Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторные методы. Учебник.pdf
Размещения
Пусть теперь из элементов требуется выбрать элементов
(
доченных выборок через
)
и линейно их упорядочить. Обозначив число таких упоря-
и рассуждая, как и прежде, получаем
=
Число
= ( 1
()…()()()…
()()…
называют также числом размещений из по , так как
)…(
+ 1
)
=
!
=
(
.
)
!
элементов из размещаются по местам, пронумерованным от
1 до *. Полагают
= 1 и
= 0 при > . Вот множество упо-
рядоченных выборок длины 2 из 3-элементного множества:
{(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)}, мощность которого в соот-
ветствии с выведенной формулой равна
жет использоваться обозначение ()
.
=
= 6. Вместо
!
мо-
!
Сочетания
Пусть, наконец, из -элементного множества просто выбирается
его -элементное подмножество без упорядочивания. Число -элементных подмножеств -элементного множества является весьма важ-
ным не только для комбинаторики, но и для всей математики. Оно обо-
значается через
из по . Эти величины также называют биномиальными коэффици-
ентами. Вместо
Для нахождения
можно рассматривать как получаемую в два этапа: сначала из элементов выбирается неупорядоченное -элементное подмножество,
что можно сделать С
подмножество линейно упорядочивается, что можно сделать
= ! способами. Это приводит к соотношению:
и называется в комбинаторике числом сочетаний
может использоваться обозначение
заметим, что упорядоченную выборку
способами, а затем выбранное -элементное
.
откуда получаем
=
!,
61
=
!
усть имеется 4-элементное множество {, , , }.
П
Вот все его двухэлементные подмножества:
=
()!!
!
.
{
},{
,
, }, {, },
{, }, {,}, {, }, число которых в соответствии с формулой равно
!
=
= 6.
!!
Запомним, что
= 0, если > или < 0.
=
и
=
= 1, С
Отметим, что при нахождении чисел ,
=
= .
, С
постоянно ис-
пользовалось «правило произведения».
Кортежи
Это наборы (, , …, ), где {с
в каждом наборе символ с
и т. д., символ с
—
встречается
(
раз
+ +. . . +=
число кортежей из символов с заданной кратностью
вания каждого символа
?
Руководствуясь правилом произведения, можно поступить сле-
дующим образом. На первом этапе из возможных мест выбираем
мест для символа с
этапе из
символа с
мест выбираем
оставшихся свободными мест выбираем
, что осуществимо
, для чего есть
мест для символа с и т. д. В итоге
способами. На третьем из
получаем, что искомое число последовательностей равно
…
, с, …, с
раз, символ с
возможностей. На втором
=
} такие, что
—
)
. Чему равно
использо-
мест для
раз
=
!
!(
)!
(
!(
)!
)!
!(
(
)!
!
)!
=
!
!
!
!
.
!
Полученные величины называют полиномиальными коэффициентами. В частности, число двоичных последователь-
ностей длины с единицами равно
62
!
!(
)
!
=
. Оно сов-
падает с числом -элементных подмножеств -элементного
множества, так как каждый такой набор можно рассматри-
вать как характеристический вектор -элементного подмно-
жества.
В качестве примера рассмотрим наборы (, , ,
{, , }. Полное число таких наборов равно 3
), где
= 81.
Найдём число наборов, в которых символ встречается дважды,
а символы и — по одному разу. В соответствии с формулой (2.3)
!
= 12. Вот эти 12 наборов:
!!!
).
число таких наборов равно
(
(
), (), (), (
), (), (), (), (), (), (),
), (
Сочетания с повторениями
Пусть теперь имеется типов элементов, где элементы одного
типа считаются неразличимыми, а запас элементов каждого типа не-
ограничен. Рассматриваются -элементные множества, в каждое из
которых может включаться любое количество элементов каждого
типа от 0 до . Число таких множеств называется числом сочетаний
с повторениями из по и обозначается
чай и > .
Сочетание с повторениями называют также мультимноже-
ством. Если обычное множество задаётся характеристическим
вектором, компоненты которого принимают значения 0 или 1,
то мультимножество на типах элементов может быть задано
вектором кратностей типов (
, , … , ), где
элементов -го типа в мультимножестве, которое может быть
любым целым неотрицательным числом. Мощность мульти-
множества определяется как сумма кратностей типов:
|| =
. В терминах мультимножества
мультимножеств мощности , построенных на типах элемен-
тов.
Найдём теперь числа
. С этой целью рассмотрим наборы
длины ( + 1), компонентами которых являются символы «*»
и «׀», причём число звёздочек равно , а число чёрточек — ( 1).
С каждым таким набором можно связать сочетание с повторениями,
. Здесь возможен слу-
— число
есть число
63
ставя в каждом из промежутков между чёрточками вместо звёздо-
чек символы типа, соответствующего номеру промежутка. Этим
устанавливается взаимно однозначное соответствие между -элементными множествами из типов элементов и двухсимвольными
наборами длины ( + 1).
Установленное взаимно однозначное соответствие позволяет
найти числа С
:
(
=
=
!(
)
!
.
)
!
Разбиения
Пусть теперь -элементное множество разбивается на классы,
среди которых
ментных и т. д., где 1
ние разбиением типа (
ного типа.
С каждой перестановкой исходного -элементного множества
можно связать его разбиение типа (
отсчитывать слева направо
элемента и т. д. При этом перестановка элементов внутри каждого
класса, а также перестановка целиком классов одинаковой мощности между собой не меняют разбиения. Поэтому число разбиений
типа (
, , …,
Число разбиений 4-элементного множества на два 2-элементных
в соответствии с этой формулой равно
Вот все возможные разбиения множества {, , , } на два двухэлементных класса: {, } {, }, {, } {, }, {, } {, }.
Подчеркнём, что разбиение — это множество, элементами
которого являются классы, и два разбиения одинаковы, если
между их классами можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором друг другу соответствуют одинаковые
классы.
Наряду с обычными разбиениями часто рассматриваются и так
называемые упорядоченные разбиения типа (
одноэлементных, двухэлементных,
+ 2+ + = . Назовём такое разбие-
) равно
, , …,
) и найдём число разбиений задан-
, , … ,
раз по одному элементу,
!
.
!
(!)
(!)
), если в перестановке
!
= 3.
!
, , …,
трёхэле-
раз по два
), в которых
64
классы линейно упорядочены в соответствии с неубыванием их
мощностей. В упорядоченном разбиении перестановка классов одинаковой мощности приводит к различным упорядоченным разбие-
ниям, и число упорядоченных разбиений типа (
ется равным
!
.
(!)
, , …,
) оказыва-
Числа Стирлинга и Белла
Числом Стирлинга второго рода
называется число разбие-
ний -элементного множества на непустых классов. При этом по-
лагается
= 0, если > , и
= 0 при 1, но
= 1. Для
имеет место следующее рекуррентное соотношение
=
+
.
В его справедливости можно убедиться следующим образом.
Разбиение -элементного множества на классов можно получить,
убрав один из элементов из множества и действуя затем одним из
двух способов: разбив оставшееся ( 1)-элементное множество на
классов и добавив убранный элемент к одному из классов, что может быть сделано
способами, либо образовав из убранного
элемента отдельное подмножество, разбив ( 1)-элементное множество на 1 классов.
Значения
могут быть также найдены по формуле Стирлинга
1
=
!
(1)
.
Полное число всевозможных разбиений -элементного множества называется числом Белла и обозначается (). По определению
имеем
(
)
=
.
Вот все 15 разбиений четырёхэлементного множества {, , , }:
{, , , }, {} {, , }, {} {} {, }, {} {} {} {},
{} {, , }, {} {} {, }, {} {, , }, {} {} {, },
65
{} {, , }, {} {} {, }, {, } {, }, {} {} {, },
{, } {, }, {} {} {, }, {, } {, }.
Для чисел Белла также существует рекуррентное соотношение
=
.
Чтобы его обосновать, зафиксируем в ( + 1)-элементном множестве некоторый элемент . Формируем разбиение множества ,
выбирая из множества \{} содержащий класс мощности
(0 ) (
способов), и разбиваем его дополнение (
спо-
собов), откуда и следует искомое соотношение.
Для
существует также красивая формула Добинского, выра-
жающая это число в виде суммы бесконечного ряда
!
.
1
=
Эта формула будет доказана в разделе, посвящённом производящим фукциям.
Числом Стирлинга первого рода
называется число подстано-
вок на символах, имеющих независимых циклов. Если подстановка имеет
длины 3 и т. д., где 1
становка типа (
Для
циклов длины 1, циклов длины 2,
+ 2+ + = , то говорят, что это под-
, , …,
также существует удобное рекуррентное соотношение
).
циклов
= ( 1)
+
.
Доказательство этого соотношения аналогично доказательству
рекуррентной формулы для чисел Стирлинга второго рода с той
лишь разницей, что убранный из -элементного множества элемент
можно добавить в один из циклов ( 1)-элементного множества
1 способами, так число способов добавления в каждый цикл
равно длине цикла. Заметим также, что числом Стирлинга первого
рода в математической литературе часто называют не
а (1)
66
.
,
Разбиения чисел
Если элементы разбиваемого множества неразличимы, то каждое разбиение полностью характеризуется мощностями подмножеств разбиения. Это эквивалентно представлению натурального
числа, выражающего мощность разбиваемого множества, в виде
суммы натуральных чисел — мощностей подмножеств разбиения.
Разумеется, порядок слагаемых здесь не имеет значения, но бόльшие
слагаемые принято записывать первыми. Полное число способов
разбиения натурального числа обозначим через (), а число способов представления его в виде суммы слагаемых — через
Например, имеем (5) = 7: 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1,
3 + 1 + 1, 2 + 2 + 1, 4 + 1, 3 + 2, 5, причём
(5) = 2, (5) = 1,
(5) = 1.
(5) = 1,
Исследования, связанные разбиениями чисел, имеют давнюю
и богатую историю, начавшуюся с работ Эйлера. Здесь мы лишь
слегка коснёмся этого предмета, вернувшись к нему в разделе,
посвящённом производящим функциям. Наглядным и весьма полезным представлением разбиения является диаграмма Ферре, число
строк в которой равно числу слагаемых, а число точек в строках —
величине слагаемых. Например, разбиение 10 = 5 + 3 + 1 + 1
представлено диаграммой Ферре на рис. 2.2 а), а диаграммой на
рис. 2.2 б), полученной из 2.2 а) заменой строк на столбцы, задаётся
разбиение 10 = 4 + 2 + 2 + 1 + 1, которое называется двойствен-
ным по отношению к исходному.
().
(5) = 2,
а) б)
Рис. 2.2
Максимальное слагаемое в исходном разбиении совпадает по величине с числом слагаемых в двойственном и обратно, а операция
сопряжения на множестве разбиений действует как биекция. Отсюда
вытекают интересные результаты:
67
1) Число разбиений на слагаемых равно числу всевозможных разбиений , в которых наибольшее из слагаемых
равно .
2) Число разбиений на не более чем слагаемых равно числ
сех разбиений , в которых ни одно из слагаемых не превышает .
в
Вычислять же значения
() удобно с помощью следующего
рекуррентного соотношения
у
() = ( ) +
( 1).
Для его доказательства разобьём множество разбиений числа
на слагаемых на два класса: класс, в котором все слагаемые
больше единицы, и класс, в котором имеются единичные слагаемые.
Вычитая по единице из каждого слагаемого разбиения первого
класса, можно получить разбиение числа на слагаемых.
Поэтому в первом классе лежит
( ) разбиений. Убирая
единичное слагаемое из разбиения второго класса, можно получить
разбиение числа 1 на 1 слагаемых. Поэтому во втором
классе
( 1) разбиений.
Комбинаторные отображения
Многие задачи комбинаторики сводятся к изучению отображе-
ний из одного конечного множества в другое. Рассмотрим такие
отображения в общем виде. Пусть : , где || = , || = .
Используя введённые комбинаторные числа, найдём число таких
функций. Будем при этом различать случаи, когда все элементы каж-
дого из множеств или различимы или неразличимы, а функция может быть произвольной функцией, а также инъекцией или
сюръекцией. Уточним, что в случае неразличимости элементов мно-
жества функции
подстановкой элементов множества одна из функций может быть
переведена в другую. Аналогичным образом определяется совпадение
функций в случае неразличимости элементов множества .
Данную задачу можно наглядно проинтерпретировать как размещение
шаров по урнам, где шары и урны могут быть как различимыми,
так и неразличимыми. Результаты подсчётов представлены в табл. 2.1.
: и : одинаковы, если некоторой
68
Таблица 2.1
)(1)(
1
!
)()(
1
1
nPnPынеразличимынеразличим
SSынеразличимразличимы
CCCразличимыынеразличим
SmAmразличимыразличимы
nm
сюръекцияf
mn
инъекцияf
функция
аяпроизвольнf
Bмножества
Элементы
Aмножества
Элементы
m
m
i
i
m
n
m
i
i
n
мn
m
n
m
n
m
m
n
n
m
n
∑
∑
=
=
−
≤
−
≤
−−
ассмотрим число всевозможных отображений : , когда
Р
элементы обоих множеств различимы. С одной стороны, это число
равно
брать
сти существует !
. С другой стороны, образ () мощности можно вы-
способами, где 1 , а для заданного образа мощно-
отображений. Это даёт полезное соотношение
=
.
Полиномиальные и биномиальные
коэффициенты
=
)
Пусть требуется раскрыть выражение
т. е. перемножив скобок, привести его к виду
(
+ +
)
(
=
+ +
)
… (
раз
(
+ +. . . +
+ +
)
,
=
,…,
Числа (, . . . ,
(, …,
)
называются полиномиальными коэффициен-
)
…
.
тами. Найдём эти числа. В соответствии с правилами алгебры в процессе раскрытия скобок из каждой скобки выбирается один из сим-
волов {
набор из сомножителей, выбираемых из множества {
, …,
}, и они перемножаются. В результате возникает
, …,
И наоборот, каждый такой набор может быть получен как результат
подобного выбора. Затем среди полученных таким образом наборов
выполняется приведение подобных членов, в результате чего и воз-
)
никают коэффициенты (
, . . . ,
. Поэтому коэффициент
}.
69
)
∑
=
−−
=+
n
k
kk
n
n
xCkxn
1
11
)1(
(, . .. ,
следовательностей длины , в которых символ
равен числу составленных из символов
, . . . ,
используется
по-
раз. Как было установлено в предыдущем разделе, число таких последовательностей равно
!!...
!
. Это даёт полиномиальную фор-
!
мулу:
(
+ + +
)
=
,…,
!
! ! …
!
…
Наиболее часто эта формула используется при возведении
в -ю степень двучлена. В этом случае она принимает вид
(а + )
=
!
! ( )!
=
С
и называется биномом Ньютона.
Биномиальные коэффициенты
!
!()!
=
суть величины, фигу-
рировавшие ранее как числа сочетаний. Биномиальные коэффициенты очень важны и встречаются практически во всех разделах математики.
Из биномиальной формулы можно извлечь ещё целый ряд соот-
ношений между биномиальными коэффициентами. Например,
(1 + )
=
.
.
Продифференцировав по , получим
и, подставив = 1, получим новое интересное соотношение
70
=
2
.