Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия. Учебное пособие по курсу Начертательная геометрия.pdf
построение "ключа" (треугольника СDМ со сторонами
параллельными осям эллипса) позволяет определить
положение текущей точки эллипса М.
7.5 Плоские обводы
Решение практических задач по формированию
сложных технических контуров наталкивается на такую
проблему, как невозможность представления всего
контура единственной кривой. Это и породило
необходимость конструирования составных кривых
(кривых сформированных из дуг простых).
В технике такие кривые получили название обводов,
в математике они более известны, как сплайны
(spline). Основной характеристикой обвода является
гладкость. Под гладкостью понимают число совпавших
производных (уравнений стыкующихся кривых) в точках
стыка.
Наиболее простой вариант построения составной
кривой из дуг окружностей.
Окружности могут сопрягаться таким образом,
что в точках стыка будут располагаться общие
касательные. Такой стык соответствует первому
порядку гладкости (совпадают только первые
производные).
Для построения этого обвода используется идея
радиусо-графического сопряжения дуг окружностей.
Исходной информацией является точечный ряд
(1,2,3,...,n) и касательная на одном из концов
этого ряда (например, ti).
Рисунок 7.9
Вследствие того, что окружность
трехпараметрическая кривая для построения окружности
кроме точки i нужно определить еще одну, например
(i+1) или (i-1). Не нарушая общности рассуждений,
рассмотрим вариант с (i+1)-ой точкой (рисунок
7.9).
Графическое решение выглядит следующим образом:
проводится хорда, соединяющая конечные точки i и
(i+1). В средней точке хорды строится
перпендикуляр h . Пересечение касательной t и
перпендикуляра h и определит положение центра искомой
окружности. Радиус окружности совпадает с
отрезками [o-i] и [o-(i+1)]. Касательная к
построенной окружности будет перпендикулярна радиусу,
проведенному в (i+1)-ю точку.
Центры касающихся окружностей лежат на прямой,
проходящей через точку касания. Таким образом
определение центра окружности сопрягающейся с i-той
найдется на пересечении линии О
перпендикуляром к середине хорды (i+1)(i+2).
7.6 Пространственные кривые
В отличие от плоских кривых, пространственные
кривые (линии двоякой кривизны) не лежат всеми своими
(i+1) с
i
точками в одной плоскости.
Общие свойства пространственной кривой, ее проекции
связаны со свойствами проецирования и справедливы для
проекций плоских кривых.
а) Несобственная точка кривой проецируется в
несобственную точку ее проекции.
б) Касательная к кривой проецируется в касательную
к ее проекции.
в) Порядок проекции алгебраической кривой равен
порядку самой кривой.
В частных случаях проекция может распадаться и
иметь меньший, чем у кривой, порядок. Например,
кривая второго порядка, лежащая в проецирующей
плоскости, проецируется в "двойную" прямую.
Исследование свойств кривой в окрестности ее точки,
так называемых дифференциальных (локальных) свойств
производится путем построения проекций кривой на
гранях сопровождающего трехгранника (рисунок 7.10).
Рисунок 7.10
Сопровождающий трехгранник ( трехгранник Френе )
состоит из трех ребер - касательной t, нормали n и
бинормали b и из трех граней - соприкасающейся Θ,
нормальной Г, спрямляющей Ψ плоскостей.
Рассмотрим наиболее часто встречающуюся на
практике пространственную кривую - цилиндрическую
винтовую линию рисунок 7.11.
Цилиндрическая винтовая линия представляет собой
траекторию точки, совершающей равномерное движение
вдоль некоторой прямой, которая в свою очередь
равномерно вращается вокруг параллельной ей оси.
α
ϕ
Расстояние h, на которое точка М перемещается
вдоль образующей за один ее оборот, называется шагом
винтовой линии. Описываемая при этом точкой М дуга
называется витком.
Рисунок 7.11
Число р = h/2π называется параметром винтовой
линии и определяет перемещение z точки М вдоль прямой
m за время поворота последней на угол
одному радиану.
Радиус r цилиндрической поверхности, описываемой
прямой m вращением вокруг оси i параллельной m,
называется радиусом винтовой линии, а ось i - осью
винтовой линии.
Очевидно, что винтовая линия однозначно
ϕ
, равный
определяется своей осью i, шагом h и радиусом r.
Поэтому для построения проекций винтовой линии l
l
на чертеже задается цилиндрическая поверхность
2
вращения с осью i, радиусом r. На оси i
откладывается отрезок, равный шагу h.
Вырожденная проекция цилиндрической поверхности
есть горизонтальная проекция l1 данной винтовой
и
1
линии. Для построения фронтальной проекций l
2
окружность делится на равное число частей (в
соответствии с рисунком 7.11). Фронтальные проекции
точек винтовой линии находятся как точки пересечения
одноименных горизонтальных и вертикальных прямых,
проведенных через точки деления.
Винтовая линия может быть правой или левой в
зависимости от направления закручивания. Угол α между
касательной к винтовой линии и плоскостью Г
⊥
i,
постоянен для любой ее точки и называется углом
подъема винтовой линии.
Нетрудно показать, что на поверхности цилиндра
некоторая кратчайшая линия, соединяющая две точки
поверхности, будет винтовой линией.
В технике также встречаются винтовые линии,
принадлежащие коническим поверхностям и некоторым
поверхностям вращения.
8 Поверхности
Поверхности в геометрии рассматриваются либо как
двумерные множества точек, либо как одномерные
множества линий. Второе определение наиболее
соответствует конструированию поверхностей с
использованием кинематического метода.
Этот подход (в соответствии с рисунком 8.1)
предполагает формирование поверхности в результате
перемещения одной кривой U (образующей) по другой
кривой V (направляющей).
Рисунок 8.1
В общем случае понятия направляющей и образующей
чисто условные.Перемещение кривой V по кривой U
сформирует туже самую поверхность.
Наложение условий на форму кривых и условия
перемещения позволяет формировать практически
любые поверхности.
Традиционно рассматривают поверхности простые,
описываемые единым уравнением, и составные, состоящие
из отсеков простых.
Изучение многообразия поверхностей, образуемых
кинематическим способом, требует их систематизации.
Это особенно важно в автоматизированном
проектировании при создании информационных систем
или, так называемых, банков данных.
Очевидно, что невозможно разработать единую,
приемлемую для всех, систематизацию (классификацию)
поверхностей. Сложность состоит в том, что трудно
выделить единый признак классификации. Например,
вполне естественно в основу систематизации положить
вид образующей и закон ее перемещения.
По виду образующей различают линейчатые
(образующая - прямая), циклические (образующая окружность) и другие поверхности.
Возможна классификация и по закону перемещения
образующей - поверхности вращения, параллельного
переноса, винтовые и т.д. Очевидно, что при этом
некоторые поверхности могут быть отнесены
одновременно к различным классам. Например,
цилиндрическая поверхность вращения является
линейчатой и поверхностью вращения.
Все это и определило отказ от традиционного
рассмотрения в пособии различного рода классификаций
поверхностей.
8.1 Задание поверхности на чертеже
Для изображения поверхности на чертеже необходимо
выяснить проекции каких элементов поверхности
необходимо задать для того, чтобы получить обратимый
чертеж.
Поверхность считается заданной, если относительно
любой точки (на чертеже), можно дать однозначный
ответ на вопрос: "Принадлежит ли эта точка
рассматриваемой поверхности?". Другими словами, если
по одной проекции точки, принадлежащей поверхности,
можно построить ее вторую проекцию.
Поверхности на чертеже моделируются
соответствиями, также как и плоскость, которая
моделируется взаимнооднозначным соответствием родством (раздел 3).
Возможны два способа задания таких соответствий:
аналитический и графический.
При аналитическом задании, в общем случае,
поверхность может быть определена уравнением в
неявном виде F(x,y,z) = 0, в явном виде z =f(x,y), или
параметрической форме x = X(u,v), y= Y(u,v), z = Z(u,v).
Параметры u и v получили название криволинейных
координат (рисунок 8.1).
Графическое задание также предусматривает
несколько вариантов. Один из них непосредственно
вытекает из аналитического способа.
Рисунок 8.2
Табулирование уравнений, задающих поверхность,
позволяет получить либо двухпараметрическое множество
точек, либо два однопараметрических семейства линий.
Эти семейства определяют, так называемый каркас
поверхности (точечный или линейчатый). Изображение
этих каркасов на чертеже позволяет говорить о
каркасном задании поверхности (рисунок 8.2).
Еще один, самый распространенный, графический
способ - задание поверхности (отсека) очерками.
Рисунок 8.3
При проецировании произвольной поверхности на
плоскость проекций некоторые из проецирующих прямых
будут касаться этой поверхности и образовывать
некоторую проецирующую (цилиндрическую для
параллельного проецирования)поверхность
Ω
.
Линия касания этих поверхностей называется
контурной линией, а ее проекция на соответствующую
плоскость очерком.
В соответствии с рисунком 8.3, поверхность
прямого кругового конуса на комплексном чертеже
задана своими очерками (горизонтальным очерком
соответственно, фронтальным
Φ
). Очерки дают более
2
Φ
1
и,
наглядное представление об изображаемом объекте.
Рисунок 8.4
Пользуются при задании кинематических
поверхностей и понятием определителя. Под
определителем кинематической поверхности понимают
совокупность независимых условий, однозначно
определяющих эту поверхность. Условиями могут быть:
задание образующей поверхности, закон ее изменения (в
случае переменной образующей), закон движения
образующей и др. Некоторые из них могут быть выражены
графически. Например, сфера Ф может быть представлена
как поверхность вращения: Ф[i,l] (рисунок 8.4).
Условиями, включенными в определитель поверхности
и определяющими ее форму, могут быть также параметры
формы.
Одна и та же поверхность может быть образована
несколькими способами. Поэтому она может иметь разные
определители.
Все рассмотренные способы задания поверхности связаны
между собой и при решении многих задач приходится
переходить от одного способа задания к другому.
8.2 Точка и линия на поверхности
Обобщение определений на принадлежность точки и
линии плоскости позволяет утверждать следующее:
точка лежит на поверхности, если она лежит на линии
лежащей, на поверхности,линия лежит на поверхности в
том случае если все ее точки лежат на поверхности.
` Рисунок 8.5 Рисунок
8.6
В соответствии с рисунком 8.5 и данным выше
определением точка А лежит на поверхности конуса,
заданного очерками Ф2 и Ф2. Точка А лежит на
окружности l, полученной пересечением конической
поверхности с горизонтальной плоскостью уровня Σ.
Здесь одной фронтальной проекции точки А
2
соответствуют две горизонтальные А1 и А'1.
Рисунок 8.6 иллюстрирует винтовую линию l на
поверхности конуса Ф, построенную по точкам. При
построении точек, лежащих на поверхностях, выбираются
такие линии, лежащие на них, которые легко могут быть
построены (прямые, окружности).
8.3 Конструирование поверхностей
Как уже отмечалось выше, поверхности должны
отвечать определенной совокупности независимых
условий (виду образующей, закону ее изменения и
движения и т.д.). Все это и определяет подход к
выполнению чертежей поверхностей.