Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия. Учебное пособие по курсу Начертательная геометрия.pdf
а)точке в пространстве соответствует единственная
проекция (т.к. через две точки А и S можно
провести одну единственную проецирующую прямую),
б)проекции точек, лежащих на линиях лежат на
проекциях этих линий,
Рисунок 2-Схема центрального проецирования
в)для точек, расположенных в плоскости Σ,
параллельной плоскости П и проходящей через
точку S, нет возможности получить проекции.
Также не определена проекция точки S,
г)проекцией прямой, в этой модели является прямая
(АС →А1С1),
д) проекция отрезка прямой, лежащей на проецирующей
линией, вырожденная. Концы проекций отрезка
совпадают (АВ
Проекцию линии можно получить, проецируя из
центра S ряд точек, принадлежащих этой кривой.
Полученная проекция будет единственной для данной
линии при заданном положении центра S и Р. В этом
случае проекция может рассматриваться как результат
пересечения конической поверхности Q с картинной
плоскостью П.
→
А1В1).
Рисунок 3 - Схема проецирования линии
Следует отметить, что проекция линии и центр
проекций не определяют положения линии в
пространстве: на конической поверхности можно
разместить множество линий, дающих в одну и туже
проекцию.
Центральное проецирование иначе называют
коническим, т.к. проецирующими поверхностями является
различного рода конусы.
Перенос центра проецирования S в ∞ позволяет
несколько улучшить модель проецирования. Вопрос о
невозможности получать проекции реальных объектов
отпадает.
Рисунок 4 - Схема параллельного проецирования
Проецирующие прямые переходят в параллельные
(такие прямые пересекаются в несобственной точке).
Исходная модель переходит в модель параллельного
проецирования.
Все свойства при этом сохраняются.
Вместе с этим, для этой модели, нужно отметить
следующее.
Отрезок прямой СК, параллельной плоскости проекций
П, проецируется на эту плоскость в натуральную
величину (как противоположные стороны
параллелограмма).
Здесь сохраняется простое отношение трех точек
(СЕ/ВЕ= С1Е1/В1Е1).
Если в модели параллельного проецирования
проецирующие прямые перпендикулярны плоскости
проекции то говорят о прямоугольном (ортогональном)
проецировании, остальные случаи представляют собой
косоугольное проецирование.
Для обеих рассмотренных выше моделей очевидно,
что полученные с их помощью чертежи (проекции) не
позволяют реконструировать форму и положение объекта
в пространстве.
Такие однокартинные чертежи получили название
необратимых. Рассмотрим возможность построения
чертежей допускающих реконструкцию пространственных
объектов.
1.2 Моделирование трехмерного пространства
Известно несколько способов, позволяющих получать
обратимые чертежи. Наиболее распространенные из них
базируются на схеме метода двух изображений.
Аппарат классического метода двух изображений
состоит из основного центра проецирования S,
плоскости изображения П, двух вспомогательных
плоскостей проекций П2, П1 и двух вспомогательных
центров проецирования S1, S2 (рисунок 5).
Рисунок 5 - Схема метода двух изображений
Центры проецирования S1, S2 и S принадлежат одной
прямой t, которая пересекает главную картинную
плоскость П в исключенной точке F1. Произвольная
точка А пространства изображается на чертеже двумя
проекциями (А
F
.
1
1,А2
), лежащими на одной прямой с точкой
Первоначально точка А проецируется из
вспомогательных центров S1 и S2 на вспомогательные
плоскости проекций П1 и П2 соответственно в точки А
и А
S проецируются в точки А
, которые затем из основного центра проецирования
2
и А2 на главную картинную
1
плоскость П.
Полученный по этой схеме чертеж является
обратимым, так как по известным проекциям А
и А
1
2
можно реконструировать положение оригинала А в
пространстве.
Большинство обратимых чертежей, применяемых в
1
практике (аксонометрия, перспектива, эпюр Монжа),
получаются по схеме рассмотренного выше метода двух
изображений.
1.3 Комплексный чертеж (Эпюр Монжа)
Рисунок 6 - Схема построение комплексного чертежа
Эпюр Монжа, он же комплексный чертеж, получается
из общей схемы при следующих условиях.
Главная картинная плоскость П совмещается с
фронтальной плоскостью проекций П2, горизонтальная
плоскость проекций П1 выбирается перпендикулярной
П2=П (в соответствии с рисунком 6). Центры
проецирования S1, S2 и S являются несобственными. При
этом точка S1 находится в направлении,
перпендикулярном плоскости П1, а S2 плоскости П
Главный центр проецирования S является
несобственной точкой прямой перпендикулярной оси
Ох=П
плоскостью П=П
∩
П
2
и составляющей с главной картинной
1
угол в 45°. Ось чертежа здесь
2
совпадает с линией Ох.
2.
Рисунок 7 - Комплексный чертеж точки
Изображение, получаемое на главной картинной
плоскости П (рисунок 7)и получило название
комплексного чертежа или эпюра Монжа.
Точка А на этом чертеже задает парой проекций
(А
и А
1
)лежащих на линии связи перпендикулярной оси
2
чертежа Ох.
Традиционно плоскость П1 принято называть
горизонтальной плоскостью проекции, а плоскость П
2
фронтальной плоскостью проекции.
Сами же проекции называют по именам плоскостей
проекции: А1 - горизонтальной проекцией точки А и А
соответственно фронтальной проекцией этой же точки.
Еще Г. Монж мечтал о том, чтобы была возможность
дополнять чертежи различных геометрических объектов
их точным математическим описанием. Это требует
установление связи между конструктивным способом
отображения и аналитическим.
При аналитическом способе отображения
пространства (моделирования) точкам ставятся в
соответствие их координаты, поверхностям и линиям уравнения и системы уравнений.
Установление связи между чертежом и аналитическим
описанием объектов на нем изображенных возможно на
основе Декартовой системы координат.
Ось чертежа можно принять за ось Ох декартовой
2
системы координат. Координатную плоскость xOz за
фронтальную плоскость проекции П2, а плоскость xOу за
горизонтальную плоскость проекции П1.
Рисунок 8 - Арифметизированный эпюр Монжа
Тогда появляется возможность любую точку
пространства, задаваемую на чертеже парой проекций,
определять с помощью тройки чисел А(Ха,Уа,Zа)Декартовых координат этой точки. Сам же процесс
проецирования будет сводится к построению по
координатам точек А
(Ха,Уа) и А2(Ха,Zа) (в
1
соответствии с рисунком 8).
Комплексный чертеж, ось которого совпадает с
осью Ох Декартовой системы координат и на котором
нанесены координатные оси Оу, Оz и зафиксировано
начало Декартовых координат, получил название
арифметизированного эпюра Монжа.
Такой чертеж позволяет при необходимости по
аналитическому описанию объекта получать его
изображение и решать обратную задачу - по чертежу
получать аналитическое описание.
2 Чертежи точки, отрезка прямой
Эпюр Монжа, построенный по схеме рассмотренной
выше, позволяет однозначно судить как о форме и
положении объектов в пространстве так и о
расположении их по отношению к плоскостям проекции.
2.1 Комплексные чертежи точки
Рисунок 2.1 - Чертеж точки в пространстве
А(xа,yа,zа)- произвольная точка пространства( ни
одна из ее координат не равна нулю ). На комплексном
чертеже можно увидеть (на соответствующих
плоскостях П1 и П2) две ее проекции А1 и А2.
На этом чертеже присутствую две ее проекции
горизонтальная А1 и соответствующая ей фронтальная
А2, объединенные линией связи А
чертежа Ох.
ортогональной оси
1А2
Рисунок 2.2 - Точка в плоскости
Чертеж точек, лежащих в плоскостях проекций
представлен на рисунке 2.2. Точка А(x
а,yа
) лежит в
горизонтальной плоскости проекции П1, а вторая точка
В(xв,zв) во фронтальной плоскости проекции П
.
2
Отличием этого чертежа от предыдущего является
то, что одна из проекций этих точек оказывается на
оси чертежа Ох.
Точки, лежащие на координатных осях изображены на
чертеже в соответствии с рисунком 2.3. Точка
А(xа,0,0) лежит на оси Ох, точка С(0,ус,0) на оси
Оу, а точка В(0,0,zв) на оси Оz. Для чертежей этих
точек характерно следующее.
Обе проекции точки А, лежащей на оси чертежа
совпадают А
1=А2
.
У точки С, лежащей на оси Оy, фронтальная проекция
совпадает с точкой начала координат С
=О.
2
Рисунок 2.3 - Точки на координатных осях
Аналогичная ситуация и с точкой В, лежащей на
оси Оz, ее горизонтальная проекция совпадает с точкой
начала координат В
=О.
1
2.2 Комплексные чертежи прямых
Рисунок 2.4 - Чертеж отрезка прямой линии
Будем прямую на чертеже задавать ее симплексом
(отрезком). Для этого достаточно на чертеже задать
две произвольные точки (в случае их совпадения длина
отрезка будет нулевой). Чертеж отрезка прямой АВ
приведен на рисунке 2.4.
Все прямые могут быть классифицированы в
зависимости от их по отношению к плоскостям
проекций.
Прямая, не параллельная ни одной плоскости
проекции, получила название прямой общего положения.
Чертеж такой прямой приведен выше на рисунке 2.4.
Характерной особенностью чертежа такой прямой
является непараллельность ее проекций ни одной из
координатных осей.
Прямые, параллельные плоскостям проекций, получили
название линий уровня.