Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторные методы. Учебник.pdf
Таблица 1.1
ecccsssss
ceccsssss
ccecsssss
cccesssss
ssssccecc
ssssceccc
ssssecccc
sssscccee
ssssccce
32
32144
32
21433
23
14322
32
43211
1432
233
2143
322
3214
32
4321
32
4321
32
⋅
Группа
обладает интересной структурой подгрупп.
Во-первых, это единичная подгруппа, состоящая из единствен-
ного элемента . Далее, имеется пять циклических подгрупп
второго порядка
= {,
}, а также три подгруппы четвёртого порядка,
= {, },
одна из которых циклическая
гие —
= {, , , }, = {, , ,
= {, },
= {, , ,
= {, },
}. Структура их взаимных
= {,
}, а две дру-
},
вложений описывается следующей диаграммой Хассе (рис. 1.11):
Рис. 1.11
31
Заметим, что в группе восьмого порядка
имеются под-
группы первого, второго и четвёртого порядков, но нет подгрупп
третьего, пятого, шестого или седьмого порядков. Это обстоятельство не является случайным. Порядок подгруппы, как
мы увидим в дальнейшем, всегда является делителем порядка
группы.
Теория групп первоначально возникла как теория групп
подстановок при изучении проблемы разрешимости алгебраических
уравнений в радикалах. За прошедшее с тех пор время понятие
группы постепенно выкристаллизовалось в одно из самых
фундаментальных сначала в алгебре, а затем и во всей математике.
Тесно связанное с симметрией, оно возникает в самых различных
её разделах. Чтобы обладать такой общностью, понятие группы
определяется аксиоматически. Поэтому, познакомившись с группами на неформальном уровне, перейдём к точным определениям.
Говорят, что на множестве определена некоторая бинарная ал-
гебраическая операция , если определено отображение
,
т. е. каждой упорядоченной паре (, ) элементов из поставлен
в соответствие некоторый однозначно определённый элемент ,
что записывается как = . Множество вместе с заданной
на нём бинарной операцией , удовлетворяющей определённым
условиям, и образует группу. В рассматриваемых ранее группах
преобразований элементами множества были биективные
отображения некоторого множества на себя, а операцией — их
композиция.
Определение. Множество с заданной на нём бинарной опера-
цией называется группой =< ;>, если бинарная операция
удовлетворяет следующим трём свойствам:
1) ассоциативна: ( ) = ( ) для любых , , ;
2) существует элемент , называемый единичным ил
н
ейтральным элементом группы, такой, что = = для
и
любого ;
3
я любого существует элемент
) дл
ратным к , такой, что
= = .
, называемый об-
Определив группу аксиоматически, можно, основываясь только
на этом определении, получить ряд общих результатов. Докажем
32
прежде всего единственность нейтрального элемента . Пусть
′
наряду с существует нейтральный элемент
. Тогда имеем
′= ′= ,
где левое равенство написано на основании того, что является
нейтральным элементом, а правое — что нейтральным элементом
является
′
= .
. Используя транзитивность равенства, заключаем, что
Далее, уравнение = всегда имеет в группе единственное
решение. В самом деле, умножая слева обе части этого равенства
на
и пользуясь ассоциативным законом, получаем:
( ) = ( ) = = .
Аналогично решением уравнения = является
=
.
Отсюда следует, в частности, единственность обратных элемен-
тов, а также свойство таблицы Кэли быть латинским квадратом.
Заметим также, что, как и в группе подстановок, в любой группе
( )=
.
Группами являются также ряд числовых множеств со сложением
или умножением в качестве групповой операции. Если групповая операция коммутативна, т. е. для любых двух элементов
группы выполнено = , то группа называется ком-
мутативной, или абелевой, в честь известного математика Нильса
Абеля.
Множество \{0} отличных от нуля действительных чисел
с обычным арифметическим умножением в качестве групповой опе-
рации является абелевой группой < \{0};×>. Нейтральным (еди-
ничным) элементом этой группы является число 1. Обратным к эле-
менту \{0} является
Подгруппой группы < \{0};×> является группа <
= 1
.
;×> всех
положительных действительных чисел. Другой подгруппой группы
< \{0};×> является группа < \{0};×> отличных от нуля рацио-
нальных чисел, подгруппой которой, в свою очередь, является
группа <
;×> положительных рациональных чисел. Вложимость
этих групп друг в друга представлена диаграммой Хассе на рис. 1.12.
33
ис. 1.12
Р
одчеркнём, что для того чтобы некоторое множество
П
образовывало подгруппу группы =< ;>, необходимо и доста-
точно, чтобы выполнялись следующие условия:
1)
;
2) если , , то ;
3) если , то
.
В дальнейшем, если групповая операция фиксирована, группа
и её подгруппы будут отождествляться с множествами их
элементов. В этом случае будем говорить просто о группе и её
подгруппе .
Всё множество действительных чисел будет также коммута-
тивной группой < ; +>, если в качестве групповой операции рас-
сматривать арифметическую операцию сложения. Нейтральным
элементом здесь является число 0, а обратным к числу — противоположное ему число ().
одгруппами группы < ; +> будет группа < ; +> всех
П
рациональных чисел, а также группа < ; +> всех целых чисел.
Группа < ; +>, в свою очередь, обладает счётным множеством
подгрупп. А именно, для каждого натурального множество
= , 2, , 0, , 2, … в
цией сложения будет подгруппой <
сех целых чисел, кратных , с опера-
; +> э
той группы.
Вложимость этих числовых подгрупп представлена диаграммой
Хассе на рис. 1.13.
34
Рис. 1.13
М
ножество векторов (на плоскости или в пространстве) с опера-
цией сложения также образует коммутативную группу, нейтральным элементом в которой является нуль-вектор. Абстрактное век-
торное пространство так и определяется в современной алгебре.
Это абелева группа, дополненная операцией умножения элементов
группы (векторов) на действительные числа.
Далее групповую операцию удобно будет записывать как
обычное умножение
П
усть , , … — произвольные элементы некоторой группы .
.
Всевозможные конечные произведения этих элементов и обратных
к ним, т. е. произведения вида
, образуют под-
группу группы . Говорят, что эта подгруппа порождена элементами , , …, которые называют её образующими. Так группа
диэдра
порождается, например, вращением на угол 2
и лю-
бым из отражений.
Г
руппа, порождённая одним элементом, т. е. состоящая из поло-
жительных и отрицательных степеней одного элемента, называется
циклической. Циклические группы — это простейшие по своей ал-
гебраической структуре, но весьма важные группы. Рассмотрим их
подробнее.
Циклическая группа является коммутативной группой, так как
= =
. Далее, для циклической группы существуют две
35
возможности. Либо все степени , , ,
лическая группа … ,
, , , ,
примера можно привести аддитивную группу<
, … различны, тогда цик-
, … бесконечна. В качестве
; +>,
бесконеч-
ную для любого .
ибо
= , и циклическая группа, порождённая элементом ,
, , …,
, здесь
. В этом случае говорят, что порядок элемента
Л
имеет порядок и состоит из элементов ,
=
равен . Подобный случай возникал при изучении группы подстановок. Циклическую группу порядка обозначают С
усть С
П
ментом . Возьмём в С
— циклическая группа порядка с образующим эле-
элемент , где взаимно просто с ,
и рассмотрим последовательность его степеней (
)
, (
=
)
= = . Тогда должно быть кратно , а так как взаимно
(
= , … . Пусть — первая степень, для которой
)
.
= , (
)
=
просто с , то это возможно лишь при = . Поэтому циклическая
группа, порождаемая элементом
, совпадёт с исходной циклической
группой. Это имеет место для тех и только для тех , которые взаимно
просты с . Отсюда вытекает, что С
(m) — функция Эйлера, значение которой равно количеству нату-
имеет (m) образующих, где
ральных чисел, меньших либо равных m и взаимно простых с m.
Подгруппы и факторгруппы
Пусть — произвольная группа, — её подгруппа. На множестве элементов группы рассмотрим отношение , задаваемое
следующим образом: (, )
рефлексивно, так как
)
и (
(
, ) следует, что (, ) , т. е. отношение симметрично.
Наконец, если
, но ()= (
и , то = ()() ,
= . Далее, если , то
т. е. отношение транзитивно. Поэтому отношение является отноше-
нием эквивалентности. В дальнейшем его будем записывать как ~.
Как и каждое отношение эквивалентности, это отношение разби-
вает множество элементов группы на классы эквивалентности.
Рассмотрим эти классы внимательнее. Если ~, то
где , и = . Наоборот, из = следует, что ~,
т. е. и принадлежат одному и тому же классу эквивалентности.
36
. Это отношение
)
= . Поэтому из
= ,
Поэтому класс элементов, эквивалентных элементу , имеет вид ,
т. е. состоит из произведений элемента на все элементы подгруппы . Множество
= {|} н
азывается левым смеж-
ным классом по подгруппе , порождаемым элементом .
При этом , и смежный класс
том
М
.
ножество элементов группы распадается, таким образом, на
орождается любым элемен-
п
непересекающиеся левые смежные классы по подгруппе . Это разложение называется левосторонним разложением группы по под-
группе . При этом одним из смежных классов является сама под-
группа .
аметим, что рассмотренные ранее классы вычетов (0),
З
(1), … , ( 1) по модулю являются смежными классами
группы =< ; +> по подгруппе =<
Левостороннее разложение группы
= {, , , } состоит из двух смежных классов: {, , ,
, , , }, а по подгруппе
и {
классов: {,
}, {, }, {, } и {,
= {,
; +>.
по подгруппе
} — из четырёх смежных
}.
Каждый смежный класс равномощен подгруппе . Можно ска-
зать, что любая подгруппа «укладывается» в группе целое число раз.
Это приводит к следующему важному результату.
Теорема Лагранжа. В конечной группе порядок любой под-
группы является делителем порядка группы.
Мощность множества смежных классов в разложении группы
по подгруппе , которая в конечном случае, согласно теореме
Лагранжа, равна || ||, называется индексом подгруппы
в группе .
Делителем порядка конечной группы, согласно теореме Лагранжа, будет и порядок любого её элемента. Если порядок группы
равен , а порядок некоторого её элемента равен , то
и
= (
)
= . Отметим этот результат.
=
Из теоремы Лагранжа следует, что любой элемент конечной
группы, возведённый в степень, равную порядку группы, даёт единичный элемент группы.
Также из неё следует, что каждая подгруппа простого порядка
является циклической и порождается любым своим элементом, от-
личным от .
}
37
Аналогично левым смежным классам и левостороннему разло-
жению группы по подгруппе можно было бы рассматривать
правые смежные классы, т. е. множества вида
,
и разбиение
группы на множество правых смежных классов, которое называется правосторонним разложением группы по подгруппе . Это
также приводит к теореме Лагранжа. В общем случае левый и правый смежные классы по подгруппе, порождаемые одним и тем же
элементом, могут не совпадать. Весьма важен, однако, случай, когда
=
для любого имеет место
, т. е.
левый и правый смеж-
ные классы, порождаемые элементом , совпадают.
пределение. Если для любого элемента порождаемый
О
им левый смежный класс по подгруппе совпадает с правым
смежным классом = , то подгруппа называется нормальной подгруппой группы , или нормальным делителем этой
группы.
Любая подгруппа индекса 2 является, очевидно, нормальным делителем, а в коммутативной группе вообще любая подгруппа является нормальным делителем. В других случаях вопрос о нормальности данной подгруппы требует специального исследования. Если об-
ратиться к рассмотренной ранее группе диэдра
, и
являются нормальными делителями как подгруппы ин-
, то её подгруппы
декса 2. А из пяти подгрупп индекса 4 нормальной является лишь
подгруппа
= {,
В самом деле, мы имеем
и {,
}= {, }= {,
Аналогично
= {,
}
П
онятие нормального делителя является чрезвычайно важным
= {, }, а также с{,
}.
{, } = {, } = {,
}.
{, } = {, } = {,
} = {с, с
} и
} и {,
{
,
}с = {с, с
}
=
}.
в алгебре, так как множество смежных классов по нормальной подгруппе само образует группу, если в качестве произведения двух
смежных классов
и
рассмотреть множество (
)(
) в
севозможных произведений элементов из одного смежного класса на элементы другого. Это множество в случае нормального делителя является смежным классом:
}
38
()()=()()
= ()= ()= ().
= ()= =
Можно также сказать, что произведение двух классов смеж-
eabcc
aecbb
bceaa
cbaee
cbae⋅
ности — это тот смежный класс, в который попадает произведение
двух произвольных элементов этих классов. Единичным элементом
в определённой таким образом группе классов смежности
по нормальному делителю является сама подгруппа . Под-
группа, образованная таким образом из смежных классов, называ-
ется факторгруппой группы по нормальному делителю и обо-
значается
В качестве примера рассмотрим факторгруппу
чив её элементы как
{
, } = , получаем следующую таблицу умножения в этой группе
.
= {, } = , {, } = , {, } = ,
. Обозна-
(табл. 1.2).
Таблица 1.2
Как видно из табл. 1.2, группа
оказалась коммутативной
группой, в которой каждый элемент является обратным к самому
себе.
Взглянем теперь на способ определения понятия факторгруппы
с несколько иных, более общих позиций. На множестве с операцией
группового умножения было выбрано отношение эквивалентности,
которое оказалось согласованным с операцией умножения в том
смысле, что из ~
менно в результате такой согласованности и оказалось, что
И
и ~ следует ~′
′
.
класс эквивалентности, в который попадает произведение, зависит
только от классов, из которых выбираются сомножители, но не от
конкретных представителей этих классов. Это и позволило перенести на фактормножество групповую операцию, образовав факторгруппу. Отношение эквивалентности, согласованное подобным образом с алгебраическими операциями на множестве, называют кон-
груэнцией, что в переводе с латинского и означает согласие, соответствие.
39
Изоморфизм
Изоморфизм является чрезвычайно важным понятием для всей
современной математики. Возникшее первоначально в алгебре,
оно постепенно проникло и в другие её разделы. Название образовано из греческих слов «изо» — равный, одинаковый, подобный
и «морфе» — вид, форма, образ. Оно описывает схожесть двух алгебраических систем с заданными в них операциями или отношениями. Системы называются изоморфными, если между двумя множествами, на которых заданы операции или отношения, можно установить такое взаимно однозначное соответствие, которое сохраняет
эти операции и отношения. Рассмотрим это понятие детальнее.
Пусть на равномощных множествах и заданы соответ-
и
ственно бинарные отношения
мощность. Тогда системы < ,
морфными, если существует биекция : , переводящая одно
отношение в другое, т. е. ((
морфизм между системами < ,
< ,
>< ,
>. Отношение изоморфизма является, разуме-
ется, отношением эквивалентности.
Пусть, например, = {
= {
, , }, = {(, ), (,
Тогда < ;
>< ;
>, изоморфизм между двумя систе-
мами устанавливается биекцией :
Схематически две изоморфные системы отношений вместе
с устанавливающей изоморфизм биекцией показаны на рис. 1.14, где
отношения в каждой из систем указаны стрелками. Заметим, что би-
екция :
также задаёт изоморфизм.
, также имеющие одинаковую
> и < ,
> называются изо-
), ()) (, )
> и < ,
, , }, = {(, ), (,
)}.
> обозначается как
.
. Изо-
)},
40
Рис. 1.14