Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторные методы. Учебник.pdf
множество целых чисел разбивается на два класса эквивалентности:
множество чётных чисел и множество нечётных чисел. В общем слу-
чае множество разбивается на классов эквивалентности
(0), (1), …, ( 1), характеризуемых остатками от деления
на . Класс () — это множество целых чисел , представимых
в виде = +
, г
де , что может быть записано как
() = { + }.
актормножество
Ф
{
(0), (1), …, ( 1)
}
называются мно-
жеством классов вычетов по модулю .
Отображения
Если каждому элементу множества поставлен в соответствие
единственный элемент множества , то говорят, что задано отобра-
жение из в или функция : . Множество называется об-
ластью определения функции , а — множеством её значений.
Если = (), то элемент называется образом элемента , а элемент — прообразом элемента . Множество, состоящее из всех
элементов (), , называется образом множества при отображении и обозначается ().
Ясно, что () .
Функцию = () можно рассматривать и как бинарное отношение между образом и прообразом (, ) специального типа, вы-
деляемого условием однозначности: если (
и
= , то =
.
Функция : называется:
— инъекцией, если из (
) = () следует =
кие два различных элемента множества не отображаются в один и
тот же элемент множества , другими словами, каждый элемент
множества имеет не более одного прообраза;
— сюръекцией, если для каждого существует такое ,
что = (), т. е. множество отображается на всё множество ,
другими словами, каждый элемент множества имеет хотя бы один
прообраз;
— б
иекцией, если является инъекцией и сюръекцией одновре-
менно, т. е. устанавливает взаимно однозначное соответствие
между множествами и .
, ) , (, )
, т. е. ника-
21
Если функция : является биекцией, то для неё существует обратная функция
: . Это схематически представ-
лено на рис. 1.7.
Рис. 1.7
Если на каждом из множеств и определено отношение порядка, то функция : называется монотонной, если из
следует (
) (
).
Пусть : , : . Тогда можно определить отображение
: как = (()), состоящее в последовательном выпол-
нении сначала отображения , а затем отображения , которое
называют композицией или суперпозицией отображений и , или
сложной функцией.
Операция композиции отображений ассоциативна.
Пусть : , : , ℎ: (рис. 1.8).
Тогда ( ) = ( ).
22
Рис. 1.8
Сохраняя при записи композиции отображений порядок выполнения отображений слева направо, отображаемый элемент множе-
ства удобнее писать слева от символа отображения. Пусть ()= ,
()= , ()ℎ = . Тогда ()( ) = и ()(( ) ) = .
Аналогично ()( ) = и ()( ( )) = , что и доказы-
вает ассоциативность отображений. Из закона ассоциативности вытекает, что любая расстановка скобок в последовательности отображений приводит к одному и тому же результату.
Композиция прямого и обратного отображения всегда даёт тождественное отображение.
Подстановки
В дискретной математике часто рассматриваются функции
: , где и являются конечными множествами. Особый интерес для всей математики представляют биекции вида : , где
— конечное множество. Такие взаимно однозначные отображения
конечных множеств на себя называются подстановками. Если
является -элементным множеством, то подстановка называется
подстановкой степени . Пусть = {1, 2, … ,}. Тогда подстановку
можно записать в виде
=
1 2 3 …
(1) (2)
(3) … ()
,
где нижняя строка является некоторой перестановкой элементов
множества {1, 2, … , }. Эта строка и задаёт подстановку. Поэтому
существует ! подстановок степени . Среди них имеется и тожде-
ственная, оставляющая все элементы на месте и обозначаемая бук-
вой :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
.
Рассмотрим подстановку
=
1 2 3 …
(1)
(2)
(3) … ()
.
Ситуация, когда k < m, но f(k) > f(m) называется беспорядком,
или инверсией. Если число беспорядков (инверсий) N(f) чётно, то
перестановка f называется чётной. В противном случае — нечётной.
23
В случае, когда подстановка действует на некоторых произвольных
элементах некоторого множества, мы можем занумеровать последовательными числами 1, 2, …, n элементы, стоящие в первой строке,
и рассматривать их номера. В этом случае определение беспорядка
и чётности подстановки сохраняется.
Каждая подстановка может быть разложена в произведение неза-
висимых циклов. Рассмотрим это разложение на примере. Пусть
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
=
2 4 6 1 5 7 8 3 10 9
.
Тогда 1 2 4 1, и мы получили первый независимый цикл
длины 3, который принято записывать как (1 2 4). Далее имеем цикл
длины 4: 3 6 7 8 3, который запишется как (3 6 7 8).
Элемент 5 остаётся на месте, что может быть записано как (5),
а элементы 9 и 10 переставляются местами, т. е. образуют цикл
длины 2: (9 10).
Четыре полученных цикла попарно не имеют общих элементов
и поэтому называются независимыми. Теперь вся подстановка может быть записана в виде произведения независимых циклов
= (1 2 4)(3 6 7 8)(5)(9 10).
Под произведением здесь понимается последовательное выполнение четырёх циклических перестановок, порядок выполнения которых безразличен. Разложение на независимые циклы определяется однозначно, но запись каждого цикла определена с точностью
до циклического сдвига:
(3 6 7 8) = (6 7 8 3) = (7 8 3 6) = (8 3 6 7).
Если подстановка состоит из единственного цикла, то она назы-
вается циклической. Из ! подстановок степени циклическими
являются ( 1)!, так как первый элемент должен перейти в один
из 1 других элементов, а тот, в свою очередь, в один из оставшихся 2 и т. д.
При записи подстановки в виде произведения независимых циклов циклы длины 1 принято опускать и писать
= (1 2 4)(3 6 7 8)(9 10).
24
Являясь биекцией, каждая подстановка имеет обратную. В нашем
случае
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
𝑓
4 1 8 2 5 3 6 7 10 9
или
𝑓 1 4 23 8 7 69 10.
Композиция подстановок приводит также к подстановке. Так,
если
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
𝑔
5 2 9 3 6 4 7 8 1 10
1 5 6 4 3 9,
то в результате композиции 𝑓 и 𝑔 возникает циклическая подста-
новка:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
𝑓∘𝑔
2 3 4 5 6 7 8 9 10 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10.
Композицию подстановок обычно называют их умножением
и записывают как произведение: 𝑓∘𝑔𝑓𝑔𝑓𝑔. Умножение
прямой и обратной подстановок даёт тождественную подстановку:
𝑓𝑓𝑓𝑓𝑒.
Для любой подстановки 𝑓 имеет место 𝑓𝑒 𝑒𝑓 𝑓. В общем же
случае произведение подстановок некоммутативно. В качестве подтверждающего примера можно привести рассмотренные выше под-
становки 𝑓 и 𝑔:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
𝑔𝑓
5 4 10 6 7 1 8 3 2 9
1 5 7 8 3 10 9 2 4 6 𝑓𝑔.
Циклы длины 2 называют транспозицией. Ясно, что умножение
на транспозицию меняет чётность подстановки, а также, что любую
подстановку можно представить как произведение транспозиций.
Поэтому чётность подстановки совпадает с чётностью числа использованных транспозиций.
Сделаем ещё несколько наблюдений, связанных с произведе-
нием подстановок. Заметим, что для любых подстановок 𝑓 и 𝑔 имеет
место 𝑓𝑔
𝑓𝑒𝑓
𝑓𝑓𝑒.
𝑔𝑓, так как 𝑓𝑔𝑔𝑓𝑓𝑔𝑔𝑓
25
Пусть некоторая подстановка раскладывается в произведение независимых циклов, длины которых
наименьшее общее кратное чисел
степени подстановки :
= и будет первой по порядку степенью, порождающей тож-
= , = , = и т. д. Тогда
, , …,
дественную подстановку. Более того, все степени
будут различными подстановками, а
= и т. д. Число называется порядком подстановки .
самом деле, для равенства
В
= необходимо и достаточно,
чтобы было кратным каждому из чисел
, , … ,. Пусть есть
. Будем рассматривать
, , …,
= ,
, , …,
. Тогда каждый
=
независимый цикл подстановки «прокрутится» целое число раз, и
все переставляемые элементы останутся на месте. Поэтому будет
первой степенью, для которой
различны, так как если бы для
это означало бы, что
венства слева на (
что даёт
= = = ,
полагать
что
зяв в качестве примера подстановку = (1 2 3)(4 5), имеем:
В
= , а это невозможно, так как < . Наконец,
= . Заметим также, что из равенства = следует,
=
.
)
, получаем (
= . Все степени , , … ,
< < имело место
=
. Помножая обе части этого ра-
)
= = =
= (
и т. д. Принято
=
)
, то
= (1 3 2), = (4 5), = (1 2 3), = (1 3 2)(4 5), = ,
= и т. д., =
.
,
,
Группы
Взглянем теперь на множество подстановок с определённой на
нём операцией произведения подстановок с более общей точки зрения. Отметим следующие свойства этой алгебраической системы.
1. Произведение двух подстановок = снова является неко-
торой подстановкой (замкнутость множества подстановок относительно операции произведения).
2. Произведение подстановок ассоциативно: ()= ().
. Существует тождественная подстановка , которая, будучи
3
умноженной слева или справа на произвольную подстановку, не из-
меняет этой подстановки:
26
= = .
4. Для каждой подстановки существует обратная ей постановка
, которая в произведении с исходной независимо от порядка
сомножителей даёт тождественную подстановку:
= = .
Алгебраическая система, обладающая свойствами 1–4, называ-
ется группой. Таким образом, множество всех ! подстановок на
множестве из символов с определённой на нём операцией умно-
жения подстановок является группой. Эта группа называется сим-
метрической группой степени и обозначается
.
Число элементов в группе называется порядком группы. Порядок
симметрической группы
равен, таким образом, !
Некоторое подмножество элементов группы может само образо-
вывать группу. В этом случае оно называется подгруппой исходной
группы. В частности, подгруппами в
являются множества подста-
новок, порождённые всевозможными степенями произвольной фиксированной подстановки. Подгруппу можно также определить, выделив её элементы с помощью некоторого характеристического
свойства, сохраняющегося при операции группового умножения.
имметрические группы
С
обладают множеством разнообраз-
ных подгрупп, многие из которых играют в математике важную
роль. Обширный класс таких подгрупп можно получить как группы
симметрий определённых объектов, физических или математических, т. е. множество преобразований, совмещающих объект с са-
мим собой. Например, функция (, , ) =
+ +
не меняется при транспозиции, меняющей местами перемен-
ные и , а функция (, , ) =
+ +
не изменяется
при любой подстановке переменных , , (такие функции называ-
ются симметрическими). Группа симметрий первой функции
есть
, а второй —
. Любой объект воспринимается тем симмет-
ричнее, чем обширнее его группа симметрий.
Г
руппы подстановок имеют конечное число элементов и по-
этому называются конечными группами, или группами конечного по-
рядка. Рассматривая биективные преобразования в себя бесконечных множеств, можно получать группы бесконечного порядка.
В
качестве примера рассмотрим биективные отображения мно-
жества действительных чисел в себя, задаваемые линейными
функциями : =
: = (+ ) + = () + ( + ).
где 0. Если : =
+ ,
+ , 0, то
27
Тождественное отображение : = , обратное отображение
: =
. Таким образом, эти отображения образуют
группу, которая имеет бесконечный порядок. В этой группе можно
выделить подгруппу, сохраняющую расстояния между точками на
действительной прямой. Элементы этой подгруппы имеют вид
= + и = + , т. е. являются сдвигами и отражениями от-
носительно начала координат с последующим сдвигом.
Подобным же образом можно рассматривать биективные линейные преобразования плоскости или пространства. Преобразования,
сохраняющие расстояния между точками, называются движениями
соответственно прямой, плоскости или пространства. Они образуют
подгруппу, называемую группой движений.
Движения плоскости намного разнообразнее движений прямой.
Сюда входят параллельные переносы, повороты около центра, отражения относительно прямой, а также композиции этих движений.
При этом параллельные переносы и повороты образуют подгруппу
так называемых собственных движений плоскости. Движения,
включающие отражение, называются несобственными. Собственное движение можно получить как результат непрерывного движения плоскости. Несобственное движение таким образом получить
невозможно, так как оно изменяет ориентацию — обход произволь-
ного замкнутого контура по часовой стрелке становится после преобразования обходом против часовой стрелки.
Отражения относительно прямой или плоскости называют также
зеркальными отражениями. Дважды выполненные зеркальные отражения сохраняют ориентацию, т. е. являются собственными движениями — поворотом или параллельным переносом.
Связь между группой движений и конечными группами подстановок выявляется при рассмотрении симметрий плоских или пространственных фигур. Симметрией фигуры называется движение,
переводящее эту фигуру в себя. Ясно, что множество симметрий некоторой фигуры образует группу, являющуюся подгруппой группы
движений.
Если рассматривать симметрии правильного -угольника
на плоскости, то его можно совместить с самим собой по-
воротами относительно центра, включая тождественный, на углы
2
, = 0, 1, 2, … , ( 1), а
также отражениями относительно
28
осей симметрии. В случае чётного осями симметрии являются
2
прямых, соединяющих середины противоположных сторон,
и 2
прямых, соединяющих пары противоположных вершин,
а в случае нечётного — прямых, соединяющих вершины с серединами противолежащих сторон. Взятые вместе, поворотов и отражений образуют группу симметрий правильного -угольника, которая имеет порядок 2 и называется группой диэдра
, или диэд-
ральной группой.
П
овороты образуют в группе диэдра подгруппу порядка . Все
элементы этой группы могут быть получены последовательным вы-
полнением поворота на угол 2 . Если поворот на угол 2
обозначить через , то поворот на угол 2 выразится как
При этом
руппы, порождённые степенями одного элемента, называются
Г
= .
циклическими группами. Группа поворотов является циклической
группой порядка и обозначается
циклическую группу
. Поэтому говорят, что ось вращения явля-
. Каждое отражение порождает
ется осью симметрии -го порядка, а оси отражений — осями симметрий второго порядка. На рис. 1.9 представлены случаи = 5
и = 6.
.
Рис. 1.9
Пронумеруем вершины -угольника числами 1, 2, … , по часо-
вой стрелке. На множестве вершин группа диэдра будет действовать
как некоторая группа подстановок. Поворот на угол 2
станет
циклической перестановкой (1 2 … ), степени которой порождают
29
циклическую группу
новок
например,
порождается вращением (1 2 … ) и любым из отражений,
1 2
1
1
симметрической группы
. Вся же диэдральная группа переста-
3
… 1
… 3 2
.
. Она является подгруппой
В качестве примера рассмотрим подробнее группу самосовме-
щений квадрата
90°, 180° и 270° и четырёх симметрий относительно осей
, состоящую из четырёх поворотов на углы 0°,
, , ,
которые считаем неподвижными (рис. 1.10).
,
Рис. 1.10
Обозначим вращение по часовой стрелке на угол 90° через .
Выберем этот поворот в качестве образующего группы вращений
и запишем вращения на 180° и 270° соответственно как =
и =
. Циклическая группа вращений
зом, из тождественного вращения на 0° и вращений ,
Симметрии относительно осей
же буквами. Имеем: с = (1 2 3 4),
= (1 2)(3 4), = (1 3), = (1 4)(2 3),
, , ,
= (1 3)(2 4),
состоит, таким обра-
будем обозначать теми
= (1 4 3 2),
= (2 4). Операция
,
группового умножения может быть задана следующей таблицей
(табл. 1.1), где в клетке, находящейся в строке, помеченной слева
элементом
элемент
, и в столбце, помеченном сверху элементом
. Такие таблицы называют также таблицами Кэли в
, стоит
честь английского математика Артура Кэли.
30
.