Начертательная геометрия. Касательные плоскости. Учебное пособие

Рис. 11

1.5. Плоскости, касательные к сфере и параллельные данной плоскости

Эта задача имеет два решения при любом расположении заданной плоскости.

На чертеже (рис. 12) данная плоскость α является фронтально-проецирующей, вследствие чего искомые касательные плоскости β и γ коснутся сферы в точках B и C, лежащих на главном меридиане; радиусы сферы, проведенные в точку касания, должны быть перпендикулярны как к данной плоскости α, так и к касательным плоскостям β и γ.

Если заданная плоскость α (h, f) будет плоскостью общего положения, то задача легко решается, если, построив дополнительную ортогональную проекцию этой плоскости на плоскость П4, ей перпендикулярную, привести ее к рассмотренному выше частному случаю, что и показано на чертеже (рис. 13), где данная плоскость α является проецирующей по отношению к плоскости П4 (α4). Точки касания B и C искомых плоскостей β и γ определятся в пересечении очерка сферы на плоскости П4 с ее радиусами, проведенными

перпендикулярно α4. Имеем α4 β4 γ4. На исходных плоскостях проекций касательные плоскости β и γ заданы линиями уровня: β (a, b), γ (c, d).

10

x12

O1

B1 C1

Рис. 12

4

Рис. 13

11

2. ПЛОСКОСТИ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА

Основой решения всех задач на проведение плоскостей, касательных к поверхности конуса, являются следующие положения:

1)любая плоскость, касательная к поверхности конуса, содержит образующую, которая является линией касания;

2)любая плоскость, касательная к поверхности конуса, проходит через его вершину, что является следствием первого положения;

3)через любую точку образующей, по которой плоскость касается поверхности конуса, можно провести на этой поверхности кривую линию. Касательная к этой кривой

вданной точке образующей должна лежать в касательной к поверхности конуса плоскости. В качестве этих кривых удобно выбирать линии, лежащие в основании или параллельные плоскости основания конической поверхности.

2.1. Плоскости, касательные к поверхности конуса в данной на ней точке

На чертеже (рис. 14) даны проекции наклонного конуса, в основании которого лежит окружность, и точка A, лежащая на его поверхности.

Для решения поставленной задачи через точку A проведена образующая SM, точка M лежит на линии основания конуса. Проведенная образующая является линией касания искомой плоскости τ с поверхностью данного конуса.

На основании п. 3 проведем касательную к окружности основания конуса в точке M; эта касательная является горизонталью h. Образующая конуса и горизонталь вполне определяют искомую касательную плоскость τ (SM, h), что позволяет перейти к любому другому ее заданию. На чертеже (рис. 14) показано задание этой плоскости линиями уровня, принадлежащими плоскостям проекций, т. е. следами касательной плоскости– τ(h, f).

12

A2

O1

M1 A1S1 h1

Рис. 14

Задача № 1. Провести плоскость, касательную к поверхности конуса и проходящую через точку A на его поверхности, если основание конуса не принадлежит ни одной из плоскостей проекций, но параллельно одной из них, например фронтальной (рис. 15).

Проводим через данную на поверхности конуса точку A образующую касания SA и определяем точку M этой образующей, лежащей на линии основания конуса. Проводим

12

Как и в предыдущем случае, через точку A проводим образующую SA, определяем точку ее основания M, через которую пройдет касательная m к окружности основания конуса. Можно ограничиться заданием искомой плоскости этими прямыми, т. е. τ (SM, m), а при необходимости перейти к любому другому варианту задания этой плоскости, что и показано на чертеже (см. рис. 16), τ (h, f).

Задача № 3. Провести плоскость, касательную к поверхности конуса, через точку A на его поверхности, если окружность основания конуса лежит во фронтально-проецирую- щей плоскости α (рис. 17).

В этом случае окружность основания конуса проецируется на фронтальную плоскость в виде прямой α2, а на горизонтальную – в виде эллипса.

икасательной, но если провести образующую через точку A и определить положение точки M легко, то касательную m к эллипсу затруднительно – решение будет неточным. Для точного решения необходимо иметь проекцию основания конуса в виде окружности, т. е. требуется свести задачу к рассмотренным выше случаям. Для этого можно воспользоваться как методом дополнительного ортогонального проецирования, так и другими методами преобразования чертежа. Повернем плоскость основания конуса α до совмещения с горизонтальной плоскостью проекций. В совмещенном с плоскостью П1 положении фронтальная проекция плоскости основания совпадет с осью, α2' ≡ x12, и точка O, находящаяся в этой плоскости, займет положение O2'. На плоскость П1 линия основания конуса будет проецироваться в окружность радиуса R с центром в точке O1'. Положение центра основания определится в пересечении линий (O2'O1') и (O1O1').

Проведем касательную m' (m1', m2') к этой окружности через точку M' (M1', M2'). Найдем пересечение этой прямой с плоскостью П2 – точку N' (N1', N2'), а затем определим проекции точки N (N1, N2) и соответственно касательной m (m1, m2) на исходном положении плоскости основания α. Таким образом, имеем искомую касательную плоскость τ, заданную двумя пересекающимися прямыми. Как и в предыдущих случаях, это образующая

икасательная к основанию, т. е. τ (SM, m). Эта же плоскость могла быть определена образующей и точкой, т. е. τ (SM, N).

14

2.2. Плоскости, касательные к поверхности конуса и проходящие через данную внешнюю точку

При этом условии задача имеет два решения, если данная точка не лежит внутри пространства, ограниченного конической поверхностью. В противном случае задача не имеет решения.

Плоскости, касательные к поверхности конуса, должны пройти через прямую, соединяющую данную внешнюю точку с вершиной конуса и через образующие конуса. Поиск решения состоит в проведении этих образующих.

На чертеже (рис. 18) задана коническая поверхность, в основании которой лежит окружность, и внешняя точка B.

Решение задачи начинаем с проведения прямой линии SB, соединяющей данную точку с вершиной конуса. Затем находится точка пересечения этой прямой с плоскостью основания конуса – точка M (M 1, M 2). Через эту точку можно провести две прямые, касательные к окружности основания, которые будут являться линиями пересечения искомых касательных плоскостей с плоскостью проекций П1. Отметим точки касания 1 и 2 и проведем образующие 1S и 2S, по которым плоскости будут касаться конической поверхности. Таким образом, имеем искомые плоскости α (SB, 1S) и β (SB, 2S). Видно, что прямая SB является общей, т. е. линией пересечения обеих плоскостей. Можно построить линии пересечения этих плоскостей с плоскостями проекций и перейти к заданию их линиями уровня, что неоднократно выполнялось выше.

Задача № 4. Провести плоскости через заданную внешнюю точку B, касательные к конической поверхности, основание которой параллельно фронтальной плоскости проекций (рис. 19).

15

Ход решения аналогичен разобранному выше варианту. Соединяем вершину S конуса и данную точку B прямой и находим ее пересечение с плоскостью основания конуса. Через полученную точку M проводим касательные к основанию конуса и отмечаем точки касания 1 и 2, соединив которые с вершиной конуса, получим его образующие 1S и 2S. Построим линии пересечения искомых плоскостей с плоскостями проекций. Проведенные касательные являются фронталями a и b искомых плоскостей. Найдем точку пересечения прямой SB с плоскостью П2 – точку N, через нее пройдут фронтальные следы f

иf´касательных плоскостей параллельно фронталям a и b до пересечения с осью x12. Построим точки пересечения фронтали a и b с плоскостью П1 – точки 3 и 4, и проведем через них горизонтальные следы h и h´ плоскостей в точки на оси x12. Таким образом, заданы касательные плоскости линиями нулевого уровня, или следами: α (h, f), β (h´, f´). Переход к такому варианту задания плоскостей оправдан при решении некоторых практических задач.

Задача № 5. Провести плоскости, касательные к конической поверхности и проходящие через заданную внешнюю точку B. Окружность основания лежит во фронтальнопроецирующей плоскости (рис. 20).

Проводим линию SB, соединяющую вершину конуса с данной внешней точкой,

инаходим точку M (M1, M2) пересечения этой линии с плоскостью основания. Далее проводим из точки M касательные к основанию конуса, применив метод дополнительного ортогонального проецирования. Отмечаем проекции точек касания 1 и 2, через которые проводим образующие конуса S1и S2. Очевидно, что эти образующие являются линиями касания искомых плоскостей с поверхностью конуса и вместе с проведенной ранее прямой SB определяют эти плоскости.

16

Для решения задачи необходимо через вершину конуса провести прямую линию, параллельную заданной, и найти точку пересечения ее с плоскостью основания конуса. Искомые плоскости определятся касательными, проведенными из найденной точки, и образующими, по которым происходит касание. Задача имеет два решения, если точка пересечения проведенной через вершину конуса линии не окажется в пределах контура его основания. В противном случае задача решения не имеет.

На чертеже (рис. 21) приведено решение этой задачи для случая, когда основание конуса лежит в горизонтальной плоскости проекций.

Решение начинаем с проведения линии l через вершину конуса параллельно данной линии t с последующим определением точки M (M1, M2) пересечения ее с плоскостью основания конуса. Из точки M далее проводим касательные к основанию конуса через точки касания 1 и 2, а через них к вершине конуса проводим образующие S1 и S2 – линии касания искомых плоскостей с конической поверхностью. Таким образом, сами касательные

плоскости будут определяться треугольниками: (M S1) и (M S2), что позволяет перейти к другим вариантам их задания.

17

2.4. Плоскости, касательные к поверхности конуса и проходящие через данную прямую линию

Эта задача может быть решена в том случае, если заданная прямая проходит через вершину конуса, а точка пересечения ее с плоскостью основания не располагается в пределах контура, ограниченного этим основанием, т. е. если заданная прямая не находится внутри конуса.

Решается задача так же, как задача на проведение касательной плоскости параллельно заданному направлению.

2.5. Плоскости, касательные к поверхности конуса и параллельные данной плоскости

Решение этой задачи возможно только в том случае, если заданная плоскость параллельна одной (и только одной) образующей. Кроме того, эта плоскость должна быть параллельной прямым, проведенным через любую точку указанной образующей, и касательным к кривой линии на поверхности конуса, проходящей через эту точку.

Решение задачи сводится, таким образом, к проведению касательной плоскости к конической поверхности через ту ее образующую, которая параллельна заданной плоскости. Руководствоваться следует известным условием параллельности двух плоскостей: две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой.

18

3. ПЛОСКОСТИ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА

Любая плоскость, касательная к поверхности цилиндра, должна быть параллельна его оси, а следовательно, и всем его образующим.

3.1. Плоскости, касательные к поверхности цилиндра в данной на ней точке

При данных условиях можно провести только одну плоскость.

Пусть задан цилиндр, основание которого принадлежит горизонтальной плоскости проекций, и точка A (A1, A2) на его поверхности (рис. 22).

Рис. 22

Решение представляется в следующем виде. Выделяем образующую a, на которой находится данная точка A, и находим точку M пересечения ее с плоскостью П1. Через точку проводится касательная h к основанию конуса – линия пересечения искомой плоскости с горизонтальной плоскостью проекций; искомая плоскость определена образующей и касательной, т. е. τ (a, h). Находим пересечение касательной плоскости с фронтальной плоскостью проекций – линию f, и переходим к заданию искомой плоскости линиями уровня –

τ (h, f).

Задача № 6. Провести плоскость, касательную к поверхности цилиндра, через данную на его поверхности точку. Плоскость основания параллельна фронтальной плоскости проекций.

Решение задачи приведено на чертеже (рис. 23) и состоит в следующем. Через данную на поверхности цилиндра точку A проводится образующая a; точка 1 является пересечением ее с плоскостью основания. Искомая касательная плоскость определится образующей a и касательной m к основанию цилиндра, проведенной через точку 1, т. е. τ (a, h).

19