Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторные методы. Учебник.pdf
Аналогичным образом понятие изоморфизма определяется для
множеств с операциями. Пусть :
и : бинарные
операции во множествах и . Тогда < ; >< ; >, если существует биекция : , согласованная с операциями во множествах: ((
, )) = ((), (
)) (образ результата операции
есть результат операции над образами). Множество с операцией
является как бы зеркальным отражением множества с опера-
цией
.
С алгебраической точки зрения, фокусирующей внимание
на свойствах самих отношений и операций, изоморфные системы
неразличимы. Классическим примером изоморфизма алгебраических систем является изоморфизм множества действительных чисел
с операцией сложения < ; +> и множества положительных дей-
ствительных чисел с операцией умножения <
:
() =
, устанавливающей этот изоморфизм, является функция
, так как
=
×
. Обратная биекция
: — это функция ln : ln( × ) = ln + ln
;×>. Биекцией
(рис. 1.15).
Рис. 1.15
Д
анный изоморфизм позволяет сводить умножение к сложе-
нию. Для нахождения произведения двух чисел и достаточно
найти их логарифмы, сложить их, а затем, произведя обратную би-
( )
екцию, вычислить экспоненту от суммы:
=
. На этом
41
основано выполнение умножения с помощью логарифмической линейки, широко использовавшейся в инженерных расчётах до появления компьютеров. Две обычные линейки с равномерными шкалами позволяют производить сложение двух длин, приставляя
к концу одной длины начало другой. Если же линейки размечены
так, что расстояние от начала линейки до отметки числа равно логарифму этого числа, то сумме двух длин будет соответствовать отметка произведения чисел.
Рассмотрим теперь один вопрос, относящийся к изоморфизму
групп в самой общей постановке. До того как дать формальное определение группы как множества с бинарной операцией, обладающей
определёнными свойствами, в качестве примеров групп рассматривались группы подстановок на конечных и бесконечных множествах
с суперпозицией подстановок в качестве групповой операции. Оказывается, что эти примеры и являются самыми общими примерами
абстрактных групп, и любая группа, как было подмечено Кэли, изоморфна некоторой группе подстановок.
Теорема Кэли. Каждая группа изоморфна некоторой группе
подстановок.
Д
ля доказательства этого каждому элементу сопоставим
подстановку на множестве элементов группы . Тогда в силу ас-
социативности произведению элементов будет соответствовать су-
перпозиция двух подстановок (
Т
аким образом, рассматривая группы подстановок, мы не проиг-
) = ()
.
рываем в общности.
Теперь можно коснуться и интересного вопроса об изоморфизме
абстрактных групп конечного порядка. Термином «абстрактных»
подчёркивается, что не имеет значения, каким конкретным способом задаётся та или иная группа, задана она как группа подстановок
конечного множества или каким-то другим образом. Две группы
изоморфны, если существует биекция, сохраняющая групповую
операцию, т. е. переводящая таблицу Кэли одной группы в таблицу
Кэли другой. Нейтральные элементы при этом, разумеется, отображаются друг в друга. Класс изоморфных групп и принято называть
абстрактной группой.
Заметим прежде всего, что все циклические группы одинакового
порядка попарно между собой изоморфны. Изоморфизм между
42
двумя группами устанавливается отождествлением одинаковых сте-
пеней образующих. Если группы
и
являются циклическими
группами одинакового порядка и элемент является образующим
в циклической группе
, = 0, 1, 2, … , 1 является, очевидно, изоморфизмом
и
. А так как любая группа простого порядка является цик-
, а элемент — в группе
, то биекция
лической, то все группы простого порядка изоморфны между собой,
т. е. существует одна абстрактная группа заданного простого порядка, а именно циклическая группа. Таким образом, существует по
одной абстрактной группе порядков 2, 3, 5, 7 и т. д.
Рассмотрим теперь группы четвёртого порядка. Если в группе существует элемент четвёртого порядка, то этот элемент
порождает группу, и следовательно, группа циклическая. Если
же в группе нет элементов четвёртого порядка, то, как вытекает
из теоремы Лагранжа, квадрат любого элемента есть единичный элемент. Произведение любых двух неединичных элементов
этой группы может быть равно только третьему неединичному
элементу. Этими условиями таблица Кэли задаётся уже однозначно
(табл. 1.2).
Абстрактную группу, задаваемую табл. 1.2 и возникавшую ранее
, в теории групп называют четвер-
как факторгруппа
ной группой Клейна — по имени немецкого математика Феликса
Клейна, первым подметившего связи между геометрией и теорией
групп.
Конкретными реализациями четверной группы Клейна являются
рассмотренные ранее подгруппы
рата
. Каждая из этих подгрупп состояла из тождественного пре-
и
группы симметрий квад-
образования и трёх симметрий — одной центральной и двух осевых.
Фигурой, группа симметрий которой изоморфна четверной группе
Клейна, является ромб. Группа же симметрий параллелограмма изо-
морфна группе
, так как помимо тождественного преобразования
она содержит лишь центральную симметрию.
Таким образом, существуют две различные группы четвёртого
порядка — циклическая и четверная группа Клейна. Можно показать также, что существуют две группы шестого порядка — цикли-
ческая и изоморфная
, пять групп восьмого порядка и по две
группы девятого и десятого порядков.
43
Линейные векторные пространства
Линейное векторное пространство — это абелева группа с групповой
операцией, интерпретируемой как сложение, дополненная операцией
умножения элементов группы на действительные числа. При чём эта опе-
рация умножения дистрибутивна как относительно сложения действительных чисел, так и относительно групповой операции сложения. Элементы линейного векторного пространства называются векторами.
k
Линейная зависимость. Пусть имеется
Если имеются числа
1a1
+
+ …+
2a2
2
1
= 0, то эти векторы называются линейно за-
kak
, не все равные 0 и такие, что
k
векторов a
висимыми. В противном случае они называются линейно независимыми. Если в линейном векторном пространстве существуют
нейно независимых векторов
a1, a2, …, a
векторов линейно зависимы, то такое пространство назы-
n
вается конечномерным размерности
e1, e2, …, ek, а для n >
k
, а векторы e1, e2, …, e
ются базисом этого пространства.
Очевидно, что любой вектор a может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов базиса
a =
+
1e1
Числа
e1, e2, …, e
Очевидно, что
2e2
2
1
.
k
+ …+
k
.
kek
называются координатами вектора a в базисе
a
1)e1
2)e2
где — число.
Пусть
b =
Тогда a+b = (1 +
1e1
+
+ … +
2e2
1)e1
kek
+ (2 +
.
+ … k
2)e2
Пространство вектор-столбцов. Рассмотрим теперь столбцы
чисел высотой
k
вида
, a2, …, a
1
k
называ-
k
.
k)ek
k
ли-
любые
)e
k
k
k
,
,
…
…
и т. д.
Определим групповую операцию сложения столбцов как
+
+
+
…
.
44
…
=
…
+
=
…
0
0
Нейтральным элементом тогда является столбец
. Таким образом, множество
…
к столбцу
является столбец
…
, а обратным
…
0
столбцов стало абелевой группой. Определим умножение на число
следующим образом
…
= ·
…
·
·
·
…
.
=
Очевидно, мы построили линейное векторное пространство, элементы которого будем называть вектор-столбцами. Чтобы убе-
k
диться, что его размерность действительно
базис. Этот базис составляют
1
0
0
,
…
0
0
k
столбцов высоты k вида
0
1
0
…
0
0
0
0
1
,
, … ,
…
0
0
, укажем его очевидный
0
0
0
0
0
0
,
…
1
0
,
…
0
1
где в i-м столбце в строке i стоит 1, а остальные элементы равны 0.
Изоморфизм линейных векторных пространств. Рассмотрим
произвольное
e1, e2, …, e
вим вектор-столбец
ектор-столбцов. Очевидно, это — биекция, сохраняющая группо-
в
k
-мерное линейное векторное пространство с базисом
. Каждому его вектору a
k
в нашем линейном векторном пространств
…
=
1e1
+
+ … +
2e2
сопоста-
kek
вые операции в обеих линейных векторных пространствах. То есть
мы построили изоморфизм произвольного линейного векторного
k
пространства размерности
вектор-столбцов высоты
каждой конечной размерности
на линейное векторное пространство
k
. Таким образом, можно считать, что для
k
существует единственное абстракт-
ное линейное векторное пространство.
е
45
Определители
Матрицей называют упорядоченный набор чисел, представленный в виде двумерной таблицы. Если число строк
в матрице равно числу столбцов, то такая матрица называется квадратной.
Рассмотрим квадратную матрицу A из n строк и n столбцов:
…
…
…
…
…
,
…
=
…
где первый индекс нумерует строки, второй — столбцы.
Её определителем или детерминантом называется следующая величина
det =
(1)
||
()
(
…
)
, (1.1)
()
где сумма берётся по всем подстановкам симметрической
группы
S
, а обозначает число беспорядков в подстановке .
n
Для обозначения детерминанта матрицы используют также обозначения
…
…
…
…
…
.
…
||
…
Предположим, что мы поменяли местами два столбца или две
строки в матрице. Как изменится определитель? Это означает, что
каждая подстановка в (1.1) умножится на транспозицию, следовательно, она поменяет чётность, а значит, каждое слагаемое в (1.1)
поменяет знак. Таким образом, указанная операция приводит к изменению знака детерминанта.
Отсюда следует, что детерминант матрицы, имеющей два
одинаковых столбца или две одинаковые строки, равен 0. Действительно поменяем местами эти два одинаковых столбца или эти
две одинаковые строки. Детерминант должен поменять знак,
A
но фактически он остался тем же самым. Отсюда |
т. е. |
A
| = 0.
| = |
A
|,
46
Поработав над формулой (1.1), можно получить формулы разложения детерминанта по произвольной i-й строке
det = (1)
или произвольному j-му столбцу
det = (1)
.
Через обозначается дополнительный минор элемента
т. е. определитель матрицы, получаемой из исходной удалением
с
троки и j-го столбца.
i-й
Используя формулы разложения, можно установить ещё несколько полезных свойств определителя. Обозначим
a
,
a
, …,
1
a
2
столбцы нашей матрицы. Тогда
|
a
a
, …,
a
a
,…
a
, …,
a
1
i
n
|
a
,…
a
+
b
, …,
a
|=|
1
i
i
a
n
1
,…
a
, …,
i
1
a
Отсюда следует, что если мы к стобцу
|+|
n
a
|,
i
n
a
,…
b
, …,
a
1
прибавим произволь-
i
|.
i
n
ную линейную комбинацию некоторых других столбцов матрицы,
то детерминат не изменится, поскольку он будет равен исходному
детерминанту плюс линейная комбинация детерминантов, в каждом
из которых имеется два одинаковых столбца, т. е. равный нулю каждый.
Правило Крамера. Пусть имеется система линейных уравнений
…
+
+
+
…
+ =
…
+
+ =
…
…
=
. (1.2)
…
+
+
+
…
Если
,
n
…
…
…
…
…
0,
…
=
…
система (1.2) имеет единственное решение, которое имеет вид
47
=
, i = 1, 2, …, n,
где — детерминант, получаемый из заменой i-го столбца на
столбец свободных членов.
Определитель Вандермонда. Определитель Вандермонда
очень часто встречается как в комбинаторике, так и в других областях математики. Он имеет вид
1
1
…
=
…
…
…
1
…
…
.
…
Имеет место следующая формула для вычисления этого определителя
=
(
)
.
Докажем её методом математической индукции.
База индукции: n = 2,
=
=
.
1 1
Индукционное предположение:
Индукционный переход. Будем преобразовывать
=
(
)
.
, используя
установленные выше свойства определителей. Вычтем из i-й строки
(i 1)-ю, умноженную на
, для i = n, n 1, …, 2. Получим равный
исходному определитель
(
(
1
)
…
(
(
1
…
0
…
)
)
)
…
…
0
.
…
0
0
48
1
(
(
(
(
=
)
)
…
)
)
Разлагая по n-му столбцу, получим
= (1)
(1)
=
(
=
(
)·(
(
(
…
(
(
)·(
(
=
)
)
)
)
)
=
)
… ·
)
· … ·
· … ·
(
(
(
(
(
(
(
)
…
)
)
)
)
)
)
.
…
…
…
…
1
…
·
·
(
=
1
(
…
(
(
)
…
…
…
…
)
=
)
)
1
…
=
=
…
Что и требовалось доказать.
Комплексные числа
Комплексные числа имеют вид
тельные числа, а
емая соотношением i
а
b
— мнимой частью.
i
— так называемая мнимая единица, характеризу-
2
= 1.
a
называется действительной частью
Над полем комплексных чисел имеет место следующая теорема.
Основная теорема алгебры. Любой многочлен степени n имеет
ровно n корней.
w
Сопряжённым к
лем
w
называется величина || = · = +
= a + bi называется число w* =
гочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень, то он обязательно имеет и корень, сопряжённый к нему. Операции имеют обычные свойства:
w = a + bi,
где a и
b
— действи-
a
bi
. Моду-
. Если мно-
w
,
+ = (+
= (
) +
) +
(
+
(
+
)
;
)
;
49
=
(
+
=
+
(
)
+
+
)
.
Геометрическая интерпретация. Действительные числа геометрически изображаются числовой осью. Для изображения
комплексных чисел используется декартова система координат
на плоскости. По оси абсцисс откладываются действительные
части комплексных чисел, а по оси ординат — мнимые. Поэтому
ось абсцисс именуется действительной осью, а ось ординат — мнимой.
Число
= a +
bi
изображается вектором, идущим из начала ко-
w
ординат в точку (a, b), как это показано на рис. 1.16.
ис. 1.16
Р
Т
ригонометрическое представление. Как видно из рисунка,
модуль |
| = +
ющего комплексное число. Обозначая
— это просто длина r вектора, представля-
угол между этим вектором
и действительной осью, получим тригонометрическое представление комплексного числа
w
= a + bi = r(cos + isin
). Угол назы-
вается аргументом комплексного числа. Легко видеть, что
=
arctg(
b/a).
Имеет место формула Эйлера
(
=
cos+ sin
)
. Её до-
казывают разными способами. Самый простой, пожалуй, сле-
50