Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия. Учебное пособие по курсу Начертательная геометрия.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИИ
ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра Начертательной геометрии, инженерной и
компьютерной графики
Горельская Л.В.
Кострюков А.В.
Павлов С.И.
Учебное пособие по начертательной
геометрии
ББК 22.151.3я73
Г-68
УДК 514.18
Рецензенты: д.т.н., профессор Иванов Г.С., д.т.н.,
профессор Фролов С.А.
Горельская Л.В., Кострюков А.В., Павлов С. И.
Г-68 Начертательная геометрия. Учебное пособие по
курсу "Начертательная геометрия" - Оренбургский
государственный университет. - Оренбург, 2000. 118с., с ил.
ISBN
Оренбург 2000
Учебное пособие предназначено для студентов
заочного отделения не конструкторских специальностей
ВУЗов (кроме архитектурных и строительных).
1602050000 ББК 22.151.3я73
ЛР
ISBN
г Горельская Л.В.,
Кострюков А.В.,
Павлов С.И.,2000
г ОГУ,2000
Оглавление
Предисловие.........................................................................................................................................5
Введение...............................................................................................................................................6
1 Конструктивное отображение пространства................................................................................ 9
1.1 Проецирование.......................................................................................................................10
1.2 Моделирование трехмерного пространства.......................................................................13
1.3 Комплексный чертеж (Эпюр Монжа).................................................................................15
2 Чертежи точки, отрезка прямой ..................................................................................................17
2.1 Комплексные чертежи точки...............................................................................................18
2.2 Комплексные чертежи прямых........................................................................................... 20
2.3 Следы прямой....................................................................................................................... 22
2.4 Взаимное расположение прямых........................................................................................ 23
3 Чертежи плоскости.......................................................................................................................25
4 Позиционные задачи..................................................................................................................... 30
4.1 Принадлежность точки и прямой ........................................................................................31
4.2 Пересечение плоскостей....................................................................................................... 34
4.3 Пересечение прямой и плоскости....................................................................................... 36
4.4 Параллельность......................................................................................................................38
5 Метрические задачи...................................................................................................................... 39
5.1 Определение длины отрезка................................................................................................ 40
5.2 Определение площади треугольника..................................................................................40
5.3 Проецирование прямого угла.............................................................................................. 41
5.4 Перпендикулярность прямых и плоскостей....................................................................... 42
5.4.1 Перпендикулярность прямой и плоскости................................................................. 42
5.4.2 Перпендикулярность плоскостей................................................................................ 44
6 Преобразование чертежа.............................................................................................................. 45
6.1 Перемена плоскостей проекции.......................................................................................... 45
6.2 Преобразование прямой......................................................................................................47
6.3 Преобразование плоскости.................................................................................................. 49
6.4 Вращение вокруг следа плоскости......................................................................................50
6.5 Применение преобразования плоскости ........................................................................... 52
7 Кривые линии................................................................................................................................ 54
7.1 Дифференциальные характеристики кривой...................................................................... 55
7.2 Особые точки кривых............................................................................................................56
7.3 Алгебраические кривые........................................................................................................ 57
7.4 Конические сечения............................................................................................................. 58
7.5 Плоские обводы.................................................................................................................... 61
7.6 Пространственные кривые...................................................................................................62
8 Поверхности...................................................................................................................................65
8.1 Задание поверхности на чертеже........................................................................................ 67
8.2 Точка и линия на поверхности............................................................................................ 69
8.3 Конструирование поверхностей..........................................................................................70
8.3.1 Конструирование поверхностей вращения................................................................ 71
8.3.2 Конструирование поверхностей плоскопараллельного переноса...........................73
8.3.3 Конструирование линейчатых поверхностей ..............................................................74
8.3.4 Многогранники............................................................................................................. 77
8.3.5 Циклические и непрерывно-топографические поверхности .................................... 79
8.4 Поверхности и позиционные задачи ..................................................................................81
8.4.1 Сечение поверхности плоскостью ............................................................................. 81
8.4.2 Способ секущих плоскостей........................................................................................85
8.4.3 Способ секущих сфер................................................................................................... 87
8.4.4 Пересечения многогранников.......................................................................................89
8.5 Пересечение линии и поверхности..................................................................................... 90
9 Аксонометрические проекции..................................................................................................... 92
9.1 Прямоугольная аксонометрия.............................................................................................. 94
9.2 Практические аксонометрии................................................................................................ 95
10 Развертки поверхностей .............................................................................................................98
10.1 Развертки гранных поверхностей...................................................................................... 99
10.2 Приближенное построение разверток............................................................................. 101
10.3 Условные развертки поверхностей.................................................................................. 104
11 Решение задач в Начертательной геометрии..........................................................................105
11.1 Точки и прямые..................................................................................................................105
11.2 Плоскости ......................................................................................................................... 108
11.3 Поверхности.......................................................................................................................116
11.4 Аксонометрические проекции..........................................................................................125
Список использованных источников.......................................................................................... 127
Приложение А................................................................................................................................. 128
Приложение Б - Таблица координат для решения задач ...........................................................137
Предисловие
Методическое пособие предназначено для студентов
заочного отделения не конструкторских специальностей
ВУЗов (кроме архитектурных и строительных) и
соответствует программе курса начертательная
геометрия.
Все более широкое внедрение в современную жизнь
средств вычислительной техники потребовало
корректировки содержания общеинженерных дисциплин а
также методики их преподавания. Начертательная
геометрия (теория чертежа) должна способствовать
глубокому усвоению обучаемыми ее сущности, методов
геометрического моделирования многомерных пространств
и структур на базе которых и формируются
математические модели, что является одним из
важнейших этапов автоматизации проектирования и
конструирования в современной технике, оптимизации
технологических процессов, организации в управлении
производством.
Отход от узкого понимания предмета и цели
изучения начертательной геометрии, как теоретической
базы курса черчения приводит к пересмотру структуры
предмета с целью систематизации изучаемого материала,
разработки способов конструирования и изображения
геометрических объектов, решения абстрактных и
прикладных задач. Методическое пособие призвано
способствовать самостоятельному изучению предмета,
являясь средством организации учебного процесса,
подчеркивая единство и взаимосвязь методов
начертательной и аналитической геометрии как базы для
автоматизации решения задач прикладной геометрии.
Методические указания отражают современное
представление о преподавании начертательной геометрии
как учебной дисциплины, изучающей теорию методов
отображения пространства на плоскость и графического
решения задач на чертеже. Структура и содержание
методических указаний определились в результате
анализа истории начертательной геометрии,
существующих учебных программ и опыта преподавания
предмета в различных вузах страны.
Современные требования, предъявляемые к учебному
курсу начертательная геометрия, соответствуют идеям
Г.Монжа. Формулируя предмет начертательной геометрии
он, Г. Монж, выделяет две цели:
1) "...дать методы для изображения на листе
чертежа, ...любых тел природы...",
2) "...дать способ на основании точного изображения
определять формы тел и выводить все
закономерности, вытекающие из их формы и их
взаимного расположения".
Особенность изложения материала состоит в
параллельном изучении способов задания геометрических
фигур на комплексном и аксонометрическом чертежах, а
также большом числе решенных задач.
Структура пособия рассчитана на развитие творческих
способностей обучаемых, за счет активизации
самостоятельной работы. Подробно изложен материал о
получении непрерывных моделей поверхностей,
конструировании кривых и поверхностей. Изложение
материала отражает принципиальные стороны вопроса,
оставляя для самостоятельного изучения конкретные
задачи.
Авторы приносят искреннюю благодарность
методистам отдела ПО и СППМ Кулаковой Е.В. и
Шестаковой А.С. за помощь в подготовке к изданию
настоящего учебного пособия.
Введение
Начертательная геометрия представляет собой
раздел геометрии, занимающийся изучением форм
предметов реального мира и абстрактных
закономерностей с использованием "плоских
эквивалентов многомерного пространства",- чертежей.
В этой связи содержание начертательной геометрии
можно свести к следующим двум основным вопросам:
а)разработке способов построения изображений
(чертежей) пространственных фигур на двумерной
плоскости;
б)изучению способов решения и исследования
пространственных задач при помощи "плоских
эквивалентов" (чертежей).
Потребность в построении изображений проявлялась
уже на ранних стадиях развития человеческого
общества. Об этом свидетельствуют многочисленные
изображения на камнях и скалах, на предметах и
орудиях первобытного человека, сохранившиеся до
нашего времени. В дальнейшем развитие
производственной деятельности человека поставило
перед ним задачу более точного изображения
пространственных предметов на плоскости.
Строительство крепостных укреплений и других
сооружений требовало предварительного составления их
изображений или чертежей. Чертежи были необходимы и
для производства механизмов и во многих других
проявлениях производственной деятельности. Создалась
ситуация, когда изготовление любого предмета
начинается с составления его чертежей, позволяющих не
только определить форму и размеры всех частей
предмета, но и получать наглядное представление о
нем. Ужестачающиеся требования, предъявлявшиеся к
чертежам, привели к необходимости разработать "теорию
изображений", которая и составляет основу
начертательной геометрии.
В начертательной геометрии чертеж является
инструментом, осуществляющим непосредственное
изучение геометрических форм предметов и позволяющим
решать пространственные задачи. Это обусловливает ряд
требований, предъявленных к чертежам, наиболее
существенные следующие:
а) Чертеж должен быть наглядным, т.е. он должен
давать пространственное представление
изображаемого предмета.
б) Он должен быть обратимым, т.е. таким, чтобы по
нему можно было бы точно воспроизвести форму и
размеры изображаемого предмета.
в) Чертеж должен быть достаточно простым с точки
зрения его выполнения. Графические операции,
выполняемые на чертеже, должны давать
достаточно точные решения.
Для всех видов технических чертежей "обратимость"
является особенно важным требование. Чертеж это
производственный документ, по которому выполняется то
или другое изделие. Поэтому необходимо, чтобы по
чертежу можно было точно установить форму и размеры
будущего изделия, а также некоторые другие данные о
нем. Кроме того, чертеж дает наглядное представление
об изделии, что в свою очередь облегчает его
выполнение. Никакие описания предмета не могут
заменить чертежа. Последний является "языком
техника", как говорил один из создателей
начертательной геометрии французский ученый и инженер
Гаспар Монж (1746-1818).
Очевидно, что не всякое изображение предмета на
плоскости позволяет точно определить его форму и
положение в пространстве. Необходимо, чтобы чертеж
объекта был построен по определенным правилам,
позволяющим от плоских и, следовательно, искаженных
форм на чертеже переходить к натуральным
пространственным формам реального объекта.
Такое геометрически закономерное изображение
пространственного объекта на плоскости достигается на
основе метода проецирования, который является
основным в начертательной геометрии. Чертежи,
построенные по методу проецирования, получили
название проекционных.
Следует иметь в виду, что переход от
пространственных объекта, непосредственно наблюдаемых
человеком, к их изображениям на плоскости
(проекционным чертежам), а затем умение пользоваться
такими изображениями взамен самих предметов нередко
вызывают на первых порах большие трудности.
Начертательная геометрия является той научной
дисциплиной, которая формализует процесс построения и
реконструкции чертежей, что значительно облегчает
интерпретацию изображений не только в технике, но и
вообще в практической жизни человека.
Одним из направлений при изучении начертательной
геометрии является моделирование соответствующих
геометрических форм. Другое направление глубокая
формализация методов построения и реконструкции
чертежей.
На первом этапе допустимо использование первого
подхода, в дальнейшем желательно базироваться на
втором.
В методическом пособии приняты следующие
условности и обозначения.Рассматривается расширенное
Евклидово пространство Е3+. Основным элементом
пространства является точка.
Все объекты такого пространства рассматриваются,
как множества точек. В качестве характеристики
множества выступает его размерность. Точка
представляется нульмерным множеством, линия одномерным множеством точек, а поверхность двумерным
множеством точек (при рассмотрении каркасов
поверхность представляется одномерным множеством
линий).
Пособие построено на базе синтетической
начертательной геометрии, в которой все элементы
пространства моделируются симплексами. Симплексы
объектов большей размерности конструируются на базе
симплексов меньшей размерности.
В целях уменьшения объема пособия в тексте
применяются широко используемые в математике
обозначения операций такие, как ∩ - пересечение
множеств, ∪ - объединение множеств, ∈ -
принадлежность элемента множеству, ⊥ перпендикулярность и т.д.
1 Конструктивное отображение пространства
Начертательная геометрия, являясь одним из
разделов математики, изучает методы отображения
пространства на плоскость и способы графических
решений стереометрических задач на чертеже.
Известны три основных способа отображения
пространства: конструктивный, аналитический и
аксиоматический.
Начертательная геометрия базируется на
конструктивном способе отображения. Это и определяет
основной метод начертательной геометрии - метод
проецирования.
1.1 Проецирование
В математике, под проецированием понимают процесс
установления однозначного соответствия между точками
пространства и точками подпространств меньшей
размерности.
Рисунок 1 - Проецирование
Применительно к задачам реального мира, в
конкретизированном понимании этого процесса ,
проецирование - это установление однозначного
соответствия между точками трехмерного пространства и
точками плоскости.
Один из вариантов установления такого
соответствия это проведение прямых. Аппарат
проецирования, в этом случае представляет из себя
плоскость проекции или картинную плоскость П и центр
проецирования S (точка не лежащая в этой плоскости).
Соответствие устанавливается с помощью прямых L,
которые получили название проецирующих прямых или
проецирующих лучей. В том случае, кода точка S
действительная точка пространства говорят о
центральном проецировании.
Модель такого проецирования приведена на рисунке
2. В этой модели точке А, расположенной в
пространстве соответствует в картинной плоскости
точка А
. Эта точка А
1
получила название проекции
1
точки А. Проекция А1 получается в результате
пересечения проецирующей прямой AS с плоскостью
проекции П.
Для этой модели характерно следующее: