Начертательная геометрия. Касательные плоскости. Учебное пособие

Министерство образования и науки Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

С. С. ШУВАЛОВА

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КАСАТЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2015

1

УДК 744

Рецензенты: канд. техн. наук, профессор Д. Е. Тихонов-Бугров (БГТУ «Военмех»); канд. экон. наук, доцент Е. А. Солодухин (СПбГАСУ)

Шувалова С. С.

Начертательная геометрия. Касательные плоскости: учеб. пособие / С. С. Шувалова; СПбГАСУ. – СПб., 2015. – 24 с.

ISBN 978-5-9227-0578-3

Излагаются теоретические предпосылки к изучению раздела начертательной геометрии «Касательные плоскости» и приводятся указания к решению задач.

Предназначено для студентов строительных специальностей.

Ил. 25. Библиогр.: 3 назв.

По настоятельной просьбе автора все рисунки сохранены в предоставленном формате.

Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия.

ISBN 978-5-9227-0578-3

©С. С. Шувалова, 2015

©Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2015

Учебное издание

Шувалова Светлана Семеновна

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КАСАТЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ

Учебное пособие

Редактор М. А. Молчанова Компьютерная верстка И. А. Яблоковой

Подписано к печати 09.10.15. Формат 60×84 1/8. Бум. офсетная. Усл. печ. л. 3,0. Тираж 100 экз. Заказ 112. «С» 59.

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.

Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.

2

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

При решении инженерных и архитектурных задач часто встречаются случаи сочетания плоских элементов с криволинейными (сферическими, коническими, цилиндрическими и др.) в виде взаимного касания.

Плоскостью, касательной к кривой поверхности в данной на ней точке A, называется плоскость, определяемая двумя пересекающимися прямыми и касательными к этой поверхности в точке A (рис. 1). Таким образом, для построения плоскости, касательной к кривой поверхности в некоторой ее точке, достаточно через эту точку провести на поверхности две любые линии и к каждой из них касательную в этой же точке. Эти две прямые задают касательную плоскость.

Через точку A проведем на поверхность две любые кривые f1 и f2. К этим кривым в точке A построим касательные t1 и t2. Плоскость, образованная этими касательными, называется касательной плоскостью Q к поверхности Ф в точке А.

Рис. 1

Отметим, что поскольку через одну точку на поверхности можно провести множество кривых линий, то в этой точке будут пересекаться и множество касательных прямых к этим кривым, определяя одну-единственную касательную плоскость к данной поверхности в заданной точке [3].

В зависимости от вида поверхности плоскость может касаться поверхности в одной точке, по линии (прямой или плоской кривой) или, касаясь, может пересекать поверхность по некоторой линии. Каждая из этих точек имеет свое название.

Различают эллиптические точки касания, параболические и гиперболические. Эллиптические точки располагаются на выпуклых поверхностях, таких, на которых

кривые линии располагаются с одной стороны плоскости касания, – поверхностях вращения (см. рис. 1). К ним относятся сфера, тор, эллипсоид, параболоид (рис. 2).

Если касательная плоскость имеет с поверхностью общую прямую или плоскую кривую линию, то точки, принадлежащие этой линии, называются параболическими. Такие точки имеют цилиндр, конус, торс (касательная прямая), тор (касательная окружность m1) (см. рис. 2).

3

Геликоиды пересекаются касательной плоскостью по прямой и кривой, а тор – по двум кривым. И вообще, тор является уникальной поверхностью, так как на этой поверхности имеются все три вида точек касания – A, В и C (рис. 4).

Рис. 4

Введем понятие нормали к поверхности. Так называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания, т. е. на чертеже (см. рис. 1) прямая n, проходящая через точку касания A и перпендикулярная касательной плоскости Q, является нормалью к поверхности. Задача на проведение нормали к поверхности в данной точке сводится к построению плоскости, касательной к поверхности в той же точке, с последующим восстановлением перпендикуляра к ней.

Для построения нормали на эпюре используют условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Все задачи на проведение плоскостей, касательных к кривым поверхностям, можно разделить на следующие пять типов:

1.Проведение плоскости, касательной к поверхности, через точку, лежащую на ней, или через образующую поверхности (для линейчатой поверхности).

2.Проведение плоскости, касательной к поверхности и проходящей через данную внешнюю точку.

3.Проведение плоскости, касательной к поверхности и параллельной данной прямой линии.

4.Проведение плоскости, касательной к поверхности и проходящей через данную прямую линию.

5.Проведение плоскости, касательной к поверхности и параллельной данной плос-

кости.

Рассмотрим все варианты в приложении к различным поверхностям.

5

1. ПЛОСКОСТИ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К СФЕРЕ

Построение плоскостей, касательных к сфере, основано на известном положении геометрии, согласно которому плоскость, касательная к сфере, должна быть перпендикулярна радиусу этой сферы, проведенному через точку касания. Иначе говоря, этот радиус является нормалью к сфере в данной точке.

1.1. Плоскости, касательные к сфере в данной на ней точке

Поставленная задача (рис. 5) сводится к построению плоскости, проходящей через данную точку A, лежащую на сфере, перпендикулярно радиусу сферы OA. Эта плоскость τ может быть определена путем проведения через точку A горизонтали h и фронтали f, перпендикулярных радиусу сферы OA, таким образом, τ (h, f). Все построения проведены на рис. 5. Задача имеет одно решение.

1.2. Плоскости, касательные к сфере и проходящие через внешнюю точку

Решим эту задачу для частного случая, когда данная внешняя точка C находится на одной вертикали с центром сферы – точкой O (рис. 6).

Задача имеет множество решений. Примем данную точку C за вершину прямого кругового конуса, касающегося сферы по окружности a. Всякая плоскость, касательная к этому конусу, очевидно, будеткасатьсяи сферы, а все точки расположатся на окружности.

На чертеже (рис. 6) проведено две плоскости: одна из них – плоскость α, касается сферы в точке A, лежащей на главном меридиане сферы, а другая – плоскость β, в точке B, взятой произвольно на окружности a. Первая из этих плоскостей будет фронтальнопроецирующей плоскостью, а вторая – плоскостью общего положения; она определяется горизонталью h и фронталью f , т. е. β (h, f).

В случае, если линия, соединяющая точку C с центром сферы, будет прямой общего положения, следует перейти к приведенному выше частному случаю, применив метод дополнительного ортогонального проецирования. На чертеже (рис. 7) приведен пример построения плоскости, касательной к сфере и проходящей через внешнюю точку C. Для решения задачи последовательно построены дополнительные проекции сначала на плос-

6

кость П4 П1, при этом плоскость П4 задана также параллельно отрезку OC, соединяющему данную точку с центром сферы, а затем – на плоскость П5, которая перпендикулярна

отрезку OC и плоскости П4 , т. е. П5 OC и П5 П4. В этом случае отрезок OC проецируется в точку, и мы получаем, следовательно, разобранный выше случай.

Проведя из точки C4, как из вершины, проекцию касательного к сфере конуса, построим окружность касания и выберем на ней произвольную точку B (B4, B5). Перенесем эту точку в исходную систему плоскостей проекций и проведем через нее фронталь и горизонталь, перпендикулярные радиусу сферы OB. Эти линии и определят искомую плоскость β (h, f), касательную к сфере и проходящую через данную внешнюю точку C.

1.3. Плоскости, касательные к сфере и параллельные данной прямой

Рассмотрим случай, когда данная прямая t перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций (рис. 8), к этому случаю всегда можно перейти от общего положения прямой, используя, например, метод дополнительного ортогонального проецирования.

Поставленная задача имеет бесчисленное множество решений, так как любая плоскость, касательная к сфере и параллельная горизонтально-проецирующей прямой, будет также горизонтально-проецирующей плоскостью, касательной к экватору сферы. На чертеже (см. рис. 8) проведено три таких плоскости: α, β и γ. Они касаются сферы соответственно в точках A, B и C, лежащих на экваторе.

7

На чертеже (рис. 9) эта же задача решена для общего случая расположения прямой t. Для приведения этого случая к вышеизложенному частному случаю применен метод дополнительного ортогонального проецирования. На первом этапе осуществляется проеци-

рование на плоскость П4 П1 и П4 t, а на втором – на плоскость П5 П4 и П5 t. В этой системе плоскостей проекций мы будем иметь частный случай (см. рис. 8), когда точки касания плоскостей к сфере расположатся на ее экваторе e. Из бесчисленного множества касательных плоскостей проведем одну, точкой касания которой будет произвольно взятая на экваторе точка A (A4, A5). Определим A (A1, A2) – проекции этой точки в исходной системе плоскостей проекций, и проведем горизонталь h и фронталь f перпендикулярно

8

радиусу сферы OA. Таким образом, задана плоскость α (h, f), касающаяся сферы в точке A и параллельная прямой t.

1.4. Плоскости, касательные к сфере и проходящие через заданную прямую линию

Решение этой задачи возможно, если заданная прямая не пересекает сферу. Если прямая расположена вне сферы, возможно два решения, а если прямая касается сферы, то можно провести только одну касательную плоскость.

Решим эту задачу для частного случая расположения заданной прямой, когда она перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций (рис. 10). В этом случае очевидно, что касательные к сфере плоскости α и β будут горизонтально-проецирующими; их горизонтальные проекции α1 и β1 пройдут через горизонтальную проекцию прямой t (t1) и будут касаться экватора сферы в точках A1 и B1.

Если заданная прямая будет прямой общего положения, то задача наиболее просто решается путем приведения ее к предыдущему простому случаю с помощью одного из методов преобразования.

На чертеже (рис. 11) приведен случай, когда заданная прямая является прямой общего положения. Для решения задачи воспользуемся методом дополнительного ортого-

нального проецирования, последовательно переходя от системы плоскостей П2 П1 к си-

стеме П4 П1, а затем к П5 П4, где задаем П4 t, а П5 t. На последнем этапе прямая проецируется в точку, и мы имеем случай, приведенный на чертеже (см. рис. 10). Здесь также проведены следы двух касательных плоскостей α и β, которые касаются сферы соответственно в точках A и B. Каждая плоскость вполне определяется прямой t и точкой касания, так α (t, A) и β (t, B). Определяем проекции этих точек в исходной системе плоскостей проекций.

9