Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия. Учебное пособие по курсу Начертательная геометрия.pdf
линейной алгебры, можно свести к определению вида и
размерности пересечения.
Рисунок 4.1
Полагая, что рассматриваемое пространство
трехмерно, при вычислении размерности пересечения,
исходное выражение примет вид
p = m1 + m2 - 3.
Заметим, что этот подход позволяет определить
только и только размерность объекта.
Рассмотрим вопрос о принадлежности точки прямой
точки и прямой плоскости. Особенность решения этих
вопросов заключается в том, что прямая и точка на
чертеже задаются проекциями, а плоскость
соответствием трех пар точек.
4.1 Принадлежность точки и прямой
Вопрос о принадлежности точки прямой решается на
основе свойств (особенностей) метода проецирования.
Точка лежит С на прямой АВ, если ее проекции, в
соответствии с рисунком 4.2, лежат на одноименных
проекциях прямой С
∈
А1В
1
, С
1
∈
А2В
2
.
2
Рисунок 4.2 - Принадлежность точки прямой
В геометрии принято считать, что прямая
принадлежит плоскости, если две ее точки
(действительные или несобственные) принадлежат этой
плоскости.
Рисунок 4.3 - Прямая в плоскости
В соответствии с рисунком 4.3 прямая АВ лежит в
плоскости Р. Это обуславливается тем, что точка А
лежит на следе Р2, а точка В на следе Р1.
При условии, что одна из точек плоскости, через
которые проходит прямая, лежит на следе и является
несобственной (в соответствии с рисунками 4.4 и
4.5), прямая общего положения переходит в прямую
частного положения (линию уровня).
В плоскости различают горизонтальную линию уровня
h (рисунок 4.4) и фронтальную линию уровня f
(рисунок 4.5).
В силу специального расположения следов (Р1 и
Р
)плоскости они также являются линиями уровня. След
2
Р
является горизонталью, а Р
1
Фронтали и горизонтали плоскости получили
название главных линий плоскости.
фронталью плоскости.
2 -
Рисунок 4.4 - Горизонтальная линия уровня
Рисунок 4.5 - Фронтальная линия уровня
Вопрос о принадлежности точки плоскости можно
свести к предыдущей задаче. Достаточно добиться того,
Рисунок 4.6 - Точка в плоскости
чтобы точка лежала на одной из прямых плоскости.
Точка лежит С на прямой АВ (ее проекции, в
соответствии с рисунком 4.2, лежат на одноименных
проекциях прямой С
т.к. две ее точки принадлежат плоскости M
Последнее утверждение очевидно, вследствие того, что
эти точки лежат на следах плоскости. Следовательно
можно утверждать что С
∈
А1В
1
, С
1
∈
Р (рисунок 4.6).
∈
А2В2). Прямая АВ∈Р,
2
∈
Р, N∈Р.
4.2 Пересечение плоскостей
Рисунок 4.7 - Пересечение плоскостей
В соответствии с p=2+2-3=1 пересечении двух
плоскостей должно привести к появлению одномерного
объекта, т.е. прямой линии. Для построения линии
пересечения двух плоскостей общего положения P и Q
достаточно найти две точки, одновременно принадлежащие
этим плоскостям. В случае задания плоскостей следами
(в соответствие с рисунком 4.7) решение очевидно.
Пересечение горизонтальных следов P1 и Q1 дает
возможность определить положение одной общей точки N,
а пересечение фронтальных следов P2 и Q2 другой общей
точки М. Линия NМ по определению лежит одновременно
в двух плоскостях и следовательно она является линией
пересечения.
Если одна из плоскостей проецирующая, (например,
горизонтально проецирующая, в соответствии с рисунком
4.8), то линия пересечения может быть найдена из тех
же самых соображений. Характерным здесь является то,
что одна из проекций линии пересечения попадает на
след проецирующей плоскости. Если обе плоскости проецирующие, то и линия их пересечения проецирующая.
Рисунок 4.8
Рисунок 4.9
При пересечении плоскости общего положения
плоскостью уровня в сечении получается
соответствующая линия уровня (рисунок 4.9).
Определение линии пересечения двух плоскостей для
других случаев, например, при задании плоскостей
треугольником(симплексом) и параллельными прямыми,
базируется на следующей идее. Три плоскости всегда
пересекаются в одной точке. Следовательно, введение
дополнительной плоскости к двум, уже имеющимся,
позволит определить точку, одновременно принадлежащую
заданным плоскостям. Проиллюстрируем это.
Две плоскости, заданные параллельными и
пересекающимися прямыми, пересекаются по прямой ЕК,
найденной с помощью секущих плоскостей уровня S и Т.
Плоскость S пересекает (АВ∩ВС) по прямой 12, а
плоскость (m//n) по прямой 34. На пересечении прямых
12 и 34 отмечается точка К. Аналогично строится точка
Е, полученная с помощью секущей плоскости Т.
Рисунок 4.10
4.3 Пересечение прямой и плоскости
Рисунок 4.11 - Пересечение прямой с плоскостью
Пересечением прямой и плоскости в пространстве
является точка, что подтверждается и вычислением
выражения для размерности пересечения p=1+2-3=0.
Прямая L в пространстве (в соответствии с
рисунком 4.11) может рассматриваться как результат
пересечения проецирующих плоскостей Q и Р. При этом
проекции прямой нужно рассматривать как
соответствующие следы этих плоскостей Q и Р.
Восстановление одной из проецирующих плоскостей,
например, Q, в соответствии с рисунком 4.11 приведет
к тому, что линия МN будет линией пересечения Q и Р.
В силу этой особенности линия МN оказывается в одной
плоскости с линией L. В пересечении этих прямых и
будет лежать искомая точка К. Ее проекции лежат на
проекциях линии L и, следовательно, она лежит на этой
линии. С другой стороны, эта точка лежит на линии МN,
принадлежащей плоскости Р , следовательно, искомая
точка пересечения - К.
Аналогичное решение этой задачи и в случае задания
плоскости Р треугольником (симплексом).
Восстановление одной из проецирующих плоскостей,
например, Q, в соответствии с рисунком 4.12 приведет
к тому, что линия МN будет линией пересечения Q и Р.
В силу вышесказанного в пересечении прямых МN и t
будет лежать искомая точка К. Она одновременно
принадлежит и плоскости
- искомая точка пересечения.
∆
АВС и t и, следовательно, К
Рисунок 4.12 - Точка встречи прямой с плоскостью
4.4 Параллельность
Рисунок 4.13 - Параллельность прямых
Частным случаем пересечения прямых и плоскостей
является взаимная параллельность. В трехмерном
пространстве отсутствует полная параллельность.
Понятие параллельности вводится признаки (условия).
При параллельности пересечением является
несобственный элемент.
Признак параллельности прямых следует
непосредственно из определения пересечения прямых
[раздел 2.1]. В соответствии с рисунком 4.13
одноименные проекции параллельных прямых попарно
параллельны (параллельные прямые пересекаются в
несобственной точке).
Рисунок 4.14 - Параллельность плоскостей
Признаком параллельности плоскостей является то,
что две пересекающиеся прямые одной плоскости должны быть
параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости
(рисунок 4.14).
Такими прямыми могут быть следы. В этом случае
одноименные следы должны быть параллельны между собой
Q1//P
4.14) должна соблюдаться параллельность
пересекающихся прямых А
а Q
1
Рисунок 4.15 - Параллельность прямой и плоскости
В любом другом случае (в соответствии с рисунком
//P2.
2
1В1
∩
C1D1(А2В
∩
C2D2) и E1K
2
∩
1
M1N1(E2K
Параллельность прямой и плоскости должны отвечать
следующему условию: прямая параллельна плоскости,
если она параллельна одной из прямых этой плоскости.
В соответствии с вышесказанным и рисунком 4.15
соответствующие проекции прямых должны быть
параллельны соответствующим проекциям прямой, лежащей
в плоскости.
Прямая n параллельна прямой m, лежащей в
плоскости Σ(m∩t). Прямая АВ параллельна прямой МN,
лежащей в плоскости Р, заданной следами.
∩
M2N2).
2
5 Метрические задачи
Традиционно задачи, связанные с измерением длин,
углов, площадей и объемов относят к метрическим. В
основе решения этих задач лежит определение длины
отрезка и, как производной от этого, площади плоской
фигуры.
5.1 Определение длины отрезка
Одним из наиболее распространенных методов
(рисунок 5.1) является метод прямоугольного
треугольника (так его называют в начертательной
геометрии) или метод ортогональных дополнений
(название принятое в линейной алгебре).
Рисунок 5.1 Определение длины отрезка
Идея метода базируется на следующем. Истинная
величина отрезка АВ (АоВ) является гипотенузой
прямоугольного треугольника, один из катетов
которого, является проекцией отрезка АВ на плоскость
проекции (А
), а второй катет - разница координат
1В1
dZ концов отрезка для оси, отсутствующей в
рассматриваемой плоскости проекции (ортогональное
дополнение). Угол между проекцией и гипотенузой этого
треугольника определяет наклон прямой к
соответствующей плоскости проекции.
На комплексном чертеже возможно решение, как на
плоскости П1, так и на плоскости П2. При правильных
построениях А
отрезка прямой АВ к плоскости П1 и П
ОВ1
= АОВ
. Углы α и β углы наклона
2
соответственно.
2
5.2 Определение площади треугольника
Определение площади треугольника и величины
плоского угла можно свести к известной задачи