Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия. Учебное пособие по курсу Начертательная геометрия.pdf
точке М и проходящей через точку С.
Рисунок 11.10 - Точка в осевой плоскости
Иногда вызывает затруднение построение главных
линий плоскости , если следы заданы как на рисунке
11.11.
Рисунок 11.11 - Горизонтали
Традиционно к главным плоскости относят и линии
наибольшего наклона (ската) - прямые перпендикулярные
к линиям уровня этой плоскости (следам).
Рисунок 11.12 - Линия наибольшего ската
Эти прямые определяют углы наклона произвольной
плоскости к плоскостям проекции. Для этого достаточно
найти истинные величины отрезков линий наибольшего
ската. Например (рисунок 11.12),
плоскости Р к плоскости проекции П1.
К характерным задачам нужно отнести и построение
линии пересечения плоскостей, когда точка пересечения
одноименных следов не может быть получена в пределах
чертежа (рисунок 11.13).
α
- угол наклона
Рисунок 11.13
Рисунок 11.14 - Условие задачи
Известно, что три плоскости всегда пересекаются в
точке. Это и служит отправным моментом для отыскания
точек линии пересечения двух плоскостей Q и Р.
Проводится вспомогательная плоскость S, параллельная
плоскости проекции (например, П1), которая пересекает
Q и Р по горизонталям. В силу того, что эти
горизонтали лежат в одной плоскости S то они,
пересекаясь, дают точку N общую для Q, Р и S. И,
следовательно, ее можно принять за точку линии
пересечения плоскостей Q и Р. Вторая точка линии
пересечения MN может быть найдена аналогично или как
точка пересечения соответствующих следов.
Поэтапное решение задачи на построение линии
пересечения двух плоскостей общего положения,
заданных треугольниками, показано на рисунках 11.14-
11.17
Для нахождения линии пересечения дважды решается
задача на построение точки встречи прямой с
плоскостью.
Рисунок 11.15 - Нахождение общей точки М
Рисунок 11.16 - Нахождение общей точки N
На рисунке 11.15 показано построение точки
встречи прямой DK с плоскостью треугольника АВС.
Прямая DK заключается в горизонтально -проецирующую
плоскость S. Находится линия пересечения плоскости S
и треугольника АВС (линия 11-21, 12-22). На
пересечении линии 12-22 с прямой А2-В2 отмечается
точка М2 - фронтальная проекция точки встречи. Затем
строится ее горизонтальная проекция.
Аналогично находится вторая общая точка N - точка
встречи прямой АВ с плоскостью треугольника DEK (как
показано на рисунке 11.16). Затем стоится линия
пересечения плоскостей - линия МN.
Рисунок 11.17 - Определение видимости треугольников
На рисунке 11.17 определяется видимость
треугольников методом конкурирующих точек. Точки 1 и
5 позволяют определить видимость сторон треугольников
на горизонтальном поле проекций (Z5>Z1), точки 6 и 7 -
на фронтальном (y6>y7).
Весьма распространены и задачи на отыскание
истинных величин плоских фигур. Решение здесь может
быть, в отдельных случаях, получено вращением фигуры
вокруг оси, параллельной плоскости проекций до
положения параллельного плоскости П1 или П2.
Проиллюстрируем это вращением
горизонтали АD до параллельности плоскости П
∆
АВС вокруг его
1
(рисунок 11.18).
В
∆
АВС вершина А располагается на оси АD и
поэтому в процессе вращения остается на месте.
Вершины В и С в процессе вращения движутся по дугам
окружностей, лежащих в плоскостях, перпендикулярных
оси вращения АD.
В силу выше сказанного и теоремы о проецировании
прямого угла, перпендикуляры, опущенные из
горизонтальных проекций точек В1 и С1 на
горизонтальную проекцию оси вращения А
, могут быть
1D1
приняты за проекции радиусов вращения точек В и С.
Истинная величина радиуса вращения ОВ может быть
определена по методу прямоугольного треугольника
(о
1В'1
- истинная величина радиуса вращения точки В).
Рисунок 11.18
В момент, когда
плоскости П1 радиус вращения ОВ занимает положение
линии уровня.
Новое положение вершины С можно найти в пересечении
двух прямых, из которых одна является перпендикуляром
Сd, а другая проходит через найденную точку в
точку d1. Объединение точек А, В и С позволяет
построить
11.3 Поверхности
Сечение прямого кругового цилиндра плоскостью
общего положения рассмотрено на рисунке 11.19.
Результатом пересечения всегда будет эллипс.
Для построения проекций фигуры сечения цилиндра
Σ
необходимо определить точки пересечения образующих
∆
АВС в истинную величину.
∆
АВС располагается параллельно
и
0
цилиндра с плоскостью общего положения Р.
Горизонтальная проекция линии пересечения
совпадает с горизонтальным очерком
Σ
цилиндра.
1
Следовательно задачу можно свести к построению точек,
лежащих в плоскости Р по их горизонтальным проекциям.
Для этого достаточно зафиксировать положение
нескольких образующих цилиндра Σ, разделив окружность
Σ
на несколько частей.
1
Обычно на чертеже образующие проводят равномерно,
разделив окружность на равные части. Фронтальные
проекции точек линии пересечения находятся по
принадлежности их плоскости Р., Например их относят к
горизонталям плоскости.
Рисунок 11.19 - Сечение цилиндра плоскостью
В месте пересечения фронтальной проекции фронтали
с соответствующей фронтальной проекцией образующей
получаем фронтальную проекцию точки пересечения.
Наивысшая и наинизшая точки проекции сечения на
П
можно найти во вспомогательной плоскости Q
2
⊥
Р
2
,
проходящую через ось вращения цилиндра Σ. Искомые
точки будут лежать на линии пересечения Q и Р.
При условии, что цилиндр и плоскость ограничивают
реальное тело, можно определить условие видимости на
чертеже.
Граница видимой части (на плоскости П2) определится
главным меридианом Σ, совпадающим с фронтальным
очерком. Анализ "глубины сцены" в направлении
обратном направлению оси Оу позволяет сделать
заключение о том, что точки 9,10,11,12,1 будут
видимы, а точки 3,4,5,6,7 - невидимы. Точки 2 и 8 границы видимости линии пересечения.
Истинная величина сечения может быть определена,
например, способом совмещения плоскости Р с
плоскостью П1.
На этом же рисунке 11.15 приведено и развертывание
цилиндрической поверхности. Развертка производится по
схеме аппроксимации поверхности Σ 12-гранной призмой.
Развертка усеченной части строится на развертке
исходного цилиндра. Присоединение к развертке боковой
поверхности цилиндра и его сечения даст возможность
сделать модель рассеченного цилиндра.
Наряду с поверхностями вращения часто приходится
иметь дело с гранными поверхностями. Рассмотрим
сечение прямой четырехгранной призмы ∆ плоскостью
общего положения Р (рисунок 11.20).
Рисунок 11.20
В сечении призмы
четырехугольник, вершины которого представляют собой
точки пересечения ребер призмы с плоскостью.
Как и в предыдущей задаче, горизонтальная
проекция сечения уже определена, она совпадает с
горизонтальным очерком
проекция линии пресечения определится по
∆
плоскостью Р получится
∆
призмы. Фронтальная
1
принадлежности точек сечения плоскости Р.
Р
2
Натуральная величина сечения может быть найдена,
например, совмещением плоскости Р с плоскость П1. В
соответствии с рисунком 11.20
- совмещенное (новое)
положение следа Р2.
Рисунок 11.21
При построении развертки (рисунок 11.21) сначала
строятся грани боковой поверхности усеченной призмы,
а затем пристраиваются оба основания (нижнее и
сечение).
Рассмотрим аналогичную задачу, при условии, что
нижнее основание трехгранной призмы также
пересекается плоскостью (рисунок 11.22).
Все грани призмы являются отсеками горизонтально
- проецирующих плоскостей. Следовательно, одна
проекция сечения уже определена, она ограничена
горизонтальным очерком призмы и горизонтальным следом
секущей плоскости.
Рисунок 11.22
Причем, нужно отметить, что сечение нижнего
основания с плоскостью Р совпадает со следом Р1 этой
плоскости.
Таким образом, в сечении трехгранной призмы
плоскостью общего положения оказывается
четырехугольник 1234.
Фронтальная проекция этого четырехугольника
1222324
(рисунок 11.22) может быть найдена по
2
принадлежности точек секущей плоскости.
Несколько более сложной является задача по
определению сечение пирамиды плоскостью общего
положения.
Рассмотрим решение задачи на примере пересечения
трехгранной пирамиды ∆ с плоскостью Р (рисунок
11.23). Сечение будет ограничено точками пересечения
ребер пирамиды ∆ с плоскостью общего положения Р.
Рисунок 11.23
Это равносильно последовательному решению трех
задач по определению точек пересечения линий общего
положения АS, BS и CS с плоскостью Р.
Точка 2 пересечения ребра BS с плоскостью Р
определится введением вспомогательной горизонтально
-проецирующей плоскости R. Точка 22 определится как