Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторные методы. Учебник.pdf
Максимальный член в этой сумме есть
имеем
()!
~
!!
Сравним теперь с
будет удобно записывать как {
=
()
~
остальные члены суммы (2.11), которые
()…()
()()…()
=
}, где изменяется от до .
=
Устремляя ∞ и используя разложение
. Используя (2.10),
2
, ∞. (2.12)
)…(
(
)(
)…(
= 1 +
(
)
)
+ (
.
)
имеем
=
)
]
+ )+ (
+
. (2.13)
)
=
=
exp
1
(
[
2
1 + 2 + 3 + +( 1
=
exp
Пусть теперь возрастает с ростом так, что
∞, а
и
0, например, = [
~
]. Тогда
= 2
. Это позволяет записать следую-
~
щую цепочку асимптотических равенств
=
=
~
+
2
~
=
∞
∞
(Напомним, что
+
2
~
∞
∞
~
2
=
2
1
2
=
2
2
~
∞
2
=
2
=
есть хорошо известный в мате-
=
2
~
2
2
2
∞
2
.
2
∞
∞
∞
∞
2
=
~
матическом анализе интеграл, часто называемый интегралом
Пуассона.)
,
91
Отсюда получаем, что =2. Формула Стирлинга доказана!
Заметим, что продолжая исследование в духе уже проведённых рассуждений, можно получить и более точные оценки для факториала
2
< ! <2
.
Обобщение факториала.
Гамма-функция
Как для теоретических целей, так и для практики весьма
желательно было бы найти аналитическую функцию, определённую на всей положительной полуоси и совпадающую
в её целых точках с !. Такая функция, интерполирующая
факториал для дробных значений аргумента, была в 1729 году
предложена Эйлером, названа гамма-функцией и вскоре стала
одной из самых известных и употребительных специальных
функций.
Для натурального интегрирование выражения
по частям даёт
∞
∞
=
=
∞
=
∞
0
.
∞
+
Повторяя этот процесс раз, получаем
∞
= ( 1)( 2
= ( 1) ( 2) … 2 1 = !
)
… 2
∞
Тем самым для ! получено простое аналитическое выражение
в виде интеграла, зависящего от как от параметра:
! =
∞
(= 0, 1, 2, … ). (2.14)
Но интеграл в правой части равенства (2.14) определён не только
для целых положительных , но для всех действительных > 1.
Соотношение (2.14) позволяет, таким образом, расширить область
=
∞
=
92
определения факториала. График определённой для 1 функ-
∞
ции ! =
представлен на рис. 2.4.
Рис. 2.4
Для определённой таким образом для > 1 функции ! сохра-
няются основные свойства факториала:
! = ( 1)!;
! ~2, ∞;
! =2
Можно показать, что (1 2)! =
2
, 0 < < 1 .
, а минимальное значение
функции ! достигается при 0,46163 и равно 0,88560.
Хотя запись ! для действительного > 1 и является вполне
корректной, в случае дробного в обозначениях обычно используют
гамма-функцию
Γ() =
∞
,
называемую также эйлеровым интегралом второго рода.
93
Связь между факториалом и гамма-функцией выражается ра-
венством
! = Γ( + 1) = Γ().
Оценки для биномиальных коэффициентов
и их сумм
В задачах комбинаторного анализа биномиальным коэффициентам и связанным с ними оценкам принадлежит исключительно важная роль. Эти оценки часто носят асимптотический
характер и опираются на формулу Стирлинга. Они входят в обязательный технический арсенал занимающихся комбинаторный анализом.
Во многих случаях оказываются полезными следующие простые
универсальные оценки для величины биномиальных коэффициентов:
Действительно, имеем
()()…()
=
где для оценки ! было использовано неравенство (2.1).
Нижнюю же оценку в (2.15) даёт следующая выкладка
()()…()
С
=
так как
()() …
>
для = 1, 2, … , 1 при < .
Более точные асимптотические оценки можно получить с помощью формулы Стирлинга. Биномиальный коэффициент С
при фиксированном достигает максимального значения при
= [ 2
]. Согласно (2.12)
С
[
!
<
<
=
]
~
, ∞. (2.16)
<
. (2.15)
!
<
(
…
)
=
>
,
,
94
Часто весьма важным оказывается умение оценивать биномиаль-
ные коэффициенты
~ 2
. Как следует из (2.13)
[ ]
С
и их суммы в средней части ряда, когда
[
]
~С
, ∞,
0. (2.17)
Найдём теперь асимптотику для сумм биномиальных коэффици-
ентов в средней части ряда, а именно сумм вида
[ ]
С
где — константа.
Имеем
С
где () =
[
]
~С
=
[
]
— хорошо известная, табулированная
= 2 2(2), (2.18)
2
~
2
=
функция, которую часто называют функцией Лапласа, или интегралом вероятностей, lim
∞
() = 1 2
.
Асимптотическое равенство (2.18) эквивалентно знаменитой
предельной теореме Муавра — Лапласа в теории вероятностей
о числе успехов в серии из испытаний Бернулли в симметричном случае, когда = = 1 2
и все 2
последовательностей
из успехов и неудач длины имеют одну и ту же вероят-
ность 1 2
.
Р
[ 2] [ 2]+ =
=
[ ]
[ ]
~2(2), . (2.19)
Если в биномиальном коэффициенте
параметр растёт суще-
ственно медленнее, чем , то справедливо следующее асимптотиче-
ское равенство
~
!
, ∞, = (
). (2.20)
,
95
Действительно, имеем
()()…()
С
=
!
=
1 1
!
1
… 1
Логарифмируя стоящее в конце правой части формулы произведение, получаем
ln
1 1
= ln
1
1
=
1
=
+
2
1
+
1
1
+ ln
1
2
+
+
=
1
1
2
… 1
2
+ + ln1
2
+ +
1
+
2
1
=
1
=
+
)
1
+
1
=
,
( 1
откуда и следует (2.20).
Пусть теперь растёт с ростом линейно, так что , где
0 < < 1. Тогда для
~
(1-)
2
имеет место следующая асимптотика
( () ())
, ∞, . (2.21)
Для доказательства (2.21) достаточно применить формулу Стирлинга
!
=
!(
()2(1 )(1 )
=
)
!
( () ())
=
2
2(1-
)
.
2(1-)
(
)
=
()
!
! (1 )!
=
2(1
~
2
1
)
=
1
(1 )
( () ())
2
В комбинаторных задачах нередко используется следующее вытекающее из (2.21) асимптотическое равенство
=
=
.
=
=
96
С
( () ()())
= 2
(()()
= 2
)
, ∞, (2.22)
где () = log (1 ) log( 1 ) — функция, особенно
часто возникающая в теории информации и называемая двоичной
энтропией.
Оценим теперь часто встречающиеся в комбинаторном анализе
суммы вида
оценки
. При < 2
для них справедливы следующие
С
<
. (2.23)
Нижняя оценка тривиальна. Для получения верхней оценки воспользуемся формулой для суммы геометрической прогрессии. При
< 2
имеем
С
=
<
<
< 1.
Отсюда получаем
<
=
1 +
С
+
<
+ +
=
=
.
Оценка (2.23) показывает, в частности, что при ∞
и = () величина суммы асимптотически совпадает со своим
старшим членом. Если же = , то (2.22) и (2.23) дают
С
( () ()())
= 2
(()()
= 2
)
, ∞. (2.24)
=
Полезные неравенства. В заключение приведём ряд неравенств, используемых в комбинаторном анализе при получении различных оценок. Все они вытекают из выпуклости соответствующих
функций, кроме того, (2.26) и (2.27) сразу следуют из (2.25).
1 + , где , или
1 , где ; (2.25)
97
ln( 1 + ) , где 1, или
ln 1, где > 0; (2.26)
(1 + ) , где 1, 0, или
(1 )
, где 1, 0; (2.27)
(1 + ) 1 + , где 1, 1 или
(1 ) 1 , где 1, 1. (2.28)
Часто используется также следующий известный из матема-
тического анализа предел. Если 0, ∞ так, что × = ,
где — постоянная величина, то
(1 )
. (2.29)
Примеры решения задач к разделу 2
2.1. В спортивном тотализаторе требуется указать золотого, се-
ребряного и бронзового призёров из 16 команд высшей лиги. Сколькими способами это может быть сделано?
Число способов есть
2.2. Сколькими способами студенческая группа в составе 20 че-
ловек может делегировать трёх человек для участия в студенческой
конференции?
Число способов равно С
2.3. В кондитерской имеются в неограниченном количестве три
вида пирожных: ванильные, шоколадные и фруктовые. Некто желает купить восемь пирожных. Сколькими способами он может это
сделать?
Это число равно
2.4
. Чему равно число костей домино?
.
Кость домино состоит из двух полей, каждое из которых обозначено одной из семи цифр от 0 до 6, причём цифры на обоих полях
могут совпадать (дубль). Поэтому число костей домино равно
С
=
!
=
!!
= 28.
!
=
= 14 15 16 = 3360.
!
=
!
!!
=
= 1140.
2.5. Сколькими способами колоду из 36 карт можно разбить на
две равные части?
Число разбиений равно
2.6
. Сколькими способами колоду из 36 карт можно разделить
!
!!!
(неупорядоченные разбиения).
поровну между двумя играющими?
Число разбиений равно
Каждый студент группы обязан изучать хотя бы один из
2.7.
!
(упорядоченные разбиения).
!!
трёх иностранных языков. Немецкий изучают шесть человек, французский — семь, английский — восемь, три человека одновременно
99
изучают немецкий и французский, четыре — немецкий и английский, пять — французский и английский и один человек изучает все
три языка. Сколько всего студентов в группе?
Применяем формулу включений и исключений:
(6 + 7 + 8) – (3 + 4 + 5) + 1 = 10.
2.8. Н
айти с помощью формулы «включения и исключения»
число костей домино.
На множестве костей домино можно выделить семь подмно-
жеств
, , … ,
лежность некоторой кости подмножеству
, мощность каждого из которых равна 7. Принад-
характеризуется тем,
что хотя бы одно из двух её полей помечено цифрой . При
имеем |
| = 1, так как имеется ровно одна кость, одно поле ко-
торой помечено цифрой , а другое — цифрой . Поэтому по фор-
муле «включения и исключения» получаем, что число костей равно
| … | = 7 7
. Найти число натуральных чисел, не превосходящих 100 и
2.9
1 = 28.
не делящихся ни на одно из чисел 3, 5, 7.
Применяем формулу «включения и исключения». Число чисел,
делящихся на 3, равно [100 3] = 33
[100 7] = 14. Число чисел, делящихся на 3 и 5, равно [100 15] = 6
на 3 и 7 — [100 21] = 4, на 5 и 7 — [100 35] = 2
; на 5 — [100 5] = 20; на 7 —
. Число чисел,
делящихся на все три числа 3, 5 и 7, равно [100 105] = 0. Поэтому
искомое число равно 100 (33 + 20 + 14) + (6 + 4 + 2) 0 = 45.
;
Доказать формулу С
2.10.
2.11.
С
=
!()!
Доказать формулу С
=
()!()!
!
+
()!
,
=
(
=
=
=
()!
!()!
+
.
()!(())!
+
) =
()
!
()!
+
()!()!
()!
!()!
=
()!!
= С
!
=
2.12. Найти число перестановок чисел {1,2, … ,}, в которых ни-
какое число не стоит на -м месте.
100
.
.