Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия. Учебное пособие по курсу Начертательная геометрия.pdf
плоскости Г с плоскостью основания конической
поверхности. Затем определяется положение линии m.
Пересечение образующей m и линии l и определит
решение.
Рисунок 8.30
Для общего случая решение, пересечения
цилиндроида с пространственной кривой выглядит
следующим образом (рисунок 8.30).
Кривая l заключается во фронтально проецирующую
цилиндрическую поверхность Г, которая пересекает
цилиндроид Ф по кривой m. Так как те m
фронтальная проекция m2 совпадает с вырожденной
проекцией Г2 вспомогательной поверхности Г.
Горизонтальная проекция m1 линии пересечения m
строится ,по точкам из условия принадлежности
цилиндроиду Ф. Линии l и, m принадлежащие
поверхности Г, пересекаются в искомых точках L1 и L2.
Приведенное решение является типовым. В ряде
случаев для более точного построения линии
пересечения данной и вспомогательной поверхностей или
для упрощения построений целесообразно использовать
другие виды вспомогательных поверхностей.
⊂
Г, то ее
9 Аксонометрические проекции
Аксонометрические чертежи применяют, в основном,
для усиления наглядности изображаемого на комплексном
чертеже объекта.
Для построения аксонометрического чертежа в
пространстве выбирается некоторая ортогональная
система Охуz (натуральная система) и объект Ф,
жестко с ней связанный. На каждой из осей координат
откладывается единичный отрезок: е
, е
х
и e
у
z
(рисунок 9.1).
Рисунок 9.1
Расстояния каждой точки объекта до координатных
плоскостей, измеренные единичным отрезком е, дают три
числа (натуральные координаты точки), которые
определяют ее положение относительно данной системы
координат.
Объект вместе с системой отнесения проецируется
параллельно на плоскость П' - аксонометрическую
(картинную) плоскость проекций.
Проекции всех геометрических элементов на
плоскость П' получили название аксонометрических.
В зависимости от способа проецирования
(центрального, параллельного или прямоугольного)
получают различные виды аксонометрических проекций:
центральную, параллельную косоугольную или
прямоугольную аксонометрии.
Аксонометрические проекции геометрических
элементов на координатные плоскости называют
вторичными проекциями.
Аксонометрическую координатную ломаную можно
построить, если даны аксонометрическая проекция точки
и одна из ее вторичных проекций.
В процессе построения аксонометрических чертежей
возникает на вопрос - Каким образом следует задавать
на картинной плоскости аксонометрические оси и
аксонометрические масштабные единицы? Ответ на него дает основная теорема параллельной
аксонометрии (теорема Польке), которая утверждает
следующее.
В косоугольной аксонометрии аксонометрические
оси на плоскости чертежа и единичные отрезки на них
могут быть выбраны совершенно произвольно.
Это означает, что, задав на картинной плоскости
три проходящие через одну точку несовпадающие прямые
0'х', О'у', О'z' и отложив на них три отрезка
произвольной длины (отличной от нуля), можно
утверждать, что данная фигура может рассматриваться
как параллельная проекция трех взаимно-
перпендикулярных осей координат Охуz с отложенными
на них соответственно равными единичными отрезками
ОЕx = ОЕу = ОЕz = е.
Из теоремы следует, что аксонометрическая система
в общем случае определяется пятью независимыми
параметрами: тремя аксонометрическими единичными
отрезками и двумя углами между аксонометрическими
осями.
В зависимости от соотношений между
аксонометрическими единичными отрезками параллельные
аксонометрические проекции классифицируют как
триметрические (e
'≠ ey'≠ez') диметрические (ex'=
x
ey'≠ez') и изометрические проекции(ex'= ey'= ez').
Для большего удобства построений в аксонометрии
вводится понятие показателей искажения. Показатель
искажения для отрезка данного направления определяют
как отношение величины аксонометрической проекции
отрезка к его натуральной величине.
Для построения аксонометрической проекции фигуры
достаточно знать три показателя искажения вдоль
координатных осей. Показатели искажения по осям
обозначают буквами u, v и w. Их определяют также,
как u= e
'/e
x
, v= e
x
'/e
x
, u= e
x
'/e
z
z
.
9.1 Прямоугольная аксонометрия
Аксонометрическая проекция, полученная при
прямоугольном проецировании, называется прямоугольной
или ортогональной аксонометрией. В прямоугольной
аксонометрии теорема Польке не имеет места.
Для прямоугольной аксонометрии характерно
следующее (рисунок 9.2):
а) в прямоугольной аксонометрии высоты треугольника
следов лежат на аксонометрических осях ,
б) треугольник следов всегда остроугольный,
в) три выходящие из одной точки (на плоскости)
вектора могут быть приняты за оси прямоугольной
аксонометрии только в том случае, если они
образуют между собой тупые углы,
г) сумма квадратов показателей искажения равна
двум: u
2+v2
+w2=2.
Рисунок 9.2
В прямоугольной аксонометрии аксонометрические
оси являются биссектрисами углов треугольника,
стороны которого пропорциональны квадратам
показателей искажения.
Прямоугольная аксонометрия определяется двумя
параметрами: двумя показателями искажения или двумя
углами между аксонометрическими осями.
9.2 Практические аксонометрии
При практическом построении аксонометрических
чертежей возникает необходимость в определении длины
аксонометрических координатных отрезков по их
натуральным координатам.
С целью сокращения вычислительной работы путем
подбора некоторого множителя m можно один из
показателей привести к единице и пересчитать
остальные два. В отличие от точных показателей
искажения новые показатели называют приведенными, а
подобранный множитель т-коэффициентом приведения.
Обозначают приведенные показатели искажения
прописными буквами u, v и w, причем u=u*m, V=v*m,
а W=w*m. Изображение при этом изменяется подобно в
масштабе m:1. Такая аксонометрическая проекция
называется практической или приведенной.
Для практических аксонометрических систем углы
между осями и показатели искажения зафиксированы в
общесоюзных государственных стандартах (приложение к
ГОСТ 2.317-84) и эти виды проекций называют
стандартными.
Прямоугольная изометрическая проекция. Из
равенства углов наклона координатных осей к картинной
плоскости следует, что u=v=w, аксонометрические оси
образуют между собой углы, равные 120°. Из
u2+v2+w2=2 следует, что u=v=w≅0,82.
Рисунок 9.3 - Прямоугольная изометрия
Для упрощения построений пользуются практической
(приведенной) изометрией. Приведенные показатели
искажения u=v=w = 1. В этом случае на
аксонометрических осях откладывают натуральные
координатные отрезки. Коэффициент приведения m =
10/0,82 = 1,22. Следовательно, в приведенной
прямоугольной изометрии изображение увеличено в 1,22
раза.
В отличие от косоугольных изометрий,
прямоугольная изометрия только одна.
В силу свойства прямоугольной изометрии все
эллипсы, служащие проекциями окружностей,
расположенных в плоскостях, параллельных координатным
плоскостям, имеют одинаковую форму. В точной
изометрии (для всех эллипсов) большая ось равна
диаметру, малая
изометрии соответственно 1,22 и 0,71 диаметра. Малая
ось параллельна проекции нормали к соответствующей
плоскости. На рисунке 9.3 изображены проекции трех
окружностей.
Рисунок 9.4 - Прямоугольная диметрия
В прямоугольной диметрии две координатные оси
(обычно Оz и Оу) наклонены под одинаковыми углами к
картинной плоскости, а третья ось направлена так, что
показатель искажения вдоль нее вдвое меньше.
≅
0,58 диаметра. Для приведенной
Например, v=w и u=v/2.
Косоугольных диметрических систем с заданным
соотношением показателей искажения существует
бесчисленное множество; прямоугольная диметрия только одна.
Наибольшее распространение получила приведенная
диметрия (рисунок 9.4), у нее коэффициенты искажения
соответственно равны v=w
Для получения практической (стандартной) диметрии
показатели искажения v и w приравниваются к единице,
полагая (m=1/0,94=1,06) v=w=1 и u=0,5. Масштаб
практической диметрии М1,06:1.
Величина малой осей эллипсов, расположенных в
плоскостях Оху и Охz, равна 1/3 от диаметра
окружности, большой диаметр. В стандартной диметрии
соответственно 0,35 и 1,06 диаметра (рисунок 9.4).
Для эллипса, расположенного в плоскости Оуz,
малая ось равна 0,94 диаметра.
Иногда, при решении практических задач, возникает
необходимость построения аксонометрического чертежа,
в котором одна из координатных плоскостей была бы
параллельна картинной плоскости. Это возможно только
в случае использования косоугольного проецирования.
≅
0,94 и u=0,47.
Рисунок 9.5 - Косоугольная диметрия
Наиболее распространена косоугольная фронтальная
диметрия, в которой плоскость xOz параллельна
картинной плоскости. На такой проекции
аксонометрические оси O'x' и O'z' взаимно
перпендикулярны и показатели искажения по ним равны
единице и u=w=1. Направление оси O'y' и показатель
искажения v могут быть выбраны произвольно (рисунок
9.5).
ГОСТ рекомендует направление оси O'y' выбирать
по биссектрисе угла xOz, принимая v = 0,5. Этот вид
проекции называют еще кабинетной проекцией.
Рисунок 9.6
В различных отраслях практической деятельности
применяются и другие виды косоугольных проекций,
например, кавальерная (косоугольная изометрическая
фронтальная проекция), военная перспектива
(горизонтальная изометрическая проекция рисунок 9.6)
и др.
10 Развертки поверхностей
Фигура, получающаяся при совмещении всех точек
поверхности с плоскостью (без складок и разрывов),
получила название развертки. Поверхности же,
допускающие такую операцию, называют
развертывающимися.
Построение разверток является важной практической
задачей, что связано с изготовлением множества
изделий из листового материала (резервуары и трубы,
изделия швейной и кожевенной промышленности и т.п.).
Из физической модели процесса развертывания
поверхности на плоскость следует, что площадь отсека
поверхности должна быть равна площади отсека
плоскости на развертке.
Свойство сохранения площади влечет за собой
справедливость следующих двух утверждений: длины
соответственных линий поверхности и ее развертки
равны, углы, образованные линиями поверхности, равны
углам, составленным их образами на развертке. Углом
между двумя линиями поверхности в их точке
пересечения называют угол, составленный
касательными, проведенными к кривым в точке.
Это в свою очередь приводит к следующему: прямая
поверхности отображается на прямую развертки;
параллельные прямые поверхности отображаются на
параллельные прямые развертки.
На этих свойствах и базируются графические и
машинные алгоритмы построения разверток.
Из дифференциальной геометрии известно, что к
развертывающимся поверхностям относятся только
поверхности нулевой кривизны (состоящие только из
параболических точек). У этих (линейчатых)
поверхностей касательные плоскости, проведенные во
всех точках одной образующей, совпадают.
Изо всего множества линейчатых поверхностей
развернуты на плоскость могут быть только:
цилиндрические, конические и торсовые. Развертки для
них строятся приближенно. В процессе построения
развертки эти поверхности аппроксимируются
(заменяются) многогранными поверхностями. Последнее
вызвано тем, что спрямление кривых линий базируется
на замене их ломаные. Точные развертки
аппроксимирующих многогранных поверхностей принимают
за приближенные развертки развертываемых
поверхностей.
10.1 Развертки гранных поверхностей
Процесс получения развертки гранной поверхности
сводится к совмещению с плоскостью ее граней. Для
гранной поверхности всегда можно построить развертку.
К наиболее распространенными многогранными
поверхностям следует отнести призмы и пирамиды.
Развертка поверхности призмы строится в основном
двумя способами, с помощью треугольников
(триангуляции) и нормальных сечений.
Рисунок 10.1
В первом способе каждая грань призмы разбивается
на два треугольника, для которых определяются
натуральные длины сторон. Затем на плоскости
последовательно строят треугольники в натуральную
величину. Способ основан на свойстве "жесткости"
треугольника - три отрезка определяют единственный
треугольник.
Рисунок 10.2