Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия. Учебное пособие по курсу Начертательная геометрия.pdf
По способу нормальных сечений призма
l h R
= +
2 2
пересекается плоскостью ∆, перпендикулярной ее
боковым ребрам. Затем определяются длины сторон
ломаной линии (сечения) и она (ломаная)
развертывается в отрезок прямой.
Через точки, соответствующие вершинам ломаной,
проводятся прямые, перпендикулярные к ней. На
построенных перпендикулярах откладываются натуральные
длины соответствующих отрезков ребер. Концы ребер
последовательно соединяются отрезками прямых.
При необходимости к построенной развертке боковой
поверхности призмы пристраиваются натуральные фигуры
оснований призмы.
Способ нормальных сечений эффективен, если ребра
призмы являются линиями уровня. Если же при этом
основания призмы расположены в плоскостях уровня, то
реализуется частный случай этого способа - способ
раскатки.
Построение развертки поверхности пирамиды
сводится к отысканию истинных величин граней этой
призмы и последующему совмещению их с плоскостью. Для
нахождения истинных величин граней необходимо (какимлибо способом) найти натуральные длины всех ребер
пирамиды.
10.2 Приближенное построение разверток
Выше было отмечено, что для всех поверхностей
строятся приближенные развертки. Однако для таких,
как цилиндрическая и коническая поверхности вращения,
могут быть вычислены все параметры необходимые для
точной развертки.
Отсек цилиндра вращения радиуса R и высоты h
развертывается в прямоугольник h
×
l (l=2πR).
Отсек конуса вращения с высотой h и радиусом
основания R развертывается в круговой сектор, радиус
которого равен длине образующей отсека конической
поверхности (
),а его центральный угол α=2
π
R/l.
Построение разверток поверхностей начинается с
аппроксимации их многогранными поверхностями,
базирующейся на линейной аппроксимации направляющих.
Как правило, кривая заменяется вписанной ломаной.
Проиллюстрируем все выше сказанное примерами.
Развертка боковой поверхности усеченного конуса
вращения представлена на рисунке 10.3.
Развертывание боковой поверхности усеченного
конуса, в общем случае, производится по схеме
развертывания поверхности пирамиды.
Коническая поверхность заменяется вписанной в нее
поверхностью пирамиды. Построение развертки будет тем
точнее, чем больше граней имеет пирамида, заменяющая
коническую поверхность.
Рисунок 10.3 Развертка конуса
Истинные величины отрезков образующих (А1,…
,K7), определятся на очерковой образующей конуса.
Развертка боковой поверхности наклонного
кругового цилиндра показана на рисунке 10.4.
Рисунок 10.4
На первом этапе в цилиндрическую поверхность
вписывается призма, основанием которой служит
многоугольник с n сторонами. Достаточная точность
аппроксимации может быть получена при длине стороны
равной четверти радиуса окружности. В силу того, что
рассматриваемая поверхность симметрична относительно
фронтальной плоскости уровня, достаточно построить
развертку лишь одной ее половинки.
Развертка вписанной призмы выполняется по способу
раскатки.
Некоторая фронтальная плоскость совмещается с ребром
АА'. Затем с ней совмещаются боковые грани призмы
последовательным вращением их вокруг соответствующих
ребер.
Вращением вокруг ребра АА' грань АВВА
совмещается с плоскостью. Построение совмещенного
положения ребра ВВ' базируется на том, что точки В и
В' вращаются в плоскостях перпендикулярных ребру
АА', и равноотстоят от точек А, А'. Для построения
точек В и В' на развертке через их фронтальные
проекции В2 и В
проецирующих плоскостей
фиксируется положение точек В. Далее, аналогичным
' проводятся следы фронтально-
2
∆,∆'⊥
АА', на которых
образом строится грань ВСС'В' и т. д.
10.3 Условные развертки поверхностей
Для неразвертывающихся поверхностей строят
условные развертки. Для этого, исходя из требуемой
точности развертки, исходную поверхность разрезают
на несколько равных частей. Затем полученные отсеки
аппроксимируются отсеками развертывающихся
поверхностей, для которых (по рассмотренной выше
методике) и выполняют развертки. Последние и
принимают за условную развертку исходной поверхности.
Рассмотрим построение развертки поверхности
вращения по описанной выше методике на примере
поверхности вращения.
Рисунок 10.5
Условные развертки поверхностей вращения
выполняют в основном двумя способами: способом
цилиндров и способом конусов.
При построении условной развертки способом цилиндров
исходная поверхность разрезается плоскостями,
проходящими через ее ось вращения (рисунок 10.5).
Каждый выделенный отсек заменяются отсеком
цилиндрической поверхности, которая касается исходной
поверхности по ее среднему меридиану. Образующие
отсека цилиндра ограничены плоскостями меридианов,
ограничивающих отсек исходной поверхности.
При этом дуги параллелей исходной поверхности
аппроксимируются отрезками образующих соответствующих
цилиндров.
Рисунок 10.6
Для построения развертки поверхности вращения
способом конусов исходная поверхность разрезается
плоскостями перпендикулярными ее оси вращения, на
несколько частей - "поясов". Каждый из поясов
аппроксимируется отсеком конуса вращения.
Таким образом, задача сводится к построению
разверток отсеков аппроксимирующих конусов.
Выбор способа построения условной развертки
поверхности вращения в реальном проектировании во
многом зависит от конкретных размеров поверхности
технологии изготовления изделия.
11 Решение задач в Начертательной геометрии
Выше были рассмотрены общие "геометрические"
подходы к решению инженерных и научных задач. Решение
реальных задач требует конкретизации этих подходов.
11.1 Точки и прямые
Декартова система координат, к которой
"привязаны" плоскости проекций, предусматривает
возможность задания не только положительных, но и
отрицательных координат точек.
Рассмотрим возможность построения чертежей точек,
имеющих и отрицательные координаты.
Рисунок 11.1
Формально процесс построения чертежа сохраняется.
Для точек с отрицательной координатой Y (точки B и D
рисунок 11.1) положительное направление оси Оz
принимается за отрицательное направление ОY.
Рисунок 11.2 - Профильная линия уровня
Определенный интерес при выполнении
машиностроительных чертежей представляет линия,
параллельная плоскости zОy, ее обычно называют
профильной линией уровня (рисунок 11.2).
Ее горизонтальная а
и фронтальная проекции а
1в1
2в2
перпендикулярны оси чертежа.
Еще одна, часто встречающаяся в черчении, прямая,
перпендикулярная плоскости zОy. Такая прямая
называется профильно - проецирующей (рисунок 11.3).
Обе ее проекции, горизонтальная а1в1 и
фронтальная а2в2, параллельны оси чертежа Ох.
Рисунок 11.3 - Профильно - проецирующая прямая
Вопрос о взаимном положении прямых не всегда
решается по двум данным проекциям. Как показано на
рисунке 11.4, приходится строить профильную проекцию.
Рисунок 11.4 - Скрещивающиеся и параллельные
профильные прямые
Деление в заданном отношении отрезка базируется
на свойстве параллельных проекций (отношение отрезков
на прямой равно отношений отрезков на проекциях).
Задача решается путем деления в данном отношении
одной из проекций этого отрезка (рисунок 11.5). Пусть
АВ делится точкой К в отношении 3:2. На
горизонтальной проекции (в точке А
вспомогательная прямая В0. На ней отложено пять
одинаковых отрезков произвольной длины. Точка К
делит отрезок А
в заданном отношении 3:2.
1В0
) проведена
1
0
Рисунок 11.5
Точка К1 (прямая К
соответствии с теоремой Фалеса, делит отрезок А
параллельная В
1К0
1В0
), в
1В1
в
том же отношении. Фронтальная проекция К2 точки
найдется по соответствию на А
2В2
.
11.2 Плоскости
Многие задачи, связанные с чертежами плоскостей,
удобнее решать, кода плоскости заданы следами, что
бывает не всегда. Проиллюстрируем возможность
перехода от задания плоскости пересекающимися прямыми
к заданию следами.
Этот переход базируется на определении следов прямых
(рисунок11.6).
Рисунок 11.6 - Следы прямой
.
Точки пересечения прямой с плоскостями проекций
М
получили называние следов. Очевидно, что следы
прямой, лежащей в плоскости, должны лежать на
соответствующих следах этой плоскости (рисунок 11.7).
Следы плоскости Q, заданной пересекающимися
прямыми АВ и АС, могут быть найдены следующим
образом.
Рисунок 11.7 - Следы прямых и плоскости
След Q1 определяется двумя точками (М и
горизонтальными следами прямых CD и AB, соответственно.
След Q2 определяется двумя точками (N и N),
фронтальными следами прямых CD и AB.
Правильность построения проверяется по точке
пересечения следов (Qх).
Рисунок 11.8 - Точки и линии в плоскости
Прямые и точки, расположенные в проецирующих
плоскостях, рассмотрены на рисунке 11.8. В качестве
),
проецирующей плоскости взята горизонтально проецирующая плоскость.
Горизонтальная проекция объекта, лежащего в этой
плоскости, будет совпадать с горизонтальным следом
этой плоскости (рисунок 11.8).
Горизонтальная проекция объекта, лежащего в
горизонтально - проецирующей плоскости, не определяет
положение его в пространстве. Фронтальная же проекция
объекта, однозначно определяет положение его в
пространстве.
Аналогичное заключение может быть сделано и для
фронтально - проецирующей плоскости.
Построение отрезка прямой в профильно проецирующей плоскости, заданной следами, показано на
рисунке 11.9. Принадлежность прямой АВ такой Р
плоскости может быть определена по принадлежности
следов (М и N) прямой следам Р1 и Р2 этой плоскости.
Рисунок 11.9
Задача на принадлежность точки D плоскости и
здесь сведется к определению принадлежности ее прямой
этой плоскости (например, АВ, в соответствии с
рисунком 11.9).
Пример построения точки, лежащей в осевой
плоскости,показан на рисунке 11.10.
Плоскость, проходящая через координатную ось,
называется осевой. Если эта плоскость делит
двугранный угол, образованный плоскостями проекций,
пополам, то такая осевая плоскость называется
биссекторной.
Плоскость задана следами и точкой С. Решение
сводится к построению прямой t, пересекающей ось Х в