой;
4) планирование ее решения, нахождение наилучшего способа реше-
ния проблемы;
5) выбор наиболее вероятной гипотезы;
6) планирование экспериментов по проверке гипотезы;
7) проведение эксперимента по проверке гипотезы;
8) проведение контрольных экспериментов;
9) формулировка выводов и их обоснование;
10) распространение выводов на новые ситуации, в которых дейст-
вуют те же факторы.
Все эти элементы представляют собой основу для применения раз-
личных методов в преподавании естественных наук.
83
Обладая всеми чертами естественнонаучного мышления, математи-
ческое мышление, в свою очередь, имеет и свои особенности.
Характеристику математического мышления целесообразно рас-
сматривать в следующих аспектах:
а) содержание (основные типы математического мышления);
б) математическая деятельность (методы научного, в частности – ма-
тематического исследования;
в) форма (качества мышления, определяющие стиль мышления);
г) субъективные свойства характера человека, занимающегося мате-
матикой (нравственные качества).
2. Можно выделить следующие основные компоненты математи-
ческого мышления: конкретное мышление, абстрактное мышление, интуитивное мышление, функциональное мышление, диалектическое мыш-
ление, творческое мышление.
Конкретное (предметное) мышление – это мышление в тесном
взаимодействии с конкретной моделью объекта.
Различаются две формы конкретного мышления:
1) неоперативное (наблюдение, чувственное восприятие);
2) оперативное (непосредственные действия с конкретной моделью
объекта).
Неоперативное конкретное мышление чаще всего проявляется у дошкольников и младших школьников, которые мыслят лишь наглядными
образами, воспринимая мир лишь на уровне представлений. То, что
школьники на этом уровне развития не владеют понятиями, ярко иллюст-
рируется опытами психологов школы Ж. Пиаже. Рассмотрим два из них.
Детям демонстрируются два сосуда одинаковой формы и размеров,
содержащие поровну темную жидкость. Дети легко устанавливают равен-
ство жидкостей в первом и втором сосуде.
Далее, на виду у детей жидкость из одного сосуда переливают в дру-
гой более высокий и узкий и предлагают сравнить количество жидкости в
этом сосуде и оставшемся нетронутым. Дети утверждают, что в новом со-
суде жидкости стало больше.
2. Детям демонстрируют цветы: васильки и маки (например, 20 ма-
ков и 3 василька) и спрашивают, чего больше: цветов или маков? И хотя
дети как будто бы знают, что и васильки и маки суть цветы, они отвечают,
что маков больше.
Дело в том, что неоперативное мышление детей еще непосредствен-
но и полностью подчинено их восприятию, и потому они пока не могут от-
влечься, абстрагироваться с помощью понятий от некоторых наиболее
бросающихся в глаза свойств рассматриваемого предмета. В частности,
думая о первом сосуде (см. первый опыт Ж. Пиаже), дети смотрят на новый сосуд и им представляется, что жидкость в нем занимает больше места, чем раньше (уровень жидкости стал выше). Их мышление, протекаю-
84
щее в форме наглядных образов, приводит к выводу (следуя за восприяти-
ем), что жидкости в сосудах стало не поровну.
Вместе с тем Ж. Пиаже утверждает (и это утверждение согласуется с
мнениями многих отечественных психологов), что оперативное конкретное мышление является более действенным для подготовки детей к овладению абстрактными понятиями. Самостоятельная мыслительная деятельность выделяется именно по мере развития практической деятельности,
лежащей в основе развивающейся психики ребенка.
Конкретное мышление играет большую роль в образовании абстрактных понятий, в конструировании особых свойств математического
мышления, развитие которых способствует познанию математических аб-
стракций.
Поэтому психологи рекомендуют широко использовать различные
дидактические пособия (например, индивидуальный счетный материал), с
которыми школьники могут действовать непосредственно в процессе обучения. В процессе обучения математике роль конкретного мышления особенно велика в младших классах. В целях развития у учащихся этого типа
мышления, помимо традиционного применения наглядных средств в обучении, необходимо учить школьников общим рассуждениям на конкрет-
ных (частных) примерах.
Содействуя развитию у учащихся неоперативного конкретного
мышления, полезно помнить о том, что постоянное обращение к нагляд-
ным представлениям может иногда оказаться вредным.
Абстрактное мышление тесно связано с мыслительной операцией,
называемой абстрагированием. Напомним, что абстрагирование имеет
двойственный характер: негативный (отвлекаются от некоторых сторон
или свойств изучаемого объекта) и позитивный (выделяют определенные
стороны или свойства этого же объекта, подлежащие изучению).
Поэтому, абстрактным мышлением называют мышление, которое
характеризуется умением мысленно отвлечься от конкретного содержания
изучаемого объекта в пользу его общих свойств, подлежащих изучению.
Абстрактное мышление может проявляться в процессе обучения ма-
тематике:
а) в явном виде. Например, рассматривая в понятие геометрической
фигуры, мы явно отвлекаемся от всех свойств реальных фигур, кроме
формы;
б) в неявном виде. Например, при счете предметов конкретного
множества мы неявно отвлекаемся от свойств каждого отдельного предме-
та, полагая, что все предметы одинаковы (тождественны).
Абстрактное мышление можно подразделить на: аналитическое
мышление, логическое мышление и пространственно-схематическое мышление.
85
Аналитическое мышление характеризуется четкостью отдельных
этапов в познании, полным осознанием как его содержания, так и приме-
няемых операций. Оно проявляется в процессе обучения через:
а) аналитический способ доказательства теорем и решения задач
(чтобы узнать, надо знать);
б) решение задач методом уравнений;
в) исследование результата решения некоторой задачи и т.п.
В свою очередь, побуждая школьников к упомянутой выше математической деятельности, учитель может способствовать развитию у уча-
щихся аналитического мышления.
Аналитическое мышление не выступает изолированно от других видов абстрактного мышления; на отдельных этапах мышления оно может
лишь превалировать над теми видами, с которыми оно выступает совмест-
но. Этот вид мышления тесно связан с мыслительной операцией анализа.
Психологической наукой установлено, что основные логические
структуры мышления формируются примерно в возрасте от 5 до 11 лет.
Запоздалое формирование этих структур протекает с большими трудностями и часто остается незавершенным. Это подтвердили исследования
И.Ф. Талызиной, Н.А. Подгорецкой, И.Л. Никольской, А.А. Столяра и др.
Истоки ошибок в логическом мышлении обусловлены спонтанным
усвоением логических знаний в начальной школе, и не все дети вообще
овладевают ими, так как оно в современной практике обучения не является
предметом специального обучения.
В психолого-методической литературе нет единого мнения о том,
когда у детей появляется способность к формированию и развитию логических операций. В современной психологии существует два направления
исследований возникновения и развития логических структур мышления у
детей.
Первое из них связано с исследованиями Ж. Пиаже, Б. Инельдера и
др. Важным аспектом разработанной ими концепции является положение о
появлении способности осуществления тех или иных логических опера-
ций, которая обусловлена спонтанным развитием психики детей.
Второе направление связано с исследованиями П.П. Блонского,
Л.С. Выготского, С.Л. Рубинштейна, А.Н. Леонтьева, П.Я. Гальперина,
Д.Б. Эльконина, В.В. Давыдова и др. Данные авторы считают, что появление логических операций в опыте индивида детерминируется передачей
знаний и логического опыта в обобщении и обучении. Второе положение
этой теории заключается в утверждении того, что различные интеллектуальные деятельности, в том числе и логическая, должны выступать в процессе обучения как предметы специального усвоения. Для знаний, подле-
жащих усвоению, определяются адекватные средства обучения.
Можно выделить следующие группы логических умений, подлежащих формированию в 1-4 классах:
86
• умение выделять признаки предметов и оперировать ими;
• умение классификацировать;
• умение дать определение;
• умение понимать конкретный смысл и правильно употреблять ло-
гические слова;
• умение проводить простейшие умозаключения и доказательства.
Для того чтобы система упражнений, направленная на пропедевтическую работу по формированию и развитию логических умений у младших школьников, помогла добиться ощутимых результатов в формирова-
нии этих умений, требуется соблюдать следующие условия:
• обучение должно находиться в тесной взаимосвязи с возрастными
особенностями обучаемых;
• связь предлагаемых заданий с изучаемым материалом;
• постепенное возрастание степени абстрактности материала, на ко-
тором даются задания;
• использование разнообразного материала, представляющего одно и
то же логическое умение (логическую форму);
• постепенное усложнение требуемой формы выполнения заданий от
предметно-практической к предметно-образной, а затем к вербальной.
В современной практике обучения в начальной школе можно выделить несколько направлений по формированию и развитию логического
мышления младших школьников.
1. Введение элементов логики в изучение базовых предметов.
2. Введение самостоятельных курсов, в которых приемы логического
мышления выступают в качестве объекта специального формирования на
базе новых (дополнительных) дисциплин.
3. Введение курса логики как самостоятельного учебного предмета.
При обучении, в частности математике, младшие школьники должны
овладеть определенными способами деятельности. Владение этими спосо-
бами деятельности проявляется в умениях и навыках. Умение – это овладение соответствующими способами деятельности.
Из рассмотрения результатов психолого-педагогических исследова-
ний, посвященных становлению и развитию логического мышления у де-
тей, вытекают следующие выводы; развитие логического мышления непо-
средственно связано с процессом обучения; формирование первоначальных логических умений при определенных условиях может успешно осуществляться у детей дошкольного и младшего школьного возраста; процесс формирования общелогических умений как компонента интеллектуальной культуры должен быть целенаправленным, непрерывным, концентрическим и связанным с процессом обучения школьным дисциплинам на
всех его ступенях.
Необходимым условием полноценного формирования интеллекту-
альной культуры современного человека и ее базовым компонентом явля-
87
ется логическая грамотность, т.е. свободное владение комплексом элементарных логических понятий и действий, составляющих азбуку логического
мышления и необходимый базис его развития. Понятие "логическая грамотность" было уточнено и впервые определено как термин И.Л. Николь-
ской (1973).
Логические умения как инструмент мышления естественно формировать в процессе обучения математике, а при обучении другим предметам
их следует целенаправленно и систематически использовать.
Развитию логического мышления учащихся I-IV классов могут способствовать, например, следующие блоки заданий:
1 блок. Задания на выделение признаков предметов и опериро-
вание ими. Работа по выделению признаков непосредственно связана со
сравнением двух или нескольких предметов (объектов), выяснением их
различий и сходства. Перед школьниками ставятся специальные задачи по
рассмотрению объектов с разных сторон для обнаружения их признаков,
узнаванию объектов по данным признакам, самостоятельное составление
их описаний.
2 блок. Задания на усвоение логических слов "все", "некото-
рые", "любой", "каждый", "и", "или", "не" и соответствующих им
логических операций. Работу по усвоению значения логических слов це-
лесообразно проводить по следующим направлениям: а) уточнение смысла
логических слов с помощью моделирования на конкретных предметах;
б) подбор синонимов к логическим словам и тренировка в их правильном
употреблении.
3 блок. Задания на формирование логического действия "клас-
сификация". Работу по формированию соответствующего умения целесо-
образно начинать с ознакомления младших школьников с отдельными
действиями, связанным с умением классифицировать: подбирать название
для группы предметов, объединенных общим свойством, группировать их
по данному признаку, находить признак, по которому произведена группировка, самостоятельно выбирать основание (признак) для группировки,
распознавать правильные группировки.
4 блок. Задания на формирование логического действия "опре-
деление". Система заданий составлена таким образом, чтобы дети научились выполнять на элементарном уровне следующие операции, связанные
с определением: установление родо-видовых отношений, выделение видо-
вого отличия, составление определений через род и видовое отличие с ис-
пользованием заданного набора слов и без него.
5 блок. Задания на формирование умений проводить простейшие
умозаключения и доказательства. Работу, связанную с проведением
простейших умозаключений и доказательств, рекомендуется проводить по
следующим направлениям: а) умозаключения, проводимые по аналогии;
88
б) умозаключения, проводимые по индукции; в) дедуктивные умозаключения; г) доказательства и опровержения утверждений с помощью примеров
и контрпримеров.
Функциональное мышление характеризуется осознанием общих и
частных связей и отношений между математическими объектами или их
свойствами и умением их использовать.
Как известно, одним из центральных требований начальной стадии
международного движения за реформу математического образования (возглавлявшегося Ф. Клейном) было требование обращать особое внимание
на развитие у школьников функционального мышления, наиболее харак-
терными чертами которого являются:
а) представление математических объектов в движении, изменении;
б) операционно-действенный подход к математическим фактам, оперирование причинно-следственными связями;
в) склонность к содержательным интерпретациям математических
фактов, повышенное внимание к прикладным аспектам математики.
Диалектическое мышление характеризуется осознанием изменчивости, двойственности, противоречивости, единства, взаимосвязи и взаимозависимости понятий и соотношений. Мыслить диалектически, кроме
того, означает проявлять способность к нешаблонному, разностороннему
подходу к изучению объектов и явлений, к решению возникающих при
этом проблем.
Для этого типа мышления характерны также понимание различий
между достоверными и вероятностными (правдоподобными) умозаключениями и осознание единства и противоположности в проявлении конечно-
го и бесконечного.
Заметим, что диалектическое мышление является прежде всего естественнонаучным мышлением; его отношение к мышлению математическому не укладывается в иерархию соподчиненное. Для структурного
мышления характерно проявление способности видеть общие свойства и
отношения в объектах самой разнообразной природы, осознание универ-
сальности различных математических соотношений.
Мышление, называемое творческим, включает в себя не только все
перечисленные выше компоненты мышления, но и то, что называют мате-
матическим стилем мышления.
На вопрос о том, что такое творческое мышление, какую деятельность человека следует называть творческой, в настоящее время однозначного ответа нет. Выявлена, пожалуй, лишь одна бесспорная характеристи-
ка деятельности, называемая творческой, – возникновение в результате
этой деятельности некоторого нового знания; однако и эта характеристика
является односторонней, так как выражает определенное свойство продук-
та деятельности, а не самой деятельности.
Устанавливая особенности творческого мышления, можно выде-
89
лить следующие его признаки:
1) продукт творческой мыслительной деятельности должен обладать
новизной и определенной ценностью как для самого человека, так и для
других людей;
2) сам мыслительный процесс также должен отличаться новизной,
проявляющейся в значительном преобразовании ранее принятых идей, а
также в полном или частичном отказе от этих идей;
3) мыслительный творческий процесс должен обладать сильной мо-
тивацией и устойчивостью, т.е. иметь место либо в течение значительного
периода времени, либо проходить с большой интенсивностью.
Процесс обучения математике по существу является для учащихся
открытием заново того, что уже известно; несмотря на это, его можно назвать субъективно творческим, хотя результаты познавательной деятель-
ности школьника не являются новыми.
Таким образом, продукт мышления может быть и не творческим, а
само мышление – творческим.
В последнее время творческое мышление и творческую деятельность
человека характеризуют посредством так называемой эвристической дея-
тельности.
Основным средством проявления творческой деятельности в процес-
се обучения математике является решение познавательных учебных задач.
В связи с этим полезным представляется определение творческого мышления, данное Д. Пойа «Мышление можно назвать продуктивным, если
оно приводит к решению данной конкретной задачи; мышление можно назвать творческим, если оно создает средства для решения будущих задач.
Чем больше число и чем шире разнообразие задач, к которым применимы
созданные средства, тем выше творческий уровень мышления.
При характеристике математического мышления целесообразно обращать внимание на воспитание у учащихся так называемого математиче-
ского стиля мышления.
Проиллюстрируем конкретными примерами из практики школьного
обучения некоторые качества мышления, образующие математический
стиль мышления.
1) Гибкость мышления характеризуется:
способностью к целесообразному варьированию способов
действия;
легкостью перестройки системы знаний, умений и навыков при
изменении условий действия;
легкостью перехода от одного способа действия к другому, умени-
ем выходить за границы привычного способа действия.
В качестве примера появления гибкости мышления может служить
успешное решение младшими школьниками такой, например, задачи:
«У двух зрячих один брат слепой, но у слепого нет зрячих братьев. Как это
90
может быть?»
Из первой фразы следует как будто речь идет только о братьях, тогда
как на самом деле зрячими оказываются сестры. Пока мысль движется в
«привычной колее», решение оказывается невозможным.
Антиподом гибкости мышления является косность мышления.
2) Активность мышления характеризуется постоянством усилий,
направленных на решение некоторой проблемы, желанием обязательно
решить эту проблему, изучить различные подходы к ее решению, исследо-
вать различные варианты постановки этой проблемы в зависимости от изменяющихся условий и т.д.
Развитию этого качества мышления у учащихся способствует рассмотрение различных способов решения одной и той же задачи, различные
определения одного и того же математического понятия, обращение к ис-
следованию полученного результата и т.п.
Так, например, учащиеся проявляют определенную активность
мышления, если спросят учителя: «Почему на нуль делить нельзя?».
Учитель будет способствовать развитию у школьников активности
мышления, если сумеет убедить их в том, что принятое в математике усло-
вие о невозможности деления на нуль разумно.
Качество мышления, которое является антиподом данному качеству,
есть пассивность мышления.
3) Целенаправленность мышления характеризуется стремлением
осуществлять выбор действий при решении какой-либо проблемы, посто-
янно ориентируясь на поставленную этой проблемой цель, а также стрем-
лением к поиску кратчайших путей ее решения.
Наличие у школьников этого качества мышления особенно важно
при поиске плана решения математических задач, изучении нового мате-
риала и т.д.
Этому способствуют специально подобранные учителем задачи,
вводящие в изучение новой темы, посредством которых перед учащимися
раскрывается целесообразность ее изучения и последовательность рас-
смотрения относящихся к ней вопросов.
Целенаправленность мышления дает возможность более экономичного решения многих задач, которые обычным способом решаются если не
сложно, то слишком долго.
Целенаправленность мышления тесно связана с таким нравственным
качеством личности, как любознательность.
От любознательности следует отличать любопытство.
Первое из этих качеств (любознательность) обогащает знания и опыт
человека именно в силу своей целенаправленности; любопытство, превращаясь в самоцель, гасит стремление человека к познанию, как только оно
удовлетворено. Поэтому в обучении математике следует всячески поощрять любознательность учащихся и не поощрять любопытства. Антиподом
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]