Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторные методы. Учебник.pdf
|=(
||
= !. Перестановок, в которых число
)
1
! Перестановок, в которых два раз-
(
=
2
)
! и т. д.
Всего перестановок
стоит на -м месте, |
личных числа и стоят на своих местах,
Таким образом, используя введённые нами обозначения, имеем
=
( )! =
!
,
!
и получаем
|
\(
. ..
= !
2!
|
=
4!
+
3!
1
1
5!
2!
1
1
+
3!
4!
+ +
!
+ + (1)
5!
(1)
!
=
.
!
!
!
Отметим, что выражение в скобках с ростом стремится к
так как
= 1 +
+
!
+
!
+ .
!
Вопросы для самопроверки по разделу 2
2.1. Перестановка это:
а) последовательность из n элементов, выписанных в определённом порядке;
б) m элементов, выбранные из числа n элементов и линейно упо-
рядоченные;
в) m элементов, выбранные из числа n элементов без упорядочения.
,
.2. Размещение это:
2
а) последовательность из n элементов, выписанных в определённом порядке;
б) m элементов, выбранные из числа n элементов и линейно упо-
рядоченные;
в) m элементов, выбранные из числа n элементов без упорядочения.
2.3. Сочетание это:
а) последовательность из n элементов, выписанных в определённом порядке;
101
б) m элементов, выбранные из числа n элементов и линейно упо-
рядоченные;
в) m элементов, выбранные из числа n элементов без упорядочения.
2.4. Число кортежей выражается:
а) соответствующим биномиальным коэффициентом;
б) соответствующим полиномиальным коэффициентом;
в) числом сочетаний с повторениями.
2.5. Мультимножество характеризуется:
а) характеристическим вектором из нулей и единиц;
б) двухсимвольными наборами определённой длины;
в) вектором кратностей типов.
2.6. Коэффициент при
в разложении (+ +
равен:
а) 103; б) С
; в)
!
!!!
.
)
2.7. Коэффициент при а
×
(
+ +
)
равен:
3b3с4
в разложении
а) 12; б) 24; в) 18.
2.8. Коэффициент при t17 в разложении
!
а)
2.9. Какое из трёх соотношений имеет место при ∞?
а) С
б) С
в) С
!!!
[
[
[
; б) 0; в)
]
= (2
]
= (2)
]
= (2
!
.
!!
)
;
;
)
.
(
2 + +
2.10. Какое из трёх соотношений имеет место при ∞?
[ ]
102
а)
б)
в)
С
[ ]
С
[ ]
С
= о(2
= (2
~2
.
);
);
(
+ +
)
равен:
)
×
2.11. Из конфетницы, содержащей четыре шоколадные конфеты
и восемь карамелей, наугад берутся две конфеты. Какова вероятность, что обе они шоколадные?
; б)
С
С
; в)
а)
С
2.
12. Из перетасованной колоды из 36 карт берутся три карты.
С
.
С
Какова вероятность, что среди них не будет тузов?
С
а)
С
13. Колода из 36 карт случайным образом делится пополам.
2.
; б)
С
С
; в)
С
.
С
Какова вероятность, что в каждой половине будет по два туза?
С
а)
; б)
14. Найти вероятность того, что среди шести карт, получен-
2.
С
С
; в)
С
С
.
С
ных при сдаче в игре в подкидного дурака, не будет ни одного козыря.
а)
С
С
; б)
С
С
; в)
С
С
.
2.15. Из восьми букв разрезной азбуки составляется слово «ин-
ститут». Затем составляющие слово карточки перемешиваются
и снова собираются в произвольном порядке. Какова вероятность,
что снова получится слово «институт»?
а)
; б)
; в)
!
!!
!
.
Задачи к разделу 2
2.1. В спортивном тотализаторе требуется указать золотого, се-
ребряного и бронзового призёров из 10 команд высшей лиги. Сколькими способами это может быть сделано?
2
.2. Сколькими способами студенческая группа в составе 15 че-
ловек может делегировать трёх человек для участия в студенческой
конференции?
103
2.3. Если футбольный матч закончился вничью и его судьба ре-
шается в серии послематчевых пенальти, то сколькими способами
тренер может представить судье список из пяти игроков, по очереди,
в порядке списка исполняющих пенальти, из 11 футболистов, находившихся на поле в момент финального свистка?
2.4. Сколькими способами может быть перетасована 6-карточ-
ная колода?
5. Сколькими способами можно рассадить 10 кинокритиков
2.
в просмотровом зале, имеющем 15 нумерованных мест?
2.6. Ресторанное меню содержит семь первых и восемь вторых
блюд. Сколькими способами может быть сделан заказ из первого и
второго блюда?
2.7. Тренер футбольной команды желает одновременно заме-
нить троих из 10 полевых игроков, имея пять футболистов на скамейке запасных. Сколькими способами он может это сделать?
2
.8. Некто, имея достаточно денег, зашёл в буфет, где имеется
пять ванильных, шесть шоколадных и семь фруктовых пирожных.
Сколько вариантов сладкой покупки у него есть, включая и вариант
ничего не купить?
2.9. Электропоезд с 10 пассажирскими вагонами подходит
к платформе, на которой его ожидают пять человек. Сколькими способами они могут разместиться по вагонам?
2.10. В кондитерской имеются в неограниченном количестве
три вида пирожных: ванильные, шоколадные и фруктовые. Некто
желает купить шесть пирожных. Сколькими способами он может это
сделать?
.11. Желая преподнести любимой девушке букет из пяти пре-
2
красных свежих роз, молодой человек заходит в цветочный магазин,
где есть розы четырёх сортов: красные, жёлтые, оранжевые и белые.
Сколькими способами можно собрать букет?
104
2.12. Имеются шесть пушек, замаскированных в разных местах,
и четыре последних снаряда для них. Сколькими способами можно
произвести четыре последних выстрела?
2.13. Сколько неотрицательных целых решений имеет уравнение
+ + + + = 10, 0, = 1, 2, 3, 4, 5.
2
.14. Сколькими способами из 12 человек можно составить две
волейбольные команды по шесть человек в каждой?
.15. Сколькими способами 12 студентов можно распределить
2
между двумя преподавателями так, чтобы у каждого преподавателя
было по шесть студентов?
2.16. Сколькими способами может быть отмечено пять номеров
из 36 при заполнении карточки лотереи?
2.17. Пусть имеется 10 языков. Сколько нужно издать словарей,
чтобы был возможен перевод с любого языка на любой (англо-русский
и русско-английский — это два разных словаря и т. п.)?
2.18. У мамы два яблока, пять груш и три апельсина. Каждый
день в течение 10 дней она решила давать сыну по одному фрукту.
Сколькими способами это может быть сделано?
2.19. В достаточном количестве имеются яблоки, груши
и апельсины. Сколькими способами может быть составлен подарочный набор из пяти фруктов?
2.20. Сколькими способами можно разделить яблоко, грушу,
апельсин, мандарин, сливу и айву между тремя мальчиками так,
чтобы каждому досталось по два фрукта?
2.21. Сколькими способами группу из 10 студентов можно раз-
бить на три подгруппы 3 + 3 + 4 и распределить между тремя преподавателями?
2.22. Чему равно число Стирлинга второго рода
?
105
2.23. Чему равен коэффициент при
(
+ +
)
?
в разложении
2.24. Чему равен коэффициент при t17 в разложении
(
2 +
+
)
?
2.25. Сколько имеется перестановок чисел {1, 2, 3, 4, 5}, в кото-
рых никакое число i не стоит на i-м месте?
2.26. В группе пять студентов не занимаются ни в одной
спортивной секции, 10 студентов занимаются ровно в одной из
спортивных секций, шесть студентов ходят в две секции и один
студент занимается в трёх секциях. Сколько всего студентов
в группе?
2.27. Всего в группе 25 студентов. Из них в бассейн ходят десять
человек, в гимнастический зал — восемь человек, в волейбольную
секцию — шесть человек. При этом четыре человека ходят одновременно в бассейн и на гимнастику, три человека — в бассейн и на
волейбол и два человека — на гимнастику и на волейбол. Один человек ходит во все три секции. Сколько студентов группы не занимаются в спортивных секциях?
2.28. Сколько натуральных чисел, не превосходящих 100, не делятся ни на 2, ни на 3?
2.29. Проверить данные, приведённые в табл. 2.1.
1
=
= 2
)
.
= 0
.
.
.
2.30. Доказать формулу
2.31. Доказать формулу
2.32. Доказать формулу
2.33. Доказать формулу
.34. В ящике пять апельсинов и четыре яблока. Наудачу выби-
2
(
=
раются три фрукта. Какова вероятность, что все три фрукта — апель-
сины?
106
2.35. Фокусник предлагает троим зрителям задумать любое
число от 1 до 10. Считая, что выбор каждым из зрителей любого
числа из заданных равновозможен, найти вероятность того, что у
кого-то из них задуманные числа совпадут.
2.36. На карточках написаны числа 201, 202, …, 220. Наудачу
извлекают два из них. Определить вероятность, что это будут карточки с числами 207 и 213.
2.37. Устройство состоит из пяти элементов, два из которых
изношены. При включении устройства случайным образом включаются два элемента. Определить вероятность, что включенными
окажутся неизношенные элементы.
2.38. Пусть в урне имеется N шаров, из них М белых и N – M
чёрных. Из урны извлекается n шаров. Найти вероятность того, что
среди них окажется ровно m белых шаров.
2.39. В урне находятся 15 белых, пять красных и 10 чёрных шаров. Наугад извлекается один шар, найти вероятность того, что он
будет:
а) белым;
б) красным;
в) чёрным.
2.40. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние
цифры, но помнит, что одна из них — ноль, а другая — нечётная.
Найти вероятность того, что он наберёт правильный номер.
2.41. На семиместную скамейку случайным образом рассаживаются семь человек. Какова вероятность того, что два друга окажутся
рядом?
2.42. Студент знает ответы на 25 экзаменационных вопросов
из 60. Какова вероятность сдать экзамен, если для этого необходимо
ответить не менее чем на два из трёх вопросов?
2.43. Четыре шарика разбрасывают по четырём лункам. Шарик
попадает в ту или иную лунку с одинаковой вероятностью, независимо друг от друга. Определить вероятность, что в каждой лунке
окажется по одному шарику.
107
2.44. Какова вероятность, что взятое наудачу четырёхзначное
число кратно 5?
.45. Наугад взяты два положительных числа, каждое из кото-
2
рых не больше 3. Какова вероятность того, что их сумма не превзойдет 3, а произведение будет не больше 14/9?
2.46. Доказать неравенства:
/
1)
< ! < (
2) (2)! < [( + 1)]
)
)
)
< !;
< (
· 3
3) (1 +
4) (
5) (!)
6) 1 · 2
) (
7
< 3;
()
> (
)
· … · (
)
)
при n > 2;
;
, n > 1;
.
()/
)
;
47. Показать, что при справедливы следующие асимп-
2.
тотические равенства:
1)
~
(
)()…()
2)
(
)()…()
2.48. Доказать, что
;
!
~
;
~
.
!
Раздел 3
k
k
РЕКУРРЕНТНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
данном разделе мы рассмотрим последовательности, задавае-
В
мые линейными рекуррентными соотношениями. Первые
такой последовательности считаются известными, а каждый последующий член находится по
членам, ему предшествующим, с по-
мощью заданного линейного соотношения. Читатель, знакомый
с методами решения линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами, может отметить полную их аналогию с подходом, применяемым при рассмотрении чисто дискретных линейных рекуррентных соотношений.
Определение 3.1. Числовая последовательность x
1
называется рекуррентной последовательностью порядка k,
где k — фиксированное целое число, если ее члены удовлетворяют
рекуррентному соотношению (уравнению)
членов
, x2, …, xn, …
x
n+k
+ a1x
n+k-1
+ a2x
+ … + akxn = f(n), (3.1)
n+k-2
где ai — коэффициенты рекуррентного соотношения, f(n) — некото-
рая функция натурального аргумента.
Рекуррентное соотношение (3.1) фактически представляет собой
уравнение относительно неизвестной последовательности x
, кото-
n
рую необходимо найти.
Определение 3.2. Если в (3.1) f(n) тождественно равна 0, то по-
следовательность x
, x2, …, x
1
, … называется однородной рекуррент-
n
ной последовательностью. В противном случае она называется неоднородной рекуррентной последовательностью.
Пример 3.1. Арифметическая прогрессия удовлетворяет рекур-
рентному соотношению
x
= xn + d.
n+1
Это рекуррентная последовательность порядка 1.
109
Пример 3.2. Геометрическая прогрессия удовлетворяет рекур-
рентному соотношению
x
= qxn.
n+1
Это также рекуррентная последовательность порядка 1.
Пример 3.3. Последовательность Фибоначчи удовлетворяет ре-
куррентному соотношению
x
n+1
= xn + x
n-1
.
Это рекуррентная последовательность порядка 2.
Фибоначчи — итальянский средневековый математик,
предложивший в своё время задачу, в которой нужно определить число пар зрелых кроликов, образовавшихся от одной
пары в течение года, если известно, что каждая зрелая пара кроликов ежемесячно рождает новую пару, причём новорождённые
достигают полной зрелости в течение месяца.
Поэтому для последовательности Фибоначчи традиционно полагают
x1 = x2 = 1,
а составляющие последовательность числа называют числами
Фибоначчи.
Однородные
рекуррентные последовательности
Рассмотрим однородное рекуррентное соотношение
x
+ a1x
n+k
Утверждение 3.1. Для совпадения двух последовательностей
} и {yn}, являющихся решением рекуррентного уравнения (3.2),
{x
n
необходимо и достаточно, чтобы совпадали первые k членов этих
последовательностей.
Необходимость очевидна, поскольку если последовательности
совпадают, то совпадают и первые k их членов.
Достаточность доказывается методом математической индукции. Пусть x
110
= yi при i = 1, 2, …, k. Предположим, что все члены {xn}
i
n+k-1
+ a2x
+ … + akxn = 0. (3.2)
n+k-2