Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторные методы. Учебник.pdf
Ребро {, } проводится в том и только в том случае, если точ-
g
x
|
|
G
X
ка является стационарной для элемента .
Подсчитаем число рёбер графа двумя способами: с верхней доли
и с нижней доли. Подсчёт с верхней доли даёт
ней —
|
|
.
, а с ниж-
Если последнюю сумму разбить по орбитам, то вклад каждой орбиты по доказанному ранее будет равен
||
. Поэтому вся сумма бу-
дет равна ||, где — число орбит. Имеем
|
|
=
.
Откуда
=
||
.
Рис. 6.2
Вернёмся теперь к задаче о раскраске граней куба. С этой целью
рассмотрим группу самосовмещающих вращений куба. Так как куб
можно поставить на стол любой из шести своих граней и для каждой
такой постановки имеется ещё четыре различных самосовмещённых
положения, то эта группа содержит 6 × 4 = 24 элемента, а именно:
1. Тождественное вращение;
2. Три нетождественных вращения вокруг каждой из трёх осей
четвёртого порядка, соединяющих середины противоположных граней, — итого девять вращений;
171
3. Два нетождественных вращения вокруг каждой из четырёх
осей третьего порядка, соединяющих противоположные вершины, — итого восемь вращений;
4. Одно нетождественное вращение вокруг каждой из шести осей
второго порядка, соединяющих середины противоположных ребер, — итого шесть вращений.
Выпишем цикловую структуру каждого из этих вращений как
перестановки на множестве шести граней.
1. Тождественное вращение оставляет каждую из шести граней
на месте, поэтому ей соответствует моном
(шесть циклов дли-
ны 1).
2. Эти вращения по цикловой структуре разбиваются на дв
к
ласса: вращения на 180° и вращения на ±
ловую структуру
рые —
(два цикла длины 1 и один цикл длины 4).
(два цикла длины 1 и два цикла длины 2), вто-
3. Этим вращениям соответствуют мономы
90°. Первые имеют цик-
(два цикла
длины 3).
4. Это вращение запишется как
(три цикла длины 2).
Просуммировав мономы, выражающие циклические структуры
всех перестановок, и поделив сумму на число элементов в группе,
получим цикловой индекс группы
(
, , ,
)
(
=
+ 3
+ 6
+ 8
+ 6
)
.
а
Рецепт для нахождения числа раскрасок остаётся прежним. Достаточно в цикловой индекс вместо каждой из переменных подставить число используемых красок — в данном случае 3:
=
(
3,3, . . .,3)=
(
+ 3 3 3+ 6 3 3 + 8 3+ 6 3
3
)
= 57.
В самом деле, как и прежде, для данной перестановки гра-
ней куба раскраска будет стационарной в том и только в том
случае, если грани, принадлежащие одному циклу, выкрашены
в одинаковый цвет. Поэтому, если циклическая структура переста-
новки есть
= 3
× 3
× 3
и используются три цвета, то она имеет
× 3
стационарных раскрасок, и рецепт явля-
ется прямым следствием леммы Бернсайда.
Для того чтобы найти число раскрасок, использующих раз белый, раз синий и раз красный цвет, нужно в цикловой индекс
172
вместо каждой переменной , = 1, 2, .. . , 6 подставить выражение
+ +
(
+ +
найти коэффициент при
и, раскрыв скобки в выражении
),(
+ +
),(
+ +
. Этот рецепт и составляет основное
),(
+ +
)
,
содержание теории Пойа. Обоснуем его.
Будем рассматривать действие группы вращений лишь на рас-
красках типа
и подсчитаем число орбит
на этом мно-
жестве. Лемма Бернсайда даёт
,
, не изменяющихся
где
— множество раскрасок типа
=
||
при вращении . Теперь для обоснования рецепта Пойа остаётся
лишь заметить, что для подсчёта числа стационарных раскра-
сок у вращения с циклической структурой
то каждой переменной
подставить выражение (+ +
и, раскрыв скобки, найти коэффициент при мономе
нужно вмес-
. Это является прямым следствием того, что для стационарности раскраски
необходимо и достаточно, чтобы все грани цикла были выкрашены
одним цветом. Каждый цикл длины в стационарной раскраске
даёт одноцветных граней, и выбор переменной при раскрытии
скобки (
+ +
) в процессе перемножения скобок соответ-
ствует выбору цвета при раскраске этих граней.
В качестве примера найдём число раскрасок, использующих
каждый цвет дважды. Коэффициент, получающийся при
по-
сле раскрытия скобок в выражении
равен
(
(
+ +
+ 6
(
+8
!
+ 3
!!!
)
(
+ 3
+ +
)
)
(
+ +
+ +
(
1 2 + 1 2 + 1 2
(
+ +
(
+ 6
+ +
)
)
(
+ 6
!!!
+ +
)
+
)
),
!
= 6,
)
+
)
что и даёт число искомых раскрасок. (Читателю предлагается самостоятельно найти эти раскраски.)
В качестве еще одного примера на применение теории Пойа рас-
смотрим следующую задачу.
173
Сколько различных ожерелий из семи бусинок можно соста-
вить, используя три красных и четыре синих бусинки?
Ожерелья, получающиеся передвижением бусинок по нитке
ожерелья, а также переворотом ожерелья, считаются одинаковыми.
Поэтому с математической точки зрения задача эквивалентна числу
раскрасок вершин правильного семиугольника, использующих три
раза красный цвет и четыре раза синий.
Группа самосовмещений семиугольника состоит из семи поворотов на углы 0°, 360°/7, 2×360°/7, 3×360°/7, 4×360°/7, 5×360°/7,
6×360°/7 и семи переворотов относительно прямых, соединяющих
вершины с серединами противоположных сторон (рис. 6.3):
Рис. 6.3
Поворот на нулевой угол как тождественное преобразование
имеет цикловую структуру
, а действия остальных шести поворо-
тов на множестве вершин семиугольника вследствие простоты
числа 7 являются циклическими, т. е. имеют цикловую структуру
Каждый переворот оставляет одну из вершин на месте, а остальные
шесть разбивает на циклы длины 2, т. е. имеет цикловую струк-
туру
. Поэтому цикловой индекс группы самосовмещений семи-
угольника есть
(, ,
) =
(
+ 6
+ 7
).
Теперь для нахождения числа раскрасок, использующих три раза
красный цвет и четыре раза синий, нужно, согласно рецепту Пойа,
раскрыв выражение
174
(
( + )
+ 6(+ ) + 7( + )(+
)
)
,
.
найти коэффициент при
метить, равен
. Этот коэффициент, как нетрудно за-
(
+ 7
)
= 4.
Таким образом, существует четыре ожерелья заданного типа.
Вот они (рис. 6.4):
Рис. 6.4
Если бы число бусинок не было простым числом, то не все повороты были бы циклическими перестановками, некоторые из них распадались бы на несколько циклов одинаковой длины. Дадим общую
формулу для циклового индекса группы симметрий правильного
-угольника (группы диэдра
из вращений на углы 2
). Эта группа порядка 2 состоит
, = 0,1, … , 1,
и отражений.
Рассмотрим сначала вращения.
одгруппа вращений является циклической группой, порож-
П
даемой вращением на угол 2
вой , имеем = {= , , , …,
. Обозначив это вращение бук-
}. Если порождаемая вра-
щением перестановка распадается на циклов длины , то она
имеет цикловую структуру
цикловой структурой обладает элемент
)
вида (
делящего , имеется
де
г
() — функция Эйлера, значение которой равно количеству
, где (, ) = 1, и только они. Поэтому для каждого ,
() перестановок с цикловой структурой
. Для любого , делящего , такой
, а также все элементы
натуральных чисел, меньших либо равных d и взаимно простых с d.
Обратившись к отражениям, отдельно рассмотрим случай чёт-
ного и нечётного . В случае нечётного все отражений имеют
цикловую структуру
, так как каждая ось симметрии про-
()
ходит через одну из вершин правильного -угольника. В случае же
чётного половина отражений имеет цикловую структуру
()
шины, и половина — с
, когда ось проходит через две противоположные вер-
, когда ось не пересекает вершин.
,
175
Окончательно получаем, что цикловой индекс диэдральной
группы
равен
(, …,
) =
1
()
2
|
+
()
в случае нечётного и равен
(, …,
) =
1
()
2
|
+
()
2
+
2
в случае чётного .
В качестве примера выпишем цикловой индекс группы
. Зна-
чения функции Эйлера для четырёх делителей числа 6 равны
(1) = 1, (2) = 1, (3) = 2, (6) = 2, и цикловой индекс прини-
мает вид
(, … ,
) =
(
+
+ 2
+ 2+ 3
)
+ 3
.
Пойя развивал свою теорию, имея в виду её конкретное применение к перечислению химических изомеров органических молекул
заданной структуры. В качестве простейшего примера рассмотрим
молекулы вида, показанного на рис. 6.5.
Рис. 6.5
Здесь C — атом углерода, чёрточками обозначены валентные
связи, а на месте буквы «Х» находится одно из следующих соединений: CH
(метил),
(этил), H (водород), Cl (хлор). Например,
H
(рис. 6.6):
176
Рис. 6.6
атематической моделью подобной молекулы будем считать
М
тетраэдр, в центре которого находится атом углерода, а в каждой
вершине — одно из перечисленных соединений.
Группа самосовмещений тетраэдра состоит из 12 вращений, цикловая структура действия которых на множестве вершин имеет вид:
1) одно тождественное вращение —
;
2) восемь нетождественных вращений вокруг осей, проходящих
через вершины и центры противолежащей грани, —
;
3) три вращения вокруг осей, проходящих через середины про-
тиволежащих рёбер, —
.
Цикловой индекс группы
(
+ 8+ 3
=
).
Подставив в цикловой индекс вместо каждой переменной значение 4, получим, что полное число различных молекул равно 36.
Заметим, что это число на единицу превышает
= 35, т. е. име-
ются две молекулы, одинаковые по составу, но различающиеся
между собой. Это молекулы, содержащие все четыре используемых
соединения, но имеющие различную ориентацию. Являясь зеркально симметричными, они не могут быть совмещены с помощью
вращения.
Обобщим теперь рассмотренные выше задачи о числе раскрасок
куба, числе ожерелий и числе изомеров, вписав их в единую мате-
матическую модель. Пусть функция : отображает конечное
177
множество (область определения) в конечное множество (область значений). Если || = , || = , то существует
таких
функций. Пусть далее на множестве действует некоторая группа
подстановок . Назовём две функции
существует такая подстановка , что
и
эквивалентными, если
() = (()) для всех
(напомним, что в соответствии с принятым соглашением пе-
реставляемый элемент пишется в скобках слева от подстановки). Задача состоит в подсчёте числа классов эквивалентности.
Если группа состоит лишь из тождественной подстановки, то
число классов эквивалентности совпадает с числом функций и рав-
но
. В другом крайнем случае, когда группа является симмет-
рической группой
равным С
.
, число классов эквивалентности становится
Теория Пойя позволяет с помощью циклового индекса решать
подобного рода задачи для произвольной группы , находя как об-
щее число классов эквивалентности, так и число классов с заданным
числом принимаемых функцией различных значений из множества . В случае раскрасок куба в качестве множества выступало
множество граней куба, в качестве множества — множество используемых цветов, а группой была группа самосовмещающих
вращений куба. В задаче с ожерельем множеством являлось множество вершин правильного -угольника, множеством — множество типов бусинок, а в качестве группы выступала диэдральная
группа
.
В заключение выпишем в явном виде цикловой индекс симмет-
рической группы
(, , … ,
:
) =
!
,,…,
!
!
…
.
В качестве примера приведём цикловой индекс для
(, , ,
) =
(
+ 6
+ 8+ 3
+ 6
).
Вопросы для самопроверки по разделу 6
6.1. Цикловой индекс группы самосовмещающих вращений
куба, действующей на множестве его вершин, равен:
а)
б)
в)
6.2.
(
(
Число различных раскрасок вершин куба в два цвета с уче-
(
+ 6
+ 8
+ 16
+ 9
+ 8
+ 15
+ 7
)
;
)
;
)
.
том самосовмещений равно:
а) 21; б) 22; в) 23.
Число различных раскрасок вершин куба в два цвета, ис-
6.3.
пользующих три раза красный и пять раз синий цвет, с учетом самосовмещений равно:
а) 2; б) 3; в) 4.
Задачи к разделу 6
6.1. Найти цикловой индекс группы G, где G:
1) группа подстановок вершин тетраэдра при его вращении;
2) группа подстановок рёбер тетраэдра при его вращении;
3) группа подстановок граней тетраэдра при его вращении.
6.2.
Найти число различных окрасок вершин тетраэдра в два
цвета. Две окраски считаются различными, если нельзя добиться
совпадения цветов вершин вращениями тетраэдра.
Найти число ожерелий, которые можно составить из бусин
6.3.
двух цветов, если каждое ожерелье содержит семь бусин. Ожерелья
считаются одинаковыми, если одно из другого получаются поворотом (зеркальные повороты не допускаются).
6.4. Найти количество ожерелий из бусин k цветов, если каждое
ожерелье состоит из n бусин (n — простое число).
ЗАДАЧИ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
купе железнодорожного вагона имеются два противополож-
1. В
ных дивана по пять пронумерованных мест на каждом. Из 10 пассажиров этого купе четверо желают сидеть лицом по ходу движения,
двое — спиной, а остальным безразлично, как сидеть. Сколько способов размещения пассажиров с учётом их желаний существует?
2. Сколько существует различных начальных ситуаций при игре
в подкидного дурака, где каждый из четырёх играющих получает
при сдаче по шесть карт, а оставшиеся 12 карт лежат в определённом
порядке?
3. Восемь молодых людей, девушек и юношей, хотят разделиться на две команды по четыре человека для игры в городки.
Сколькими способами они могут это сделать, если:
а) девушек пятеро, а юношей трое, и в каждой команде должен
быть хотя бы один юноша;
б) девушек четверо и юношей четверо, а в каждой команде
должно быть по две девушки и по два юноши?
4. Чему равно число:
а) всех бинарных ( × )-матриц;
б) бинарных ( × )-матриц с единицами и нулями;
в
) бинарных ( × )-матриц, не имеющих одинаковых строк;
г) бинарных ( × )-матриц, не имеющих нулевых строк;
д) бинарных ( × )-матриц без нулевых и одинаковых строк?
5. Сколькими способами можно шаров разместить по урнам
так, чтобы в
ходилось по
+ + + = ,+ + + = ), если:
(
урнах находилось по шаров, в
шаров и т. д., в урнах находилось по
урнах на-
а) шары различимы и урны различимы;
б) шары различимы, а урны неразличимы;
180
шаров