Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия. Учебное пособие по курсу Начертательная геометрия.pdf
построения треугольника по трем сторонам.
Для этого достаточно, используя рассмотренный
выше способ прямоугольного треугольника, найти по
порядку истинные величины сторон
соответствии с рисунком 5.2), а затем на свободном
месте построить треугольник по трем сторонам.
∆
АВС (в
Рисунок 5.2 - Натуральная величина треугольника
Величина плоского угла между двумя любыми
сторонами этой фигуры может быть измерена на истинной
величине треугольника.
5.3 Проецирование прямого угла
Решение многих задач Начертательной геометрии
связано с необходимостью построения на чертеже
взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей. Базой
для этого служит умение строить прямые углы на
комплексном чертеже.
Известная в теории чертежа теорема (приведем ее
без доказательства) утверждает, что прямой угол (в
соответствии с рисунком 5.3) проецируется на
соответствующую плоскость проекции без искажения,
если одна из его сторон параллельна этой плоскости
проекции, а вторая ей не перпендикулярна.
Рисунок 5.3 - Проецирование прямого угла
5.4 Перпендикулярность прямых и плоскостей
Выше уже отмечалось, что в трехмерном Евклидовом
пространстве отсутствует полная параллельность, то же
самое можно сказать и о перпендикулярности. Понятие
перпендикулярности, также, как и параллельности,
вводится через определение.
5.4.1 Перпендикулярность прямой и плоскости
Считают, что прямая перпендикулярна плоскости,
если она перпендикулярна двум пересекающимся (любым)
прямым этой плоскости.
При решении задачи возможны два варианта:
проведение перпендикулярной прямой к плоскости из
внешней точки и из точки, лежащей в плоскости.
Рассмотрим возможность проведения перпендикуляра
из точки К, лежащей в плоскости общего положения Р,
для определенности заданной следами(рисунок 5.4).
Рисунок 5.4 - Перпендикулярность прямой и плоскости
В плоскости Р (через точку К) проводятся
горизонталь h и фронталь f. Прямые, перпендикулярные
соответствующим проекциям линий уровня (t
⊥
h1, t
1
⊥
2
h2), в соответствии с теоремой о проецировании
прямого угла и данным выше определением, могут быть
приняты за проекции прямой t
В том случае, когда точка К не лежит в плоскости
⊥
Р.
Р, решение задачи аналогично (рисунок 5.5).
Поскольку положение точки пересечения искомого
перпендикуляра не определено, решение соответствует
следующей схеме:
а)Через произвольную точку А плоскости Р проводятся
горизонталь h и фронталь f (в случае задания
плоскости следами за фронталь и горизонталь
принимаются соответствующие следы плоскости Р2 и Р
).
б)Из внешней точки К к соответствующим проекциям
линий уровня (следам) проводятся перпендикулярные
прямые (t
перпендикуляр опущенный из точки К к плоскости Р.
⊥
h1, t
1
⊥
h2). Линия t принимается за
2
1
в)Определяется точка S пересечения этого
перпендикуляра t и Р.
Рисунок 5.5 - Расстояние от точки до плоскости
5.4.2 Перпендикулярность плоскостей
Считают, что две плоскости взаимно
перпендикулярны, если одна из них проходит через
прямую, перпендикулярную другой плоскости.
Задача может ставиться, как проведение плоскости,
перпендикулярной заданной, проходящей через точку или
через прямую.
При проведении искомой плоскости через точку, как
и в предыдущем случае, возможны два варианта
проведения плоскости перпендикулярной заданной: через
точку, лежащую в плоскости и через точку вне ее
(рисунок 5.6).
Точно такой же вариант возникает и при проведении
перпендикулярной плоскости через прямую (лежащую в
исходной плоскости или не лежащую).
Рассмотрим вариант построения плоскости,
проходящей через точку. Пусть точка А лежит в
плоскости Р. линии, перпендикулярные соответствующим
проекциям линий уровня (следам), определят
перпендикуляр к плоскости Р.
Рисунок 5.6 - Перпендикулярность плоскостей
Фиксирование точки В на этом перпендикуляре t
позволяет провести через эту точку произвольную
прямую s. Пересекающиеся прямые t и s определят
плоскость Q, которая по определению будет
перпендикулярна плоскости Р.
Если точка А лежит вне плоскости Р, то линии,
проходящие через нее и перпендикулярные
соответствующим проекциям линий уровня (следам),
определят перпендикуляр t к плоскости Р. Проведение
через точку А произвольной прямой s и определит
плоскость Q, которая также, по определению, будет
перпендикулярна плоскости Р.
Решение задачи на проведение плоскости через
прямую аналогично проведению плоскости через точку.
Достаточно вместо произвольной прямой s использовать
заданную. И тогда, в соответствии с рисунком 5.7,
задача сведется к проведению перпендикуляра t к
плоскости Р (из точки лежащей в плоскости или лежащей
вне ее).
Рисунок 5.7 - Перпендикулярность плоскостей
6 Преобразование чертежа
Даже беглый обзор предыдущих глав позволяет
придти к выводу, что многие задачи проще решаются
если геометрические объекты занимают частное
положение по отношению к плоскостям проекций.
Перевести объекты в такое положение можно
преобразованием чертежа. Все рассматриваемые в курсе
Начертательной геометрии способы преобразования
чертежа в конечном счете сводятся к последовательной
перемене плоскостей проекции. Именно это и определило
рассмотрение способа перемены плоскостей проекции в
этой главе.
6.1 Перемена плоскостей проекции
Способ перемены плоскостей проекций заключается в
замене одной из плоскостей проекций П1 или П2 новой
плоскостью П', при сохранении ортогональности
плоскостей проекции (в соответствии с рисунком 6.1).
Рисунок 6.1
Изменение положения плоскостей проекции не
приводит к изменению формы и положения объектов в
пространстве.
Новая система выбирается так, чтобы получить
расположение геометрических объектов, наиболее
удобное для решения поставленной задачи.
На комплексном чертеже сохраняется
перпендикулярность линии связи новой (выбранной при
перемене плоскостей проекции) оси чертежа.
Сохраняется и расстояние от объекта до оси чертежа на
'
заменяемой плоскости (А
хА2
=А
'
А
).
х
2
В частном случае, когда вновь вводимая плоскость
перпендикулярна одновременно плоскостям П1 и П
2,
получается чертеж, который традиционно интерпретируют
как комплексный чертеж с проецированием на три
плоскости проекции (рисунок 6.2).
Рисунок 6.2
Вновь вводимую, в соответствии с рисунком 6.2,
плоскость П3 называют профильной, проекцию А3 профильной проекцией точки. Такой чертеж, в силу
того, что он является комбинацией двух комплексных
чертежей П
1П2
и П
3П2,
имеет две "самостоятельные оси"
чертежа, соответственно хОу и хОz.
6.2 Преобразование прямой
Отрезок прямой общего положения может быть
преобразован в положение прямой уровня и проецирующей
прямой.
Преобразование к положению линии уровня можно свести
к одной перемени плоскостей проекции. Одно из
возможных решений замена плоскости П1 на П'
перпендикулярную к плоскости П2. Новая ось чертежа Х
располагается параллельно проекции А
(рисунок
2В2
6.3). Расстояние до новой оси чертежа Х1 от А
1
2В2
1
.
берется произвольно. Новые линии связи
перпендикулярны Х1. Сохраняются расстояния
ax1а1'=axa' и вx1в1'=вxв'. В новой системе линия АВ
занимает положение линии уровня.
Рисунок 6.3 Рисунок 6.4
Аналогично задача может быть решена и заменой
плоскости П2 на П'
(рисунок 6.4).
2
Проецирующие прямые в геометрии называют иначе
еще линиями дважды уровня. Именно это и определяет
последовательность получения положения проецирующей
прямой.
Рисунок 6.5
На первом этапе решения задачи прямая АВ
переводится в положение линии уровня (смотри
предыдущую задачу).
На втором этапе линия уровня переводится в
положение проецирующей прямой. Плоскость П
2
заменяется на П'2, перпендикулярную к плоскости П'1.
Ось чертежа Х2 располагается перпендикулярно А'
1
В'
1
(рисунок 6.5). Расстояние до новой оси чертежа Х2 от
А'1В'
. берется произвольно.
1
6.3 Преобразование плоскости
Отсек плоскости общего положения может быть
преобразован в положение либо плоскости уровня, либо
проецирующей плоскости.
Проецирующая плоскость характеризуется тем, что несет
на себе семейство проецирующих линий. В силу
параллельности этих прямых достаточно одну из них
перевести в положение проецирующей прямой, что
автоматически поставит плоскость в положение
проецирующей.
На первом этапе решения в плоскости выделяется
прямая, например фронталь f (в соответствии с
рисунком 6.6). Затем плоскость П1 заменяется на
плоскость на П'1, перпендикулярную П
2.
Рисунок 6.6
В новой системе проецирующих плоскостей П
отсек плоскости
∆
АВС занимает положение проецирующей
плоскости.
Плоскости уровня, с точки зрения аналитической
геометрии, называют еще дважды проецирующими
плоскостями.
2П'1
Рисунок 6.7
Преобразование отсека плоскости общего положения
к положению плоскости уровня выполняется в два этапа.
На первом этапе плоскость переводится в положение
проецирующей.
На втором этапе (в соответствии с рисунком 6.7)
плоскость переводится в положение плоскости уровня
плоскости П2 на плоскость на П'2, перпендикулярную
П'
отсек плоскости
1.
В новой системе проецирующих плоскостей П'
∆
АВС занимает положение плоскости
1П'2
уровня. Преобразование отрезков прямых и отсеков
плоскостей к положению уровня позволяет эффективно
решать задачи по нахождению длин отрезков и площадей
фигур. Истинная величина объекта лежащего в
плоскости, если плоскость задана следами, может быть
определена и вращением этой плоскости вокруг одного
из следов.
6.4 Вращение вокруг следа плоскости
Способ совмещения - частный случай способа
вращения, когда плоскость вращается вокруг одного из
ее следов до полного совпадения (совмещения) с