Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия. Учебное пособие по курсу Начертательная геометрия.pdf
плоскостью проекций в котором лежит этот след.
Отрезки линий и фигуры, лежащие в плоскости,
изобразятся на соответствующей плоскости проекций без
искажения.
Плоскость общего положения Р может быть совмещена с
главной картинной плоскостью П путем вращения около
одного из своих следов.
Основой для построения нового изображения служат
следующие предпосылки: все точки плоскости
перемещаются по окружностям, перпендикулярным оси
вращения (соответствующему следу), длины отрезков,
лежащих на перемещаемом следе, не изменяются после
совмещения плоскостей Р и П1.
Рисунок 6.8
Новое положение вращаемого следа определится из
условия того, что сохраняется точка пересечения
следов Рх и след проходит через фиксированную точку
N ( в соответствии с рисунком 6.8 ).
Совмещенное положение точки N' определяется из
условия сохранения величин отрезков на вращаемом
следе РхN= РхN'. Применительно к комплексному
чертежу (рисунок 6.9)при вращении плоскости общего
положения Р вокруг горизонтального следа Р1 все это
выглядит следующим образом.
На фронтальном следе P
точка N. Ее горизонтальная проекция N1 при вращении
плоскости не изменит своего положения.
Фиксируется произвольная
2
Рисунок 6.9
Полагая, что ось преобразованного чертежа
совпадет со следом Р1 новая фронтальная проекция этой
точки N'2 найдется на линии связи перпендикулярной
Р1. При этом выполняется условие РхN
= РхN'
2
.
2
6.5 Применение преобразования плоскости
О задачах, связанных с определением длины отрезка
и величины плоской фигуры, говорилось выше, в
процессе рассмотрения аппарата преобразования
чертежа. Эти задачи были отнесены к метрическим.
Рассмотрим еще одну.
Рисунок 6.10
Определение расстояния от точки до плоскости.
Задача комплексная и предусматривает следующее:
проведение из внешней точки к плоскости
перпендикулярной прямой, фиксирование точки
пересечения этого перпендикуляра с плоскостью и затем
определение его длины. Использование перемены
плоскостей проекции позволяет упростить процесс
решения ( рисунок 6.10 ).
Проведение фронтали f и введение новой оси
чертежа х
⊥
f
1
позволяет преобразовать плоскость
2
∆
АВС в положение проецирующей (смотри рисунок 6.6).
Точка D подвергается тому же преобразованию.
В новой системе плоскостей проекции П
2П'1
расстояние
от точки D до плоскости Р определится длиной отрезка
D'1S'1.
Аналогичным же образом решается здесь и вопрос о
пересечении прямой общего положения АВ и плоскости
Р.
Для определенности положим, что плоскость Р общего положения (рисунок 6.11).
Рисунок 6.11
Фиксирование на фронтальном следе Р2 произвольной
точки N и введение новой оси чертежа,
перпендикулярной следу Р1, позволяет построить новое
положение следа Р'2, заменив плоскость проекции П2 на
П'
. Плоскость Р становится проецирующей.
2
Пересечение следа Р'2 с проекцией А'
2В'2
позволяют получить проекцию S'2 точки пересечения
прямой АВ с плоскостью Р. Проекции точки пересечения
S
и S2 найдутся по соответствию принадлежности этой
1
точки прямой АВ.
7 Кривые линии
Проектирование обводов сложных технических форм
напрямую связано с вопросом конструирования кривых по
наперед заданным условиям. Последнее в большой
степени обусловлено способом задания и формирования
кривых.
Принято рассматривать кривые по отношению их к
трехмерному пространству. Если кривые полностью
принадлежат гиперпространству (двумерной плоскости)
расширенного Евклидова пространства Е
+3
,то такие
кривые называет плоскими. Все остальные кривые
относят к пространственным.
В общем случае кривые рассматриваются, как
результат пересечения поверхностей. В этом смысле
плоские кривые являются результатом пересечения
поверхности с плоскостью.
Все кривые на чертеже задаются проекциями, которые
являются плоскими кривыми, поэтому большая честь
раздела и посвящена конструированию плоских кривых.
В практической работе проектировщику приходится
иметь дело с двумя большими классами кривых:
представляющих дуги простых кривых (графиков функций)
и составных (сложных). Составные кривые, получившие
в технике название обводов, конструируются из
ряда дуг простых с соблюдением заданных условий на
стыках.
7.1 Дифференциальные характеристики кривой
Рисунок 7.1
Форма и характер поведения плоской кривой в
окрестности любой точки определяется ее
дифференциальными характеристиками.
К основным характеристикам плоской кривой относят
касательную t, нормаль n и кривизну ρ (рисунок 7.1).
Касательная (в точке P) - предельное положение
секущей 12 при бесконечном приближении точек 1 и 2 к
точке P(x
р,yр
). Уравнение касательной имеет вид
y = yр + f'(xр)(x-xр) ,
где f'(x
Нормаль - линия перпендикулярная касательной в
фиксированной точке кривой.
Кривизна - величина, обратная значению радиуса
круга кривизны кривой
определится уравнением
где штрихи означают дифференцирование по x .
Круг кривизны - предельное положение
соприкасающейся окружности 1P2 при бесконечном
приближении точек 1 и 2 к точке P(x
Приведенные уравнения показывают, что касательная
и кривизна не являются полными аналогами первой и
второй производной (такая аналогия принята в
вычислительной математике), хотя и связаны с ними.
)) - первая производная в точке x = xр.
р
ρ
=1/R в фиксированной точке Р,
ρ
= y"/ (1+y'2)
3/2
р,yр
).
7.2 Особые точки кривых
"Поведение кривой" можно оценить и по типу точек,
которые она несет на себе (рисунок 7.2).
Рисунок 7.2 - Точки кривой
Точка кривой, в которой определена единственная
касательная, называется обыкновенной (регулярной).
Если в обыкновенной точке (A, B, C, D) кривизна
достигает экстремального значения (например, ноль),
то такая точка называется специальной. К специальным
точкам относятся точки перегиба M, точки экстремума(
∞
вершины кривой B, D) и несобственные точки S∞ и Q
(рисунок 7.2).
В точке перегиба ветви кривой расположены по
разные стороны от касательной, кривизна в ней рана
нулю (радиус кривизны стремится к бесконечности).
Несобственная точка - это точка пересечения кривой с
несобственной прямой плоскости. Такие точки на
чертеже задаются асимптотами.
Точка кривой, в которой не определено положение
касательной, получила название особой. К таким
точкам относят (рисунок 7.3) узловые точки А, точки
возврата C и D , излома K , перекрещения L, точки
изолированные B, асимптотические М и точки
самоприкосновения E.
Рисунок 7.3 - Особые точки кривых
При проектировании технических форм следует
избегать работы с дугами несущими на себе особые
точки.
7.3 Алгебраические кривые
Кривые могут быть классифицированы по виду их
уравнения. Кривые, определяемые уравнениями в виде
полиномов
Σ
A
или отношения полиномов, получили название
алгебраических. Все прочие кривые называют
трансцендентными.
Для алгебраических кривых существует специальная
характеристика порядок кривой. Она совпадает по
значению с максимальной степенью полинома.
Геометрически порядок определяется числом точек
пересечения алгебраической кривой с произвольной
прямой линией. Эти точки могут быть: действительными
XiYj=0 (i,j=0,...,n)
ij
(А и В), или мнимыми D (в соответствии с рисунком
7.4). Еще одна существенная характеристика жанр (род)
кривой.
Рисунок 7.4
Жанр (род) кривой определяется, как разность
между возможным для данного порядка и существующими
количествами двойных (совпавших) точек. Кривые
нулевого порядка называют рациональными. Эти кривые
нашли широкое применение для описания гидро - и
аэродинамических профилей.
7.4 Конические сечения
Кривые, получающиеся при пересечении прямого
кругового конуса плоскостью, называются кониками или
коническими сечениями (рисунок 7.5).
вращения, то в сечении (в общем случае) получается
окружность. При прохождении такой плоскости через
вершину конуса окружность вырождается в точку.
всем образующим, позволяет получить эллипс.
параболу. В частном случае, когда секущая плоскость
касается образующей, парабола вырождается в две
совпавшие прямые.
гиперболу. В частном случае, при прохождении
плоскости
через саму ось, получаются две пересекающиеся
прямые.
построения дуг кривых второго порядка основаны на
методах проективной геометрии. В соответствии с
рисунком 7.6 дуга кривой второго порядка может быть
определена тремя точками и касательными в двух
Рисунок 7.5
Если секущая плоскость перпендикулярна оси
Плоскость, пересекающая конус одновременно по
Плоскость, параллельная образующей, отсекает
Плоскость, параллельная оси вращения, отсекает
Наиболее употребительные графические способы
точках. Например, точки А, В, С и касательные tА и
t
.
В
Рисунок 7.6
Порядок построения точек дуги коники следующий:
строится треугольник АТВ, где tА∩tВ, а затем внутри
этого треугольника - точки Mi кривой второго порядка.
Для построения текущей точки дуги объединяются
точки А, В и C. Проводится произвольная прямая l,
которая в пересечении с прямой ВC определит положение
точки N. Точка N соединяется прямой с точкой Т
пересечением касательных. Пересечение прямых NТ и АC
позволяют получить точку Р. Положение текущей точки
дуги коники Mi найдется в пересечении прямых ВР и
АN.
Меняя положение точки N можно получить
множество точек дуги кривой второго порядка.
Изменение положения точки С приведет получению
другой формы коники. Такая возможность управления
формой кривой широко используется в инженерной
практике, для чего введено понятие инженерного
дискриминанта.
В этом случае точка С задается на медиане DT
∆
АТВ. Инженерный дискриминант f определяется из
отношения f = CD/TD. Он характеризует тип коники:
при f<0.5 - это дуга эллипса, при f=0.5 - дуга
параболы, при f>0.5 - дуга гиперболы.
В отдельных случаях удобнее, если известен тип
коники, построение кривой может быть значительно
упрощено. Например, парабола может быть построена,
как пропорциональная кривая (рисунок 7.7).
Рисунок 7.7
Исходная информация для построения дуги параболы:
граничные точки А, В и точка пересечения касательных
Т.
Отрезки АТ и ВТ делятся точками 1 и 2 пополам.
Прямая 12 также делится пополам. Точка М - точка
параболы.
Затем процесс повторяется (в обе стороны):
граничные точки А, М и точка пересечения касательных
1 и т.д.
Рисунок 7.8
Эллипс удобнее стоить по его полуосям (большой
ОВ и малой ОА).Для построения эллипса проводятся две
соосные окружности радиусами ОВ и ОА (рисунок 7.8).
Проведение произвольной прямой ОС и дальнейшее