Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторные методы. Учебник.pdf
Отсюда -й член последовательности Фибоначчи равен
+
(1)
=
=
Заметим, что второй член в квадратных скобках стремится
к нулю с ростом . Поэтому для нахождения -го члена последова-
тельности достаточно найти вклад, даваемый первым членом,
и округлить результат до ближайшего целого числа.
Несмотря на простоту исходного рекуррентного соотношения,
формула общего члена оказалась не слишком простой. Во времена Фибоначчи в математике ещё не было средств для её нахождения. Она была найдена значительно позже. Сам же Леонардо из
Пизы наслаждался последовательным вычислением числа пар
кроликов с помощью своего рекуррентного соотношения. К его
восторгу следует отнестись с уважением, ведь это была первая
в истории математики рекуррентная последовательность после
известных с античных времён арифметической и геометрической
прогрессий. Последовательность Фибоначчи обладает многими
интересными свойствами, которые интенсивно изучались математиками последующих веков.
.
Производящая функция
частичных сумм
Пусть , , … , , … — это последовательность, (
=
довательность частичных сумм
с производящей функцией () =
— её производящая функция. Рассмотрим после-
, , …, , …, где
∞
, и найдём связь между
=
производящими функциями () и (). Для последовательности {
} имеет место очевидное рекуррентное соотношение:
= +
. Домножив обе его части на
и просуммировав
по от 0 до ∞, получаем
∞
() = () + ()
=
∞
∞
+
.
)
=
;
141
,
∑ ∑ ∑
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
−−
∞
=
∞
=
=+−=+−=+−==
0 0 0 0
122
00
2
)1()1())1(()(
i i i i
ii
i
iii
i
i
ixxxiixixxiixiiixixA
3
2
23
2
2
00
2
)1()1()1(
2
1
1
1
1
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
xxxxx
i
i
i
i
−
+
=
−
+
−
=
′
−
+
″
−
=
′
+
″
=
∑∑
∞
=
∞
=
Отсюда находим связь между производящими функциями:
() =
()
.
С помощью полученного соотношения найдём формулу для
суммы квадратов первых натуральных чисел. Хорошо известно,
что
1+ 2
+ +
()()
=
.
Доказательство этой формулы является классическим примером
применения метода математической индукции. Однако сама формула при этом должна быть каким-то образом угадана. Метод про-
изводящих функций позволяет легко получить эту формулу и не требует никаких угадываний.
Пусть () — производящая функция последовательности квад-
ратов натуральных чисел:
.
Теперь, используя (5) и (2), находим производящую функцию
суммы квадратов
)
(
=
=
)
(
=
1
+
+
+
=
(1 )
= (
=
=
=
+
(
+ )
142
+
)
.
+
=
=
=
Это даёт искомую формулу
=
(
1)( + 1)+ ( + 1)( + 2
=
+
6
Производящая функция свёртки
=
(
+ 1
(
2
)
(
+ 2
1
)
)
! 3!
!
=
)
! 3!
!
+
(
)
( + 1)(2 + 1
=
6
)
.
Пусть заданы две последовательности , , , … ,
и
, , , … , , … Последовательность , (+
(
+ +
), …,
Перемножая производящие функции () =
+ +
+ и () = + + + + + , полу-
, … называется их свёрткой.
+ +
, …
),
+
чаем
() ()=
+
+ +
(
+
(
)
+(
+ +
)
+ ,
)
+
т. е. производящая функция свёртки последовательностей является
произведением их производящих функций.
Воспользовавшись полученным соотношением, решим задачу
Эйлера о разбиении выпуклого многоугольника на треугольники
диагоналями, не пересекающимися внутри многоугольника. Такое
разбиение называется триангуляцией многоугольника. Сколькими
способами возможно триангулировать выпуклый многоугольник?
Обозначив число триангуляций ( + 2)-угольника через
имеем:
= 1, = 2, = 5,
= 14, … . На рис. 4.1 представлены
все пять возможных триангуляций пятиугольника:
,
Рис. 4.1
143
∑∑
−
=
−
−
+
=
+−−
==
1
0
1
1
2
12
n
i
in
i
n
i
inin
CCCC
C
Найдём рекуррентное соотношение для
. Пусть при некоторой
триангуляции в один треугольник с вершинами 1 и ( + 2) попадает
вершина . Найдем число таких триангуляций. Если = 2 или
= + 1, то число триангуляций равно
. Для 3 число
триангуляций равно произведению числа триангуляций -угольника
на число триангуляций ( + 3)-угольника, т. е. равно
Таким образом, полагая
= 1, получаем для
рекуррентное со-
отношение:
.
В правой части стоит ( 1)-й член свёртки последовательности
с самой собою. Домножив обе части на
и просуммировав
по от 1 до ∞, получим
=
.
Это даёт для производящей функции () = + + +
соотношение
() = ();
() () + 1 = 0.
Решением квадратного уравнения, удовлетворяющим условию
(0) = 1, является
() =
.
Нашей дальнейшей целью является разложение этого выражения в ряд. Имеем
1 4
= 1 2
= 1 2
∞
1 3 … (2 3) 4
∞
1 3 … (2 3) 2
!
2
!
=
=
.
144
n
nn
C
n
C
2
11+
=
= 1 2
= 1 2
= 1 2
∞
= 1 2
∞
2
1 3 … (2 3) 2
(
(
)
!
1
∞
!( 1
1
1
= 1 2
)
!
1
2
1 3 … (2 3) 2
2
1 3 … (2 3) 2 4 … (2 2
(
2 2
(
)!(
1
= 1 2
)!(
)!(
)
!
1
1
.
(
1
(
)
!
)
!
)
1
∞
!
=
)
!
=
)
=
2
=
Следовательно,
()=
Отсюда получаем
∞
1
=
∞
1
+ 1
.
.
Числа
возникают во многих задачах дискретной математики
и имеют специальное название. Их называют числами Каталана по
имени бельгийского математика XIX века.
В качестве другого примера появления чисел Каталана рассмот-
рим множество векторов длины 2, компонентами которых являются +1 и 1, причём число единиц со знаком плюс равно числу
единиц со знаком минус. Таких (±1)-векторов, очевидно,
. Поставим теперь задачу найти среди них число векторов, у которых
сумма любого числа первых компонент неотрицательна. Будем обо-
значать множество таких векторов через
При = 1 имеем единственный такой вектор:
При = 2 таких векторов два:
= {(+1, 1)}.
, а их число || =
.
= {(+1, +1, 1, 1), (+1, 1, +1, 1)}.
145
При = 3 подобных векторов уже пять:
= {(+1, +1, +1, 1,1, 1), (+1, +1, 1, +1, 1, 1),
(
+1, +1,1, 1, +1, 1
),(
+1, 1,+1, +1, 1, 1
)
,
(+1, 1, +1,1, +1, 1)}.
Имеем = 1, = 2,
довательности Каталана
справедливо
=
.
Обозначим через
= 5. Это есть начальные члены после-
, , , … Покажем, что для любого
подмножество тех векторов из
, у ко-
торых для любого , 1 1, сумма первых 2 координат
′
строго больше нуля, |
Число векторов из
′
| =
.
, у которых для некоторого , 1 1,
сумма первых 2 координат вектора первый раз обращается в нуль,
очевидно, равно
Первая координата любого вектора из
′
×
=
. Поэтому, положив
′
+
′
=
′
= 1, имеем
.
′
всегда равна +1,
а последняя — (1). Если эти координаты отбросить, то, как легко
видеть, получится вектор из
вектору из
в качестве первой координаты +1, а в качестве
последней — (1), получим вектор из
. Обратно, приписав к любому
. Отсюда
′
=
Это позволяет переписать формулу в виде
=
=
.
Но это рекуррентное соотношение совпадает с рекуррентным со-
отношением, определяющим числа Каталана. Отсюда следует, что
=
.
=
Решение последней задачи показывает широту приложений метода производящих функций, но его вряд ли можно назвать элементарным. К счастью, для этой задачи существует и неожиданно простое геометрическое решение.
.
146
Метод отражения
Будем рассматривать (2)-мерный (±1)-вектор как одномерное
блуждание точки вдоль оси . Точка, в начальный момент находящаяся в нуле, в дискретные моменты времени = 1, 2, …, 2 пере-
мещается на единицу в положительном или отрицательном направлении, в зависимости от знака соответствующей компоненты
(±1)-вектора. Требуется найти число таких блужданий, при кото-
рых в момент времени = 2 точка возвратится в нуль, ни разу не
побывав при этом в отрицательной области. Сделав «развёртку» та-
кого одномерного движения с помощью оси времени , получим его
траекторию. На рис. 4.2 представлена такая траектория, соответству-
ющая вектору (+1, 1, +1, +1, 1, +1, 1, 1).
Рис. 4.2
Таким образом, нужно найти число путей, ведущих из точки (0,0)
в точку (2, 0) и не заходящих в отрицательную область. Так как
полное число путей из точки (0,0) в точку (2, 0) равно
решения задачи достаточно из
вычесть число путей, заходящих
, то для
в отрицательную область, которое определяется совсем просто.
В самом деле, пусть имеется путь из (0,0) в (2, 0), заходящий
в отрицательную область. Отразив симметрично относительно пря-
мой = 1 его часть после первого попадания на эту прямую, получим путь из точки (0,0) в точку (2, 2). На рис. 4.3 показано
отображение заходящего в отрицательную область пути из (0,0)
в (12,0) в путь из (0,0) в (12, 2). Сплошной линией показан исход-
ный путь, а прерывистой — его отражение.
147
Рис. 4.3
К
ак легко понять из рисунка, в общем случае данным отраже-
нием устанавливается взаимно однозначное соответствие между
множеством всех путей из (0,0) в (2, 2) и множеством путей из
(0,0) в (2, 0), заходящих в отрицательную область. В самом деле,
любой путь из (0,0) в (2, 2) хотя бы раз пересекает прямую
= 1, поэтому, отразив его часть после первого пересечения этой
прямой симметрично относительно неё, получим путь из (0,0)
в (2, 0), заходящий в отрицательную область. Так как имеется
путей из (0,0) в (2, 2), число не заходящих в отрицательную
область путей из (0,0) в (2, 0) равно
=
= С
.
Вопросы для самопроверки по разделу 4
4.1. Указать производящую функцию для числа способов выбра-
сывания очков при одновременном бросании игральных костей.
а)
; б)( + + +
()
)
; в) ( + + +
)
.
4.2. Указать производящую функцию последовательности
, = 0, 1, 2, …
а)
()
; б)
()
; в)
()
.
4.3. Сколькими способами можно расставить в очередь 2 чело-
век, мужчин и женщин, так, чтобы в любом начальном отрезке
очереди число мужчин не превышало число женщин?
а) 2
; б)
; в)
.
Задачи к разделу 4
4.1. Найти производящую функцию f(t) для последователь-
ности {a
}, если:
n
1) a
= 1 при всех n ≥ 0;
n
2
) a
= 1 при 0 ≤ n ≤ N и an = 0 при n > N;
n
3) a
= αn;
n
4) a
= αn/n!;
n
5) a
= (– 1)n;
n
6) a
= n;
n
7) a
= n(n – 1);
n
8) a
9) a
10) a
11) a
=
, m — натуральное число;
n
= n2;
n
= sin(αn);
n
= cos(αn).
n
4.2. Найти экспоненциальные производящие функции E(t) для
последовательности {a
1
) a
= 1;
n
2
) a
= αn;
n
3) a
= n;
n
4) a
= n(n – 1);
n
5) a
= n2.
n
}, если:
n
149
4.3. Найти общий член an последовательности, для которой
функция A(t) является производящей:
1) ()= (+ )
2) ()= (1 )
)
3) (
=
(1 );
4) ()= (1 )
5) ()= (+
6) ()=
;
;
;
+ =
)
(1 )(1 + 2)
;
;
7) ()= ln(1 + );
8) ()= arctg();
9) ()= arcsin();
()
;
;
)
.
10) ()=
)
1) (
1
12) (
4. Доказать следующие тождества (суммирование ведётся по
4.
)
=
= (
всем s, для которых выражения имеют смысл):
1)
2)
3)
4) 2
5) 2
6)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
4
=
= (1)
=
=
=
= + 1.
;
;
;
+ (1)
;
;