Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия. Учебное пособие по курсу Начертательная геометрия.pdf
линиях каркаса поверхности.
В геометрии выделяют непрерывно топографические
поверхности, образованные непрерывным множеством
линий уровня. Эти поверхности широко применяют в
авиации, судостроении, автомобилестроении,
архитектуре и др.
Определитель такой поверхности состоит из
проекций однопараметрического семейства линий уровня
в какой-либо одной плоскости проекций и закона
распределения линий семейства в пространстве (рисунок
8.20).
Порядок конструирования такой поверхности
следующий.
В одной из плоскостей проекции, задается
однопараметрическое семейство линий q.
Затем в пространстве выбирается распределяющая
линия m.
И последнее, устанавливается взаимно однозначное
соответствие между точками "распределяющей" линии m и
каждой линией семейства qi.
8.4 Поверхности и позиционные задачи
Вопрос о принадлежности точки и линии поверхности
был рассмотрен выше. Остановимся на задачах по
определению линии пересечения поверхностей и точек
пересечения линии с поверхностью.
8.4.1 Сечение поверхности плоскостью
Начнем с рассмотрения пересечения с варианта
пересечения многогранника плоскостью.
Рисунок 8.21
Для построения сечения существуют два подхода:
фиксируются точки пересечения ребер многогранника с
секущей плоскостью или определяются линии
пересечения граней с секущей плоскостью.
В сечении четырехгранной призмы плоскостью
получается четырехугольник (рисунок 8.21). Вершины
этого четырехугольника можно рассматривать, как точки
пересечения ребер призмы с плоскостью Р.
В силу того, что призма занимает положение
проецирующей поверхности, все ее ребра суть
проецирующие прямые (в соответствии с рисунком 8.21 горизонтально - проецирующие). И задача сводится к
отысканию точек пересечения (1, 2, 3 и 4)
проецирующих прямых (ребер) с плоскостью Р.
Объединение соответствующих проекций позволяет
получить проекции плоского сечения.
Рисунок 8.22
Аналогично может быть получено сечение пирамиды
плоскостью. Например, пирамиды АВСS плоскостью
общего положения Р (рисунок 8.22).
В силу того, что ребра пирамиды являются линиями
общего положения, задача сводится к отысканию точек
пересечения линий общего положения АS, ВS и СS с
плоскостью Р.
Объединение соответствующих проекций позволяет
получить проекции плоского сечения
Представление поверхностей вращения, как
многогранников с бесчисленным числом сторон, приводит
к мысли о том, что сечение поверхности вращения
плоскостью может быть получено аналогичным же
образом.
Сечением такого цилиндра плоскостью будет эллипс,
в случае прохождения плоскости через ось вращения
вырожденный (две параллельные прямые).
∆
123.
Рисунок 8.23 - Сечение цилиндра плоскостью
Рассмотрим возможность построения сечения
проецирующего цилиндра Σ плоскостью общего положения
Р (рисунок 8.23). В силу начальных условий, одна
проекция сечения уже определена (1
случае задача сводится к отысканию точек сечения,
лежащих на поверхности цилиндра.
Большая ось эллипса лежит в горизонтально
проецирующей плоскости Q
вращения.
Варианты вида линий пересечения конуса плоскостью
рассмотрены выше (в разделе 4.3). Здесь
рассматривается механизм построения линии на
поверхности конуса. Пусть конус вращения
пересекается плоскостью общего положения Р. В
соответствии с рисунком 7.5 в сечении должна
получиться замкнутая кривая - эллипс.
Крайние точки кривой, лежат на очерковых
образующих, и могут быть найдены, как точки их
(образующих) пересечения с плоскостью Р.
Большая ось эллипса определится аналогично
предыдущей задаче. Она лежит в горизонтально-
⊥
P
, проходящей через ось
1
,…, 121). В этом
1
Σ
проецирующей плоскости Q
вращения конуса на линии пересечения Q и P .
⊥
P
, проходящей через ось
1
Рисунок 8.24
Промежуточные точки определятся во
вспомогательных плоскостях (R
) перпендикулярных оси
i
вращения.
Сопряженная "малая" ось эллипса 56 может быть
получена в плоскости R проходящей через точку О
середину отрезка 12 (большая ось эллипса).
В общем случае промежуточные точки могут быть
найдены и другим способом.
Подводя итог рассмотренным решениям, можно
отметить, что линии пересечения строятся по точкам,
которые на поверхности можно зафиксировать, введя
дополнительные плоскости. Этот подход и определяет
общую методику построения линии пересечения
поверхностей.
8.4.2 Способ секущих плоскостей
Этот способ применяют для построения линии
пересечения поверхностей, позволяющих получать
(одновременно) во вводимых секущих плоскостях,
графически простые линии (прямые или окружности). Это
утверждение может быть проиллюстрировано на примере
пересечения цилиндра ∆ и конуса Ф рисунок 8.25.
Рисунок 8.25
Здесь в качестве вспомогательных секущих
плоскостей выступают горизонтальные плоскости уровня
R
. На поверхности конуса (в силу того, что они
i
перпендикулярны оси вращения) эти плоскости выделяют
окружности, а на поверхности цилиндра параллельные
прямые (образующие).
Экстремальные (высшая и низшая) точки А, В линии
пересечения определяют в пересечении фронтальных
очерков. Граница видимости определится меридианом
конуса вращения.
Текущие точки линии пересечения определятся, как
результат пересечения соответствующих окружностей и
прямых в секущих плоскостях Ri.
8.4.3 Способ секущих сфер
Рисунок 8.26
Этот способ базируется на том, что две соосные
поверхности вращения пересекаются по окружности,
лежащей в плоскости перпендикулярной общей оси
вращения.
Сфера будет соосна с любой поверхностью вращения,
если ее центр лежит на оси вращения этой поверхности
(рисунок 8.26). Это и определяет возможность
использовать сферу в качестве вспомогательной секущей
поверхности.
Условием применения сферы в этом качестве
является следующее: рассматриваются поверхности
вращения, их оси должны пересекаться в одной точке
центре секущих сфер.
При этом желательно, чтобы плоскость,
образованная пересечением осей была бы параллельна
одной из плоскостей проекции.
Рисунок 8.27
Линия пересечения двух цилиндров Ф и ∆ (R
>R∆)
Ф
может быть определена с помощью метода секущих сфер.
Это определяется тем, что выполняются все
поставленные выше условия.
Линия пересечения распадается на две ветви, нижнюю и
верхнюю, построение которых аналогично (рисунок
8.27).
Фронтальные проекции характерные точек линии
пересечения 12 и 22 определятся, в результате
пересечения фронтальных очерков Ф
и
2
∆
2
,а
горизонтальные определятся по принадлежности этих
точек цилиндру Ф.
Низшая точка линии пересечения определяется
введением сферы RФ, которая пересечет цилиндр Ф по
окружности l (фронтальная проекция этой окружности
совпадет с фронтальной проекцией оси вращения
цилиндра ∆). С цилиндром ∆ эта же сфера пересечется
по окружности m. Точка 3 и есть результат
пересечения окружностей l и m.
Промежуточные точки определятся аналогично, как
пересечение окружностей, получающихся в пересечении
произвольных сфер R
Ф<Ri
<О1 с цилиндрами Ф и
∆
.
Фронтальные проекции точек линии пересечения
определяются, как пересечения отрезков прямых, в
которые вырождаются окружности, перпендикулярные оси
вращения, а горизонтальные проекции находятся по
принадлежности одной из поверхностей. В данном случае
поверхности Ф .
8.4.4 Пересечения многогранников
Построение линии пересечения многогранников можно
свести к двум вариантам: определению точек
пересечения ребер одного из многогранников с гранями
другого или определению линий пересечения граней
обоих многогранников.
Рассмотрим построение линии пересечения двух
призм прямой Ф и наклонной ∆ (рисунок 8.28).
Рисунок 8.28
Грани прямой призмы Ф представляют собой
проецирующие плоскости, что позволяет однозначно
определить горизонтальную проекцию линии пересечения,
точки 1
проекции 1
, 21, 3
1
, 22, 3
2
и 41, 5
1
и 4
2
,61, 7
1
, 5
2
2
, 6
,81. Фронтальные
1
, 72, 8
2
этих точек
2
находятся на соответствующих фронтальных проекциях
ребер наклонной призмы.
Точки 7 и 8 определятся введением через точу С
дополнительной секущей плоскости Г параллельной
ребрам наклонной призмы
∆
.
8.5 Пересечение линии и поверхности
В общем случае задача формулируют так: построить
точки пересечения А
кривой l с поверхностью Ф.
i
В частном решение этой задачи рассматривалось
выше в (разделе 7.4), как задача по определению точки
пересечения прямой и плоскости.
Задача решается в три этапа.
Рисунок 8.29
а) Кривая l относится к вспомогательной
проецирующей цилиндрической поверхности Г.
в) Строится линия m пересечения данной и
вспомогательной проецирующей поверхности.
с) Фиксируются точки Аi пересечения линий l и m,
которые и являются искомыми точками пересечения.
Проиллюстрируем все это на примере построения
точек пересечения прямой l с конической поверхностью
Ф (рисунок 8.29).
Прямую l целесообразно отнести к плоскости общего
положения Г, проходящей через вершину S конической
поверхности Ф. Тогда Г пересечет Ф по образующей m,
что значительно упрощает решение.
На первом этапе строится линия 12 пересечения