Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторные методы. Учебник.pdf
дующий. Обозначим =(cos + sin
чаем
при
= + . Начальное условие
(
=
sin + cos)= с начальным условием
x
= 0. Соответственно,
= . Интегрируя, получаем
= 0. И мы получаем формулу Эй-
)
. Диффренцируя, полу-
y
= 1
лера. Вместо тригонометрической формы можно теперь использо-
) +
.
(
+
)
. Умножать, делить, возво-
вать экспоненциальную =
С
кладывать и вычитать комплексные числа удобно в обычной
форме:
+ = (+
дить в степень, извлекать корни удобнее в экспоненциальной или
тригонометрической.
Например,
=
=
()
,
, =
=
()
,
, =
.
Если речь зашла об извлечении корней, то самую важную роль
в комплексном анализе играют корни из 1, т. е. решения уравнения
= 1. По основной теореме алгебры их ровно n. Чтобы найти их,
представим уравнение в виде
=
, тогда =
, где
k
= 0,
1, …, n 1.
Геометрически эти корни лежат в вершинах правильного
n-угольника, вписанного в единичную окружность с центром в
начале координат. При этом одна из вершин находится в точке (1,0).
Графы
Графом =(, ) называется конечное множество с заданным семейством его двухэлементных подмножеств. Элементы
множества называются вершинами, а элементы множества —
рёбрами. Если
и
смежны. Поэтому граф можно определить так же, как заданное
на множестве бинарное отношение смежности. Это отношение яв-
ляется симметричным и иррефлексивным.
Графы с небольшим числом вершин удобно представлять рисунками, на которых вершинам соответствуют точки, а рёбрам — соединяющие их линии. Например (рис. 1.17):
, и {, } , то говорят, что вершины
51
Рис. 1.17
}
десь ={
З
={{
сли вершина инцидентна рёбрам, то говорят, что она имеет
Е
степень , и пишут
Н
а рис. 1.17
, , , ,
, }, {, }, {, }, {, }, {,
= .
= 1, = 2,
,
Таким образом,
}
}
.
= |()|.
= 3. Вершина степени 0
называется изолированной, а степени 1 — концевой или висячей.
Т
еорема Эйлера. Сумма степеней вершин графа =(,
равна удвоенному числу его рёбер:
= 2||.
Доказательство. Каждое ребро инцидентно двум вершинам
и поэтому даёт в сумму
вклад, равный двум. Следова-
тельно, и вся сумма оказывается равной удвоенному числу рёбер.
аршрутом в графе , соединяющим вершины
М
и
называ-
ется чередующаяся последовательность вершин и рёбер
, , , , .. . ,
, , такая, что = {
, }, = 1,2, … , .
Здесь среди вершин и рёбер могут быть и одинаковые. Число рёбер
в маршруте называется его длиной. Так как в рассматриваемых нами
графах между двумя вершинами существует не более одного ребра,
то для задания маршрута достаточно указать последовательностью
вершин
, , .. . ,
.
Маршрут называется цепью, если все его рёбра различны, и простой цепью, если все его вершины (а следовательно, и рёбра) раз-
)
52
личны. Если =
, то маршрут называется замкнутым. Замкну-
тый маршрут, у которого все рёбра различны, называется циклом.
Если первая и последняя вершины являются единственной парой
совпадающих вершин, то цикл называется простым циклом.
Длина самого короткого цикла называется обхватом графа, а са-
мого длинного простого цикла — периметром.
В графе на рис. 1.18
цепью;
, , , — простая цепь; , , , и , , , ,
, , , , ,
, , , ,
— цепь, но не простая цепь;
— маршрут, не являющийся
— про-
стые циклы. Обхват равен 3, а периметр — 4.
Рис. 1.18
Простую цепь с вершинами обозначают , а простой -вершинный цикл —
(рис. 1.19).
Рис. 1.19
Если между любыми двумя вершинами графа существует соединяющий их маршрут, то граф называется связным. В качестве такого
маршрута всегда может быть выбрана простая цепь.
53
Определение. Граф =(,
)
называется двудольным, если
множество его вершин можно разбить на два непересекающихся
подмножества
шина будет принадлежать
и так, что в каждом ребре {, } одна вер-
, а другая —
.
Граф, представленный на рис. 1.18, является двудольным,
здесь
= {, , }, = {,
}. Если в графе присутствуют
все возможные для двудольного графа рёбра, т. е. каждая
вершина из
кой граф называется полным двудольным. Он обозначается
где |
граф
| = , || = и имеет × рёбер. На рис. 1.20 представлен
,
соединена рёбрами со всеми вершинами из
.
Рис. 1.20
, то та-
,
,
Одна из причин важности двудольных графов заключается в том,
что с их помощью может быть задана система подмножеств конечного множества. При этом вершины одной доли — это элементы конечного множества, другой — подмножества, а ребро означает принадлежность элемента подмножеству.
Д. Кёнигом была найдена следующая характеризация двудольных графов.
Теорема Кёнига. Для того чтобы граф был двудольным, необходимо и достаточно, чтобы в нём не было циклов нечётной длины.
Доказательство. Необходимость. Пусть =(,
)
— двудоль-
ный граф. Если в нём имеется цикл, то при движении по нему за
каждым ребром, проходимым от к
проходимое от
к
, т. е. рёбра чередуются и при возвращении
, обязательно следует ребро,
в исходную вершину число пройденных рёбер будет чётным.
54
Достаточность. Пусть в нет циклов нечётной длины. Будем
считать граф связным, так как в противном случае разбиение
на
и
выполняется отдельно для каждой компоненты. Выберем
произвольную вершину и отнесём её и все вершины, находящиеся от неё на чётном расстоянии, к
еся от неё на нечётном расстоянии, — к
определённых таким образом
и
, а все вершины, находящи-
. Покажем, что внутри
не может быть рёбер. Если бы
имелось ребро между двумя вершинами, находящимися на чётном
расстоянии от , то это приводило бы к существованию цикла нечёт-
ной длины, что невозможно. В силу тех же причин не может быть
и ребра между двумя вершинами, находящимися на нечётном рас-
стоянии от .
Важным классом двудольных графов являются деревья.
Определение. Деревом называется связный граф без циклов.
В деревьях нет циклов нечётной длины, потому что там вообще
нет никаких циклов. Поэтому из теоремы Кёнига следует, что каждое дерево является двудольным графом.
Класс деревьев является, таким образом, подклассом класса двудольных графов. На рис. 1.21 слева представлено дерево в обычном
для деревьев виде, а справа — оно же, но в виде, подчёркивающем
его двудольность.
Рис. 1.21
55
Вопросы для самопроверки по разделу 1
1
.1. В спортивной команде университета каждый спортсмен
занимается хотя бы одним видом спорта — коньками или лыжами.
Самый юный конькобежец среди лыжников и самый юный лыжник
среди конькобежцев — одно и то же лицо?
Выбрать правильный ответ:
а) да;
б) нет;
в) может быть как одно и то же лицо, так и разные лица.
1.2. В спортивной команде университета каждый спортсмен за-
нимается хотя бы одним видом спорта — коньками или лыжами.
Лучший конькобежец среди лыжников и лучший лыжник среди
конькобежцев — одно и то же лицо?
Выбрать правильный ответ:
а) да;
б) нет;
в) может быть как одно и то же лицо, так и разные лица.
1.3. В спортивной команде университета каждый спортсмен занимается хотя бы одним видом спорта — коньками
или лыжами. Каждый шестой среди лыжников является
конькобежцем, а каждый второй среди конькобежцев
является лыжником. Кого больше — лыжников или конькобежцев?
Выбрать правильный ответ:
а) лыжников;
б) конькобежцев;
в) равное количество.
1.4. При каких натуральных n число 9
Выбрать правильный ответ:
а) ни при каком n;
б) при любом n;
в) только при некоторых n.
56
+1
n
– 8n – 9 делится на 64?
Задачи к разделу 1
1.
1. Фирма получила 10 заказов на доставку пиццы. Сколькими
способами заказы могут быть распределены между двумя курьерами?
1.
2. В спортивной команде университета каждый спортсмен
занимается хотя бы одним видом спорта — коньками или
лыжами. Каждый шестой среди лыжников является конькобежцем, а каждый второй среди конькобежцев является лыжником. Чему равно отношение числа лыжников к числу конькобежцев?
1.
3. У каждого из четырёх друзей появилась новость, известная
ему одному. За один телефонный разговор двое обмениваются всеми
известными им новостями. За какое минимальное число разговоров
каждый из друзей узнает все новости?
4. Чему равна сумма
1.
= 1?
1.5. Чему равна сумма
= 1?
, если все
, если все
1.6. Чему равен наибольший общий делитель чисел 364 и 266?
1.
7. Найти наименьшее положительное решение сравнения
2
+ 42x + 21 ≡ 0 (mod 105).
x
1.8. Для множеств A, B и C справедливы соотношения
= и = . Множество B состоит из
шести элементов. Из скольких элементов состоит множество C?
1.
9. Сколько диагоналей можно провести в правильном 11-уголь-
нике?
57
1.10. В колонию из 100 бактерий попадает вирус. В первую минуту он уничтожает одну бактерию и делится на два вируса. В эту
же минуту каждая оставшаяся бактерия делится на две. Во вторую
минуту два вируса уничтожают две бактерии, и каждый из них делится на два вируса. В эту же минуту каждая оставшаяся бактерия
делится на две. Через сколько минут колония бактерий будет уничтожена вирусами?
11. Множество A =
1.
множество B =
{
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
{
13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23
}
}
Сколько имеется биекций A→B?
12. Даны множества A =
1.
{
B =
13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}. Сколько имеется сюръекций
{
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
}
и
A→B?
13. 100 студентов сдавали четыре предмета. Из них на отлично
1.
сдали математику — 70, физику — 75, химию — 80, информатику — 85 студентов. Какое максимальное число студентов могло
сдать все предметы на отлично?
14. 100 студентов сдавали четыре предмета. Из них на отлично
1.
сдали математику — 70, физику — 75, химию — 80, информа-
тику — 85 студентов. Какое минимальное число студентов могло
сдать все предметы на отлично?
1.15. Пусть
— каноническое разложение числа на
простые множители. Сколько это число имеет делителей (включая 1
и само число)?
,
.
1.
16. Чему равно наименьшее общее кратное чисел 60 и 72?
Раздел 2
КОМБИНАТОРНЫЕ ЧИСЛА
Правило произведения
Пусть некоторый выбор осуществляется в два этапа, причём на
первом этапе имеется
Тогда полное число возможных вариантов выбора равно
Пример. Из города А в город В ведут две дороги, а из города В
в город С — три дороги. Сколько существует маршрутов, ведущих
из города А в город С через город В?
Ответ: существует 2 × 3 = 6 маршрутов.
Очевидно, если выбор производится в этапов и на -м этапе
имеется
возможностей, то полное число возможностей равно
…
.
Правило произведения является основой элементарной комбина-
торики. Его можно наглядно представить с помощью дерева выбора
возможностей (рис. 2.1).
возможностей для выбора, на втором —
.
.
Рис. 2.1
59
При применении правила произведения нужно следить за тем,
чтобы при ветвлении в каждой вершине происходило разбиение
множества вариантов на непересекающиеся подмножества. Этим
гарантируется, что окончательные варианты, получаемые на концах ветвей дерева, будут различными при движении по различным ветвям.
Поясним это на примере. Пусть с помощью правила произведе-
ния хотят найти число двухэлементных подмножеств -элементного
множества, считая, что на первом этапе формирования подмножества выбирается один элемент, а на втором — другой. Тогда на пер-
вом этапе выбор производится из возможностей, а на втором — из
1. Поэтому в соответствии с правилом произведения получи-
лось бы, что число двухэлементных подмножеств равно ( 1),
что неверно, так как это число равно ( 1)/2.
Ошибка объясняется тем, что при таком порождении двухэлементных подмножеств каждое подмножество возникает дважды: при одном порядке включения входящих в него элементов
и при другом. И здесь с помощью правила произведения на
самом деле находится число упорядоченных двухэлементных выборок.
Перестановки
Пусть задано конечное множество из элементов, которые
будем называть символами. В качестве таких символов могут
выступать, например, числа {1, 2, … ,}. Перестановкой на символах называется последовательность символов, выписанных
в определённом порядке. Таким образом, число перестановок
на символах, обозначаемое
, — это число способов введения
линейного порядка на множестве из элементов. Можно сказать
также, что
— это число способов расставить человек
в очередь. На первое место можно поставить любого из , на
второе — любого из оставшихся 1 и т. д., пока не дойдём
до -го места, на которое останется единственный представитель.
Поэтому
= ( 1). .. 2 1 = !.
60