Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия. Учебное пособие по курсу Начертательная геометрия.pdf
Рисунок 2.5 - Эпюр горизонтальной линии уровня
Прямая, параллельная горизонтальной плоскости
проекций, называются горизонтальной линией уровня.
Фронтальная проекция а
, такой прямой
2в2
параллельна оси чертежа, а горизонтальная проекция
а1в
проецируется в отрезок равный по длине самому
1
отрезку АВ.
Рисунок 2.6 - Эпюр фронтальной линии уровня
Прямая, параллельная фронтальной плоскости
проекций, называются фронтальной линией уровня.
Горизонтальная проекция а
параллельна оси чертежа, а фронтальная проекция а
, такой прямой
1в1
2в2
проецируется в отрезок равный по длине с отрезку АВ.
Характерным для чертежей линий уровня является
то, что одна из их проекций параллельна оси чертежа.
Линии, перпендикулярные плоскостям проекций,
получили название проецирующих прямых.
Прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости
проекции П
называется фронтально - проецирующей
2,
прямой. Такая прямая параллельная координатной оси
Оу. На чертеже такой прямой фронтальная проекция а2в
вырождается в точку, а горизонтальная проекция а
1в1
2
перпендикулярна оси чертежа (совпадает по направлению
с линиями связи).
Прямая, перпендикулярная горизонтальной
плоскости проекции П
называется горизонтально -
1,
проецирующей прямой. Такая прямая параллельна
координатной оси Оz.
Рисунок 2.7 - Проецирующие прямые
На чертеже прямой горизонтальная проекция а
вырождается в точку, а фронтальная а
2в2
1в1
перпендикулярна оси чертежа (совпадает по направлению
с линиями связи).
Характерной особенностью чертежей проецирующих
прямых является то, что одна из проекций у них
вырожденная а вторая параллельна одной из
координатных осей.
Линии уровня и проецирующие прямые объединяют в
одну группу - линий частного положения.
2.3 Следы прямой
Очевидно, что прямая и плоскость пересекаются в
точке. Точки пересечения прямой с плоскостями
проекции получили название следов прямой. Точка
пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций
П
называется фронтальным следом, а с горизонтальной
2
плоскостью проекций П1 - горизонтальным следом.
Следы прямой, заданной на чертеже отрезком АВ,
можно найти исходя из определения данного выше.
След это одна из точек прямой, лежащая в
плоскости проекции. Следовательно, одна из координат
этой точки должна быть равна нулю (в соответствии с
рисунком 2.1).
При определении положения фронтального следа М
прямой необходимо продлить горизонтальную проекцию
А1В1 до пересечения с осью чертежа. Эта точка
пересечения М1 может быть принята за горизонтальную
проекцию искомого следа. Фронтальная проекция М
2
следа найдется по соответствию на фронтальной
проекции прямой А
(согласно рисунка 2.8).
2В2
Очевидно, что точка М лежит на прямой АВ (ее
проекции лежат на соответствующих проекциях этой
прямой).
Вместе с этим у нее координата Y равна нулю
(горизонтальная проекция М1 лежит на оси чертежа).
Следовательно, можно утверждать, что точка М это
фронтальный след прямой.
Рисунок 2.9 - Следы прямой
Аналогично может быть построен и горизонтальный
след N . Для этого следует продлить фронтальную
проекцию отрезка А
до пересечения с осью чертежа и
2В2
принять точку пересечения за фронтальную проекцию
искомого следа N2. Горизонтальная проекция следа N
1
найдется по соответствию на горизонтальной проекции
прямой А
1В1
.
2.4 Взаимное расположение прямых
Прямые могут быть классифицированы и по такому
признаку, как взаимное расположение в пространстве.
Рисунок 2.10 - Пересекающиеся прямые
Рассмотрим вариант пересекающихся прямых, лежащих
в произвольной плоскости. По определению две прямые
пересекаются, если имеют одну общую точку.
На рисунке 2.10 изображен чертеж пересекающихся
прямых АВ и CD. Точка пересечения К одновременно
принадлежит двум этим прямым. Это является следствием
того, что на комплексном чертеже соответствующие
проекции этой точки одновременно принадлежат
соответствующим проекциям прямых (фронтальные
проекции - фронтальным, а горизонтальные горизонтальным).
Рисунок 2.11 - Параллельные прямые
Частным случаем пересечения прямых являются
параллельность. Параллельные прямые пересекаются в
несобственной точке.
Характерной особенностью чертежа параллельных
прямых является параллельность одноименных проекций.
В соответствие с рисунком 2.11 А
С2D
.
2
1В1
С1D
, А
1
2В2
Рисунок 2.12 - Скрещивающиеся прямые
Прямые в пространстве, не имеющие общих точек,
называются скрещивающимися (рисунок 2.12).
Точки пересечения их горизонтальных (K
фронтальных (M
2,N2
1,L1
)являются совпадающими проекциями
) и
различных точек. Такие, принадлежащие разным прямым,
точки называют конкурирующими.
Конкурирующие точки используются для анализа
видимости и глубины сцены в системах машинной
графики.
3 Чертежи плоскости
Симплексом, моделирующим плоскость, являются три
точки, не лежащие на одной прямой, образующие
треугольник. Для формирования этого объекта
достаточно к симплексу прямой (отрезку) добавить
точку, не лежащую на этой прямой. Таким образом, на
чертеже плоскость может быть представлена проекциями
трех точек (тремя парами соответственных точек). Эти
точки могут объединиться в различные конфигурации:
три отдельные точки, прямую и точку (взятую вне этой
прямой), две пересекающиеся или параллельные прямые
(рисунок 3.1).
Рисунок 3.1 - Чертежи плоскости
До некоторой степени особняком стоит способ
представления плоскости на чертеже с помощью следов.
Под следами (Р1 и Р2) принято называть линии
пересечения произвольной плоскости Р с плоскостями
проекции П1 и П2 (рисунок 3.2). Линию Р1 называют
горизонтальным следом плоскости, а Р2 - фронтальным
следом плоскости.
Рисунок 3.2 - Плоскость (следы)
Рисунок 3.3 - Следы плоскости
Задание плоскости следами это частный случай
представления плоскости тремя точками, когда одна
точка А лежит на оси Ох, вторая B в плоскости
проекции П1 , а третья С в плоскости проекции П2 (в
соответствии с рисунком 3.3).
Следовательно, задание плоскости следами можно
рассматривать как задание пересекающимися прямыми АС
и АВ. Фронтальный след Р2 в этом случае ничто иное,
как фронтальная проекция А
горизонтальный след Р
горизонтальная проекция А
1 -
одной прямой, а
2С2
1В1
другой прямой, как показано на рисунке 3.3
Все плоскости трехмерного Евклидова пространства
(по аналогии с прямой) можно классифицировать по их
расположению по отношению к плоскостям проекции.
Плоскость, не параллельная и не перпендикулярная
ни одной плоскости проекции (также, как и прямая ),
называется плоскостью общего положения (рисунок 3.4)
Рисунок 3.4 - Плоскость общего положения.
Характерным для чертежей такой плоскости является
то, что ее оба следа являются линиями общего
положения Р1 и Р2. При задании плоскости симплексом
обе проекции треугольника А
1В1С1
и А
2В2С2
невырожденные.
Плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей
проекции (также, как и прямая ), называется
проецирующей плоскостью (рисунки 3.5, 3.6).
Рисунок 3.5 Рисунок 3.6
Плоскость Р, перпендикулярная фронтальной
плоскости проекции П
называется фронтально -
2,
проецирующей плоскостью (рисунок 3.6). Фронтальная
проекция симплекса А
2В2С2
у нее вырождается в прямую
линию. При задании следами горизонтальный след
занимает положение фронтально проецирующей прямой Р
1
(перпендикулярен оси чертежа).
Плоскость Р, перпендикулярная горизонтальной
плоскости проекции П
называется горизонтально -
1,
проецирующей плоскостью (рисунок 3.5). горизонтальная
проекция симплекса А
1В1С1
у нее вырождается в прямую
линию. При задании следами фронтальный след занимает
положение фронтально проецирующей прямой Р
2
(перпендикулярен оси чертежа).
Характерным признаком проецирующей плоскости (на
чертеже) является вырождение симплекса в прямую линию
(при задании плоскости симплексом) или же
перпендикулярность одного из следов оси чертеже (при
задании следами).
Плоскость, параллельная одной из плоскостей
проекции (также, как и прямая ), называется
плоскостью уровня (рисунки 3.7, 3.8).
Рисунок 3.7 - Фронтальная плоскость уровня
Плоскость Р, параллельная фронтальной плоскости
проекции П
называется фронтальной плоскостью уровня
2,
(рисунок 3.7). Горизонтальная проекция симплекса
А1В1С
оси чертежа, фронтальная проекция А
у нее вырождается в прямую линию, параллельную
1
2В2С2
представляется в неискаженном виде. При задании
следами горизонтальный след Р1 занимает положение
параллельное оси чертежа. Фронтальный след Р2 в силу
того, что Р || П
становится несобственной прямой.
2,
Плоскость Р, параллельная горизонтальной
плоскости проекции П
называется горизонтальной
1,
плоскостью уровня (рисунок 3.8). Фронтальная проекция
симплекса А
2В2С2
у нее вырождается в прямую линию,
параллельную оси чертежа, горизонтальная проекция
А1В1С
представляется в неискаженном виде. При
1
задании следами фронтальный след Р2 занимает
положение параллельное оси чертежа. Горизонтальный
след Р1 в силу того, что Р || П
несобственной прямой.
становится
1,
Рисунок 3.8 - Горизонтальная плоскость уровня
Характерным признаком плоскости уровня (на
чертеже) является вырождение симплекса в прямую
линию, параллельную оси чертежа (при задании
плоскости симплексом) или же параллельность одного из
следов оси чертеже (при задании следами).
Вопрос о взаимном расположении плоскостей в
пространстве решается однозначно - плоскости
пересекаются по прямой линии. В частном случае,
параллельные прямые пересекаются по несобственной
прямой.
4 Позиционные задачи
Задачи, связанные с определением взаимного
расположения геометрических объектов в пространстве,
традиционно называют позиционными.
Поскольку Начертательная геометрия изучает
объекты расширенного Евклидова пространства Е
изучению позиционных задач логично привлечь некоторые
выводы линейной алгебры, которая также занимается
изучением объектов Е
+
.
n
В линейная алгебре утверждается, что для всех
объектов пространства справедливо выражение (в
соответствии с рисунком 4.1)
+
, то к
n
N = m1 + m2 - p,
где N - размерность рассматриваемого пространства,
m1 и m2 - размерность объектов этого
пространства,
p - размерность пересечения этих объектов.
Очевидно, все позиционные задачи, с точки зрения