Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторные методы. Учебник.pdf
A(n + 2)2
n+2
– 4A(n + 1)2
n+1
+ 4An2n = 2n;
4An + 8A – 8An – 8A + 4An = 1.
Снова приходим к невозможному равенству.
Теперь будем искать частное решение в правильном виде
x
= An22n. Получим
n
A(n + 2)22
n+2
– 4A(n + 1)22
n+1
+ 4An22n = 2n;
4An2 + 16An + 16A – 8An2 – 16An – 8A + 4An2 = 1.
Отсюда находим A = 1/8, частное решение имеет вид xn = n22n/8.
Сведение неоднородных
соотношений к однородным
Во многих случаях, если выписать рукуррентное соотношение
для разных n
x
n+k
+ a1x
n+k-1
+ a2x
+ … + akxn = f(n);
n+k-2
x
n+m +k
+ a1x
n+m +k-1
+ a2x
n+m +k-2
+ … + akx
= f(n+m)
n+m
и взять линейную комбинацию этих выражений
+ α2(x
α
n+m +k
1(xn+k
+ a1x
+ a1x
n+m +k-1
n+k-1
+ a2x
+ a2x
+ … + akxn) +
n+k-2
n+m +k-2
+ … + akx
n+m
) =
= α1 f(n) + α2 f(n+m),
то подбором α
свести исходное неоднородное рекуррентное соотношение порядка k к однородному более высокого порядка k + m. Чаще всего берут
m = 1, α
2
несколько раз, прежде чем будет достигнута цель.
Если были заданы k начальных значений для x
то необходимо будет с использованием исходного соотношения просчитать также x
вать в качестве начальных значений для нового соотношения.
Пример 3.7. Арифметическая прогрессия.
и α2 удаётся получить α1 f(n) + α2 f(n+m) = 0. То есть
1
= 1, α1 = – 1. Возможно, эту операцию придётся повторить
, x2, …, xk,
1
, x
k+1
x
– xn = d, x
n+1
k+2
, …, x
и все x1, x2, …, x
k+m
– x
n+2
n+1
= d, x1 = 0.
использо-
k+m
121
Вычитая эти соотношения друг из друга, получаем
x
– 2x
n+2
Характеристическое уравнение λ
= λ2 = 1 кратности 2.
λ
1
Общее решение имеет вид x
начальных значений определяем α
+ xn = 0, x1 = 0, x2 = d.
n+1
α
1
α
1
2
– 2λ + 1 = 0 имеет корень
= α1 + α2n. С использованием
n
и α2:
1
+ α2 = 0;
+ 2α2 = d.
Отсюда α
= – d, α2 = d, и решение имеет вид xn = d(n – 1).
1
Вопросы для самопроверки по разделу 3
3.1. Какое из следующих соотношений является линейным ре-
куррентным?
а) x
+ nxn = 2n;
n+1
б) x
+ 10x
n+2
+
в) x
n+1
3.2. Какого порядка следующая линейная рекуррентная последо-
вательность x
а) 1; б) 2; в) 3; г) 4.
3.3. Какая из следующих рекуррентных последовательностей яв-
ляется однородной линейной?
а) x
+ xn = 2n;
n+1
б) x
+ 10x
n+2
+
в) x
n+1
3.4. Какая из следующих последовательностей является последо-
вательностью Фибоначчи?
а) x
+ xn + x
n+1
б) x
– xn + x
n+1
в) x
+ xn – x
n+1
г) x
– xn – x
n+1
3.5. Являются ли следующие пары последовательностей линейно
независимыми (да, нет)?
а) {n} и {2n};
б) {2n – 1} и {2n};
в) {n} и {n
n
г) {2
} и {3n};
n
д) {2
} и {2
+ xn = sin(n);
n+1
= 0.
+ x
n+4
n+2
+ xn = 0;
n+1
= 0.
= 0;
n-1
= 0;
n-1
= 0;
n-1
= 0.
n-1
2
};
+1
n
}.
+ xn = 0?
3.6. Правая часть неоднородного рекуррентного уравнения
имеет вид n3
λ
= λ2 = 3, λ
1
n
, характеристическое уравнение имеет корни
= λ
= λ5 = 2. При подборе частного решения методом
3
4
неопределённых коэффициентов какое выражение для пробного решения мы должны использовать?
3
а) An
3n;
б) n(An
в) n
г) (An
2
+ B)3n;
2
(An + B)3n;
3
+ B)3n.
123
Задачи к разделу 3
3.1. Определить порядок рекуррентности данных соотношений:
+ a1x
а) x
n
б) x
n+3
в) x
n+3
3.2. Составить рекуррентное соотношение, определяющее по-
следовательность:
а) квадратов натуральных чисел;
б) кубов натуральных чисел.
3.3. Найти общий член последовательности, члены которой удо-
влетворяют соотношению: x
3.4. Найти общий член последовательности, члены которой удо-
влетворяют соотношению: x
3.5. Найти последовательность, удовлетворяющую уравнению
а затем вычислить сумму: S = cos α + co s 2α +…+cos nα.
3.6. Доказать, что последовательность, образованная суммами:
+ 2x
+ 2x
a
n−1
n+2
+ a2x
n−2
+ x
n+2
n+2
= 1;
n+1
+ xn = 0.
– 2(cos α)a
+ ...+ akx
n+1
= f(n);
n−k
– 2x
n+4
– x
n+2
+ an = 0, a1 = cos α, a2 = cos 2α,
+ xn = 0.
n+2
+ xn = 0.
n+1
S1 = u1, S2 = u1 + u2, …, Sn = u1 + u2 + …+ un,
где un + k + C1un + k − 1 + … + Ckun = 0, является рекуррентной,
и найти рекуррентное соотношение, которому удовлетворяет последовательность сумм.
3.
7. Члены последовательности {an} удовлетворяют соотноше-
нию аn − 2аn − 1 − 3аn − 2 = 0. Найти сумму S = a
+ … + a
nxn
.
x + a2x2 + a3x3 +
1
3.8. Найти последовательность, члены которой удовлетворяют
соотношению
a
− 6
a
+ 9
an
n
+2
n
+1
= − 4 и а1 = 1, а2 = − 7.
3.9. Найти общее решение рекуррентного уравнения:
2
n
− 4n − 8.
124
a
− 6
a
+ 11
a
− 6
an
n
+3
n
+2
n
+1
= − 24
3.10. Найти путём сведения к однородному рекуррентному урав-
нению все последовательности, члены которых удовлетворяют со-
отношению
a
− 5
a
+ 6
an
n
+2
n
+1
= 4.
3.11. Найти путём сведения к однородному рекуррентному урав-
нению общее решение рекуррентного уравнения
a
−
an
n
+2
= 4n.
3.12. Найти путём сведения к однородному рекуррентному урав-
нению решение рекуррентного уравнения
a
−
n
+2
an
=
2
n
, a1 = 1.
3.13. Найти общие решения рекуррентных соотношений:
1
) а
) а
2
3
) а
) а
4
) а
5
6) а
– 4a
n+2
+ 3аn = 0;
n+2
– a
n+2
+ 2a
n+2
+ 10а
n+3
+ 3а
n+3
+ 3аn = 0;
n+1
– аn = 0;
n+1
+ аn = 0;
n+1
n+2
+ 3а
n+2
+ 32a
n+1
+ 32аn = 0;
n+1
+ аn = 0.
3.14. Найти аn по рекуррентным соотношениям и начальным
условиям:
1) а
– 4а
n+2
) а
2
– 3а
n+3
3
) а
– 3 а
n+3
4) а
– 2(cos(α))а
n+2
5) а
– аn = 0, а0 = 0, а1 = 2;
n+2
6) а
– 6 а
n+2
+ 3аn = 0, a0 = 10, а1 = 16;
n+1
+ а
n+2
n+1
n+1
– 3аn = 0, a0 = 3, a1 = 7, a2 = 27;
n+1
+ 2 аn = 0, a1 = a, a2 = b, a3 = c;
+ аn = 0, a0 = 1, а1 = cos(α);
n+1
+ 9 аn = 0, а0 = 6, a1 = 6.
3.15. Решить рекуррентные соотношения:
1) а
– аn = n, а1 = 1;
n+1
2) а
) а
3
4
) а
5)
6) а
+ 2а
n+2
– 2а
n+2
+ а
n+2
а
– 4а
n+2
+ а
n+2
– 8аn = 27 · 5n, а0 = 0, а1 = – 9;
n+1
+ 2аn = 2n, а0 = 1, a1 = 2;
n+1
– 2аn = n, а0 = 1, a1 = – 2;
n+1
+ 4аn = 2n, а0 = 1, a1 = 2;
n+1
– 6аn = 5 · 2
n+1
+1
n
, а0 = 2, а1 = 1.
125
3.16.
1) Пусть {а
} и {bn} — две последовательности, члены которых
n
связаны соотношениями:
а
= p
n+1
b
n+1
где p
, p2, q1, q2 — данные числа, причём p1q2 – p2q1 ≠ 0. Найти выра-
1
жения для а
и b
, считая, что а
n
n
+ q1bn;
1аn
= p
+ q2bn,
2аn
и bn а1 и b1 заданы.
n
2) Найти решение системы рекуррентных соотношений:
а
= 3аn + bn;
n+1
b
= – аn + bn;
n+1
а
= 14, b1 = – 6.
1
3) Найти общее решение системы рекуррентных соотношений:
а
= bn +5;
n+1
b
= – аn + 3.
n+1
Раздел 4
ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
результате выполнения алгебраических преобразований могут
В
осуществляться определенные комбинаторные подсчёты. С этим мы
уже встретились в разделе 2 при выводе биномиальной формулы,
когда комбинаторные объекты — числа сочетаний — появились
в новом качестве биномиальных коэффициентов при выполнении
алгебраической операции возведения в степень. Рассмотрим ещё
примеры, иллюстрирующие эту связь между алгеброй и комбинаторикой.
Пример. Пусть в урне находятся три красных, четыре синих и
два зелёных шара. Сколькими способами могут быть извлечены
шесть шаров, если шары одного цвета считать неразличимыми?
Для ответа на этот вопрос достаточно по обычным алгебраическим правилам раскрыть скобки в выражении
(1 + + + )(1 + + + + )(1 + +
),
привести подобные члены и взять коэффициент при
. Здесь первая
скобка соответствует красным шарам, вторая — синим и третья —
зелёным. Степени буквы в каждой скобке выражают количество
шаров данного цвета, которые могут быть взяты. При перемножении
скобок показатели степеней складываются, поэтому
возникнет
столько раз, сколько существует способов выбора шести шаров. Это
рассуждение справедливо не только для
, но и для любой другой
степени .
Выполнив умножение, получим многочлен
1 + 3 + 6+ 9+ 11+ 11+ 9+ 6+ 3+
,
который называется производящей функцией для числа способов
выбора, так как коэффициент при
равен числу способов выбора
шаров. В частности, шесть шаров могут быть извлечены девятью
способами.
127
Несколько видоизменим задачу. Пусть теперь требуется найти,
987654322423
2222))(1)(( xxxxxxxxxxxxxx +++++++=++++
сколькими способами можно извлечь из той же урны шесть шаров
так, чтобы среди них было нечётное число красных шаров, чётное
число синих и хотя бы один зелёный шар. В этом случае также легко
выписать производящую функцию, дающую ключ к решению задачи:
.
Теперь шесть шаров могут быть извлечены лишь двумя способами.
Другой пример. Пусть имеются четыре монеты достоинством
1 рубль, три монеты — 2 рубля, две монеты — 5 рублей и одна монета — 10 рублей. Сколькими способами можно набрать денежную
сумму в размере 10 рублей?
Рассмотрим выражение
(1 + + + + )(1 + + + )(1 + + )(1 +
),
в котором каждая скобка соответствует одному из номиналов. Пока-
затели степени, в которые возводится буква в скобке, равны про-
изведению номинала монеты на число монет данного номинала, которое может быть включено в набираемую денежную сумму. Это
число изменяется от нуля до количества имеющихся в распоряжении монет данного номинала. Так как при умножении показатели
степени складываются, то ответ на вопрос задачи даст после пере-
множения скобок коэффициент при
. Выполнив умножение, по-
лучим:
23
8
+
+
+
.
1 + + 22+ 3+ 34+ 35+ 4+ 47+ 4
9
+ 5+ 511+ 6+ 7+ 714+ 615+ 7
+ 4
+ 6+ 618+ 519+ 5+ 421+ 4+ 4
+ 4+ 325+ 326+ 227+ 2+ +
Таким образом, набрать 10 рублей можно пятью способами. Вот они:
{
0},{5 + 5},{5 + 2 + 1 + 1 + 1},{5 + 2 + 2 + 1
1
}
,
{2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1}.
128
Конечно, проще было бы решить задачу, просто указав пять возможных вариантов. Однако полученный в результате перемножения
скобок многочлен позволяет для любого дать ответ на вопрос,
сколькими способами может быть получена денежная сумма в раз-
мере рублей. Он является производящей функцией числа способов
набора денежных сумм в данной задаче.
Метод производящих функций берёт начало в ХVIII веке в работах Муавра, Эйлера, Лагранжа и Лапласа, которому принадлежит
и сам термин «производящая функция». Идея метода состоит в том,
чтобы сопоставить последовательности
ний задачи степенной ряд ()=
+ + +. . . ++ ,
, ,
, … реше-
}
{
=
который называется производящей функцией последовательности.
Такой ряд можно связать каждой последовательностью
}
{
=
рой функции (), функцию (
для {a
следовательности {a
, , , … В тех случаях, когда ряд (
)
также называют производящей
}. В задачах на нахождение производящей функции для по-
n
} обычно подразумевается нахождение функ-
n
ции (), ряд Тэйлора — Маклорена которой есть (
Экспоненциальной производящей функцией для {a
ряд ()=
+
!
+ +
+
!
!
+
)
сходится к некото-
)
.
} называется
n
Можно определить операции сложения, умножения на константу для производящих функций, рассматривая их как формаль-
ные ряды. Пусть () и (
довательностей {a
} и {bn} соответственно, а α и β — константы.
n
)
— производящие функции для после-
Тогда
()+ (
Если
(
+
+
() (
+ (+
()
и
)=(
)
+. . . +
)+(
)=(
()
— экспоненциальные производящие функ-
)+(
+
(
+
+
+. . . +)
ции соответственно для последовательностей {a
)
+
)
+ …
)
+ …+
+…
} и {b
n
+
}, то сложе-
n
ние и умножение на константу определяются так же, как для обычных производящих функций, а их произведение определяется как
129
()
где = +
()
=
+
+
1!
+
+. . . +
2!
+. . . +
!
+ . . .,
+. . . +
Аналитические методы работы с функцией () часто оказыва-
ются проще и эффективнее комбинаторных методов работы с чле-
нами последовательности. Если ряд (
)
абсолютно сходится в не-
которой окрестности нуля, то его можно почленно дифференцировать. Поэтому знание производящей функции позволяет восстановить исходную последовательность:
(
)
.
=
!
Полезно знать производящие функции для простейших последовательностей. Для последовательности 1, 1,. . . , 1, …, все члены которой равны единице, производящая функция есть
()= 1 + + +. . . +
+. . . =
. (4.1)
Это хорошо известная из школьного курса математики формула
для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Дифференцируя почленно, получаем, что производящая функция
последовательности натуральных чисел 1, 2, . . . , , … есть
()= 1 + 2+ 3 +. . . +
+. . . =
(
1
1
.
)
С помощью -кратного дифференцирования получаем
()!
∞
∞
!
=
(
=
!
;
()
, = 0, 1, 2, … (4.2)
)
Полезно также следующее непосредственно проверяемое тождество
= 1 + + +. . . +
. (4.3)
.
130