Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторные методы. Учебник.pdf
Раздел 5
ПУТИ НА ЦЕЛОЧИСЛЕННОЙ РЕШЁТКЕ
И ДИАГРАММЫ ЮНГА
Пути Дика, метод отражения
и числа Каталана
С числами Каталана мы уже сталкивались ранее, рассматривая
задачу о триангуляции многоугольников. Эти числа возникают во
многих комбинаторных задачах. Здесь мы будем иметь с ними дело
при изучении путей на целочисленной решётке.
Определение 5.1. Путями Дика называются пути на целочисленной решётке, идущие из точки с координатами (0, 0) в точку с координатами (n, n), не поднимаясь выше прямой y = x, так что каждый
их отрезок параллелен либо оси абсцисс, либо оси ординат. Количество таких путей даётся числом Каталана C
Например, третье число Каталана C
в (3, 3)) равно 5:
.
n
(количество путей из (0, 0)
3
Рис. 5.1
Н
ачало последовательности чисел Каталана выглядит следую-
щим образом: C
= 1, C1 = 1, C2 = 2, C3 = 5, C4 = 14, C5 = 42, …
0
Чтобы показать, что это именно те, уже известные нам числа Каталана, найдём их явное выражение для произвольного n. Действовать будем, как и раньше, методом отражения, но теперь применительно к путям Дика.
Любой путь из точки (0, 0) в точку (n, n) состоит из n ходов
вправо и n ходов вверх. Поэтому общее число таких путей равно
числу способов выбрать из чисел от 1 до 2n номера ходов, идущих
151
вверх, т. е.
. Осталось найти число «плохих» путей, т. е. путей,
заходящих выше диагонали y = x.
Лемма 5.1 (лемма об отражении). Количество путей из точки
(0, 0) в точку (n, n ), поднимающихся выше диагонали y = x, равно
количеству всех путей из точки (0, 0) в точку (n – 1, n + 1).
Доказательство. Установим взаимно однозначное соответствие
между этими двумя множествами путей. Применим метод отражения аналогично тому, как мы применяли его в задаче о триангуляции
многоугольников. Любой путь из (0, 0) в (n, n), поднимающийся
выше диагонали y = x, пересекает прямую y = x + 1. Рассмотрим
первую точку пересечения пути с этой прямой и отразим весь оставшийся путь относительно прямой y = x + 1. Тогда получим путь из
(0, 0) в (n – 1, n + 1). Обратное отображение строится аналогично.
Рис. 5.2
Любой путь из (0, 0) в (n – 1, n + 1) состоит из n – 1 ходов вправо
и n + 1 ходов вверх. Значит, количество таких путей равно количе-
ству способов выбрать из чисел от 1 до 2n номера ходов, идущих
вверх, т. е. биномиальному коэффициенту
.
Таким образом, мы получили следующую формулу для чисел
Каталана:
=
=
()
!(
!
)
!
(
) =
.
Как видно, мы получили то же самое выражение для чисел Каталана, как и в случае задачи о триангуляции многочленов.
152
Тем же методом можно найти число путей Дика из точки (0, 0)
в точку (a, b) (для любых a > b). Действительно, число всех таких
путей равно
. Из них нам не подходят пути, задевающие прямую
y = x + 1. Метод отражения показывает нам, что их число равно числу
всех путей из точки (0, 0) в точку (b – 1, a + 1), т. е.
. И мы
получаем, что число путей Дика из точки (0, 0) в точку (a, b) (для
любых a > b) равно
=
. (5.1)
Лемма 5.2. Количество путей Дика из (0, 0) в (a, b) равно коли-
честву таблиц из двух строк длиной a и b, заполненных числами
от 1 до a + b так, что числа в каждой строке и каждом столбце возрастают.
Доказательство. Рассмотрим какой-то путь Дика и будем по
нему заполнять таблицу числами от 1 до a + b по возрастанию: если
k-й ход проходит по горизонтали, то будем писать число k в первую
строчку, иначе — во вторую.
Легко видеть, что это задаёт биекцию между путями Дика и таблицами. Что и требовалось доказать.
Пример пути Дика и таблицы, соответствующих друг другу, приведён на рис. 5.3.
Рис. 5.3
Продвигаясь дальше, мы рассмотрим теперь таблицы, состоящие
из произвольного числа строк.
Стандартные таблицы и пути
Определение 5.2. Пусть λ = (λ1, ..., λk) — набор натуральных чисел, упорядоченный так, что λ
≥ λ1 ≥ ... ≥ λ
1
формы λ называется таблица из k строк длиной соответственно
. Диаграммой Юнга
k
153
в λ
, ..., λk клеток. Стандартной таблицей формы λ называется ди-
1
грамма Юнга формы λ, каждая клетка которой заполнена одним из
целых чисел от 1 до N = λ
+...+ λk так, что числа в каждой строке
1
и каждом столбце возрастают.
Пример диаграммы Юнга формы (4, 3, 1) приведён на рис. 5.4.
Рис. 5.4
На рис. 5.5 приведены все 16 стандартных таблиц формы (3, 2, 1).
Рис. 5.5
Как мы видели, количество стандартных таблиц формы (a, b) вычисляется методом отражений и даётся формулой (5.1). Естественно
попытаться обобщить это рассуждение на произвольные диаграммы
Юнга. По аналогии с леммой 5.2 можно установить соответствие
между стандартными таблицами и путями на каких-то целочисленных решётках. Например, легко увидеть, что число стандартных таблиц формы (a, b, c) равно числу путей на трёхмерной целочисленной
решётке, идущих из точки (0, 0, 0) в точку (a, b, c) и не выходящих
из области x > y > z. Подобным образом можно интерпретировать
стандартные таблицы любой формы.
Однако работать с путями в сложной области многомерного пространства не очень удобно. Рассуждения упростятся, если заметить,
что каждый путь на k-мерной целочисленной решётке можно полу-
чить, перемещая по определённым правилам k фишек — каждую по
своей оси координат.
154
Лемма 5.3. Пусть λ = (λ1, ..., λ
). Количество стандартных таблиц
k
формы λ равно количеству способов переместить k пронумерован-
ных фишек из клетки 0 в клетку с номерами λ
, ..., λk соответственно,
1
передвигая за ход по одной фишке в следующую клетку так, чтобы
фишка с большим номером не обгоняла фишку с меньшим номером.
Доказательство. Стандартная таблица нужной формы строится
следующим образом: если очередной ход сделала i-я фишка, запишем номер этого хода в первую свободную клетку i-й строки. При
этом числа по строкам возрастают автоматически, а по столбцам —
в силу того, что мы запретили обгоны. Легко видеть, что это соответствие является взаимно однозначным.
Вместо запрета обгонов удобнее запретить фишкам занимать
одну и ту же клетку. Для этого достаточно предварительно сдвинуть
(k – 1)-ю фишку на одну клетку вперёд, (k – 2)-ю — на две клетки
вперёд и т. д. Таким образом, i-я фишка будет теперь идти из клетки
k – i в в клетку λ
+ k – i.
i
Будем называть правильным перемещением такое перемещение
фишек, когда передвигается одна фишка на следующую клетку (при
условии, что эта клетка свободна).
Предложение 5.1. Пусть λ = (λ
, .., λ
1
), а l
= λi + k – i. Количество
k
i
стандартных таблиц формы λ равно количеству правильных перемещений k фишек из клеток (k – 1, k – 2, ..., 1, 0) в клетки (l
1
, l
…, lk),
2,
как это показано на рис. 5.6.
Рис. 5.6
Рассмотрим вначале случай k = 3. В любом перемещении трёх
фишек из (2, 1, 0) в (l
делает l
– 1 ход, третья делает l
2
, l2, l
) первая фишка делает l
1
3
хода. Если убрать условие, что
3
– 2 хода, вторая
1
фишки не встречаются, то каждому перемещению будет соответствовать некоторая перестановка из l
– 2 единиц, l2 – 1 двоек и l3
1
троек. Общее их число равно полиномиальному коэффициенту
)
( 2, 1,
=
(
)!()!
!
,
!
155
где =( 2
)+(
1)+ = + +
— общее число кле-
ток в диаграмме Юнга.
Теперь нужно подсчитать число «плохих» перемещений, т. е. перемещений, при которых фишки встречаются. Рассмотрим перемещения, где встречаются первая и вторая фишки, и дальнейший
путь первой фишки после первой их встречи заменим на дальнейший путь второй фишки и наоборот. Мы получим перемещение
, l1, l
из (2, 1, 0) в (l
ентом
). Их число даётся полиномиальным коэффици-
2
3
(
2, 1,
)
=
!
(
)!()!
.
!
Аналогично число перемещений, в которых встречаются вторая
и третья фишки, равно числу перемещений из (2, 1, 0) в (l
Их число даётся полиномиальным коэффициентом
(
2, 1,
)
=
!
(
)!()!
.
!
, l3, l2).
1
Применяя формулу включения и исключения, приходим к следующему результату.
Предложение 5.2. Количество правильных перемещений
!
!
, l2, l3) равно
1
(
!
+
!
!
2)! ( 1)!
!
(
2)! ( 1)!
(
!
!
!
2)! ( 1)!
!
(
2)! ( 1)!
+
!
.
!
из (2, 1, 0) в (l
(
2)! ( 1)!
+
(
2)! ( 1)!
Отметим, что формулу (5.1), фактически определяющую число
правильных перемещений для двух фишек, можно переписать в аналогичном виде
( 1,
)
(
1,
)
.
Перейдём теперь к общему случаю. Обозначим через σ подстановку на множестве индексов {1, 2, …, k}, а через |σ| — количество
её беспорядков.
Теорема 5.1. Количество правильных перемещений из
(k – 1, k – 2, …, 0) в (l
(
, l2, …, lk) равно
1
||
)
1
(
)
+ 1,
+ 2, … ,
)
(
(
. (5.2)
)
156
Замечание. Числа
+ в формуле (5.2) могут быть отри-
)
(
цательными. В этом случае соответствующие полиномиальные коэффициенты полагаются равными нулю.
Доказательство. Каждое слагаемое в сумме (5.2) имеет ясный комбинаторный смысл. Это количество перемещений из
(k – 1, k – 2, ..., 0 ) в (
(
,
(
, … ,
)
)
). То есть сумма (5.2) считает
)
(
количество способов переместить фишки из точек (k – 1, k – 2, ..., 0)
в точки (
, , … ,
) со знаками, зависящими от того, какая фишка
в какую точку приходит.
Разобьём все неправильные перемещения (т. е. перемещения,
при которых фишки встречаются) на пары. А именно пусть первыми
встречаются фишки, которые выходят из k – i, k – j. Поменяем их
пути после первого пересечения. После такой замены фишка k – i
придёт в поле
, а фишка k – j придёт в поле
)
(
(
.
)
Другими словами, новая подстановка равна предыдущей, умноженной на транспозицию. Поэтому эти перестановки имеют разную
чётность, и соответствующая пара перемещений входит в сумму 2
с противоположными знаками и сокращается. Остаются только слагаемые, соответствующие правильным перемещениям. Что и требовалось доказать.
Несмотря на чисто комбинаторный характер изложенного материала, следует отметить, что он глубоко связан с теорией представлений симметрической группы S
.
k
Формула крюков
На формулу (5.2) можно смотреть как на обобщение аддитивной
формулы для чисел Каталана
=
Есть аналогичное обобщение и для мультипликативной формулы
Начнём со случая диаграммы Юнга из трёх строк. В формуле из
предложения 5.2 вынесем за скобку общий множитель N! и приведём все дроби к общему знаменателю l
лучим выражение
=
.
.
! После сокращений по-
1!l2!l3
157
(
) ( )
11 +−−= mnnnA
m
n
!
! !
Разлагая выражение в скобках на множители, получаем
(
!
!
! !
(
!
)(
+
+
)(
)
.
)
.
Прежде чем переходить к общему случаю, докажем следующую
лемму.
Лемма 5.4. Пусть
||
)
(, …,
=
(1)
(
)
(
)
…
(
,
)
где сумма берётся по всем подстановкам из симметрической груп-
, число беспорядков в подстановке обозначается через |σ|,
пы S
k
. Тогда
)
(, … ,
=
Доказательство. При перестановке любых li и l
няет знак. Отсюда следует, что при l
тельно, этот многочлен делится на (l
тельно, делится на их произведение
(
С другой стороны, и это произведение, и (, …,
(
)
.
(, …,
j
)
и l
(, … ,
i
j
– lj) при любых i ≠ j, а следова-
i
)
.
= 0, а следова-
)
— много-
)
ме-
члены одной и той же степени 1 + 2 + … + (k – 1) = n(n – 1)/2. Следовательно,
(, … ,
)
=
,
где C — некоторое число.
…
Сравнив коэффициенты при мономе
в левой
и правой частях равенства, находим, что C = 1.
Общий случай даётся следующей теоремой.
Теорема 5.2 (формула Фробениуса — Юнга). Количество стан-
дартных таблиц формы λ = (λ
, ..., λk) равно
1
158
!
)
! ! …
где N = + + +
— длина i-й строки, = + , i = 1, 2, ..., .
!
— общее число клеток в диаграмме Юнга,
(
,
Доказательство. Формулу теоремы 5.1 можно представить
в виде
!
! ! …
!
Подставляя значение (, … ,
(, …,
)
, полученное в лемме 5.4, при-
)
.
ходим к искомому выражению. Теорема доказана.
Формулу теоремы 5.2 можно представить в ещё более интересном виде.
Определение 5.3. Крюком клетки s в диаграмме Юнга называется область диаграммы, состоящая из этой клетки и всех клеток,
лежащих строго под ней и строго справа от неё. Количество клеток
в крюке обозначается h
(s), где λ — форма диаграммы, или просто
λ
h(s). Пример крюка приведён на рис. 5.7.
Рис. 5.7
Теорема 5.3 (формула крюков). Количество стандартных таб-
лиц формы λ равно
!
()
,
где произведение берётся по всем клеткам диаграммы Юнга формы λ, N — общее количество клеток в диаграмме.
159
Формулу крюков достаточно несложно вывести из формулы
Фробениуса — Юнга. Поэтому доказательство теоремы оставляется
читателю в качестве самостоятельного упражнения.
Непересекающиеся пути
Рассмотрим ещё одну задачу по подсчёту числа путей, которую
позволяет решить метод отражения.
Рассмотрим, как и раньше, целочисленную решётку на плоскости. Пусть на одной её горизонтальной линии выбраны n начальных вершин s
, t2, ..., tn, как показано на рис. 5.8.
t
1
, s2, ..., sn, а на другой выбраны n конечных вершин
1
Рис. 5.8
Мы хотим посчитать количество непересекающихся путей, ведущих из начальных вершин в конечные, таких, что пути идут по ли-
ниям решётки вверх и вправо.
Обозначим через P(s→t) количество путей из вершины s в вершину t, а через P(S→T) обозначим общее число путей, которые
ведут из вершин s
P(S→T) = P(s
1→t1
, s2, ..., sn, в вершины t1, t2, ..., t
1
)·P(s2→t2)·… P(sn→tn).
. Понятно, что
n
Искомое количество непересекающихся путей обозначим
P’(S→T).
Случай одной пары точек тривиален. Если точка t лежит на k
выше и на l левее точки s, то P’(S→T) = P(S→T) = P(s
1→t1
) =
.
Случай двух точек уже более интересен. Общее число путей
равно P(S→T) =
160
P(s1→t1)·P(s2→t
). Среди них есть пересекающиеся.
2