Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторные методы. Учебник.pdf
а) б)
Рис. 1.1
Подмножествами являются пустое множество ∅, не содержа-
щее ни одного элемента, и само множество . Эти два подмножества
называют несобственными, а все остальные — собственными. Если
, … ,
на множестве с помощью некоторой перестановки (
) за-
фиксирован порядок элементов, то любое подмножество
можно задать с помощью двоичного вектора (
если
, и = 0, если . Такой вектор называется харак-
, …, ), где
= 1,
теристическим вектором подмножества .
Например, если = {
, , , , }, а = {, ,
}, то ха-
рактеристический вектор подмножества равен (10101).
Между подмножествами множества и двоичными векторами
длины || существует, таким образом, взаимно однозначное соответствие. Поэтому, пересчитав число двоичных векторов длины ||,
можно найти и полное число подмножеств множества . Так как
каждая компонента характеристического вектора независимо принимает одно из двух значений, то число векторов равно 2
объясняется обозначение 2
для семейства всех подмножеств мно-
||
. Этим
жества , используемое как для конечных, так и для бесконечных
множеств.
Таким образом, полное число подмножеств -элементного мно-
жества равно 2
жества = {
. Вот все 2
, ,
= 8 подмножеств трёхэлементного мно-
}:
{
2=
, {}, {}, {}, {, }, {, }, {, }, {, ,
Характеристические векторы этих подмножеств есть
(
)
000
, (100), (010), (001), ((110), (101), (011), (111).
}
}
.
11
Система подмножеств , , …, называется разбиением
множества , если каждый элемент множества принадлежит в точности одному из подмножеств
, , …,
. На рис. 1.2 показано та-
кое разбиение множества на три подмножества.
Рис. 1.2
Операции над множествами
Если заданы два множества и , то из них по определённым
правилам может быть построено новое множество. Это называется
теоретико-множественной операцией, или просто операцией над
множествами.
Множество, состоящее из элементов, входящих хотя бы в одно
из множеств или , называется объединением множеств и
и обозначается .
Множество, состоящее из элементов, входящих в оба множест-
ва и , называется пересечением множеств и и обозначается
. Если = , т. е. у множеств и нет общих элементов,
то говорят, что множества и не пересекаются.
Операции объединения и пересечения могут быть наглядно
представлены, как показано на рис. 1.3.
12
Рис. 1.3
На практике часто возникает следующая задача. По известным
мощностям конечных множеств и и мощности их пересечения
требуется найти мощность их объединения. Если множества и
не пересекаются, то | | = || + ||. Если же пересечение и
не пусто, то в сумму || + || каждый элемент пересечения входит
дважды. Поэтому в общем случае для подсчёта мощности объединения используется формула
| | = || + || | |.
В теории множеств рассматриваются ещё две операции над множествами, которые называются разность и симметрическая раз-
ность.
Множество, состоящее из элементов, входящих в , но не входя-
щих в , называется разностью множеств и и обозначается \.
Множество, состоящее из элементов, входящих ровно в одно из
множеств или , называется их симметрической разностью и обо-
значается или
.
Как следует из определения, = (\) (\), а также
= ( )\( ). Ясно, что = , чем и объяс-
няется название операции.
Разность и симметрическая разность показаны на рис. 1.4.
Рис. 1.4
Как правило, множества, с которыми приходится иметь дело
в дискретной математике, являются подмножествами некоторого
большего множества. Если такое универсальное для данного круга
задач множество U задано, то все рассматриваемые множества будут
его подмножествами и для любого из них определена операция до-
полнения:
= \.
13
Схематически она представлена на рис. 1.5.
Р
ис. 1.5
Разность и симметрическая разность могут быть выражены через
основные операции ,,
как:
\= ; \= ; = ( ) ( ).
Операции ,, обладают рядом интересных свойств. Укажем
важнейшие из них.
1. Коммутативность (переместительный закон):
= ; = .
2. Ассоциативность (сочетательный закон):
( ) = ( ); ( ) = ( ).
3. Дистрибутивность (распределительный закон):
( ) = ( ) ( ); ( ) = ( ) ( ).
4. Инволютивность дополнения (преобразование периода 2, по-
вторное применение которого даёт исходное множество):
= .
5. Правила де Моргана:
= ; =
.
Свойства 1–3 напоминают свойства арифметических операций
«+» и «×», но в отличие от них между операциями и существует
полная симметрия. Ассоциативность, коммутативность и инволютивность вполне очевидны и не нуждаются в доказательстве. Справедливость дистрибутивности и правил де Моргана может быть
14
непосредственно усмотрена из диаграмм Эйлера — Венна или установлена несложным логическим рассуждением. В качестве примера
такого рассуждения докажем первое из правил де Моргана:
=
.
Пусть . Тогда
и и
.
. Тогда
.
Поэтому
Пусть
и и .
Поэтому .
Отсюда вытекает, что =
.
Прямое произведение
Помимо определённых выше операций, имеется ещё одна важная операция над множествами, которая называется прямым или де-
картовым произведением множеств. Прямым (декартовым) произ-
ведением × множеств и называется множество всех упорядоченных пар (, ), где , .
Пусть = {
ние × = {(
стоит из 3 × 2 = 6 элементов. И в общем случае мощность прямого
произведения двух конечных множеств находится как произведение
их мощностей: | × | = || × ||.
Множество двоичных векторов длины с компонентами 0 или 1
или, как говорят, бинарных наборов можно рассматривать, таким
образом, как {0,1}
этому число таких наборов в соответствии с вышеприведённой формулой равно 2
, , }, = {,
, ), (, ), (, ), (, ), (,), (,
— -ю декартову степень множества {0,1}. По-
, что уже было ранее доказано.
}. Тогда их прямое произведе-
)} со-
Отношения
Если взять некоторый коллектив людей и рассмотреть упорядо-
ченную пару (, ), взятую из этого множества, то члены пары
могут находиться в некотором отношении , что обозначается,
15
как (, ) . В качестве такого отношения может выступать,
например, отношение знакомства, тогда (, ) означает, что
и знакомы между собой. В этом случае, если (, ) , то
и (, ) , что выражает симметричность отношения знакомства.
Если же в качестве отношения рассмотреть долговое отношение,
когда (, ) означает, что должен некоторую сумму денег,
то из (, ) следует (, ) , что выражает асимметричность
долгового отношения.
Подобные бинарные отношения естественным образом возникают и на числовых множествах. Здесь отношение «=» является при-
мером симметричного отношения, а отношения «<» и «>» — приме-
рами асимметричных отношений. Рассмотрев подобные поясняющие примеры, определим математическое понятие бинарного отношения в самом общем виде.
Пусть — произвольное множество,
= × — его декартов
квадрат (множество всех упорядоченных пар его элементов). Если
задано некоторое подмножество
упорядоченных пар (
, ), где , , то говорят, что на множе-
стве задано бинарное отношение . Пишут (
Для каждого отношения обратное ему отношение
ляется следующим образом: (
гда (
, ) . Отношения «<» и «>», а также «≤» и «≥» являются
, )
, т. е. некоторое множество
, ) или
тогда и только тогда, ко-
опреде-
примерами пар взаимно обратных отношений.
Выделяют следующие основные свойства бинарных отношений.
1. Рефлексивность — для любого имеет место (, ) ,
. каждый элемент множества находится в отношении сам
т. е
с собой.
2. Иррефлексивность — для любого имеет место
(, ) , т. е. никакой элемент множества не находится в отно-
шении сам с собой.
3. Cимметричность — из (, ) следует (, ) , т. е. отношение не зависит от порядка, в котором берутся элементы
и .
симметричность — из (, ) следует (, ) .
4. А
5. Антисимметричность — из (, ) и (, ) следует = .
.
16
6. Транзитивность — из (, ) и (, с) следует
(, ) .
В качестве примеров можно привести хорошо известные отно-
шения для пар чисел «=» (равно), «<» (меньше), «≤» (меньше или
равно), «>» (больше), «≥» (больше или равно). Отношение «=» рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношения «<» и «>» иррефлексивны, асимметричны и транзитивны. Отношения «≤» и «≥»
рефлексивны, антисимметричны и транзитивны.
Два вида отношений, характеризующиеся определёнными набо-
рами перечисленных свойств, являются особенно важными — это
отношение порядка и отношение эквивалентности.
Определение 1. Бинарное отношение на множестве , являю-
щееся одновременно рефлексивным, антисимметричным и транзитивным, называется отношением порядка.
Таким образом, отношения «≤» и «≥» являются отношениями по-
рядка.
усть — отношение порядка. Если (, ) , то говорят, что
П
элемент предшествует элементу или элемент следует за элементом , а отношение
ч
асто пишут как , сохраняя при-
вычный арифметический символ. Запись обозначает обратное
отношение, т. е. эквивалентна записи . Запись < означает,
что и .
Е
сли для любых двух элементов , имеет место хотя бы
одно из отношений или , то порядок называется полным
или линейным порядком, а множество — линейно упорядоченным
или цепью. Обычное отношение «≤» на множестве действительных
чисел и его подмножествах является примером линейного порядка.
Система подмножеств некоторого множества, упорядоченная по
включению: , даёт пример порядка, не являющегося
линейным. В таком случае говорят о частично упорядоченном мно-
жестве.
Другим интересным примером частично упорядоченного мно-
жества является множество натуральных чисел, упорядоченное от-
ношением делимости. В этом порядке , если |. Так, 3 6,
но неверно, что 4 6.
В качестве ещё одного примера частичного порядка можно
привести множество разбиений некоторого множества. Здесь
17
разбиение следует за разбиением ( ), если получается измельчением , т. е. разбиением некоторых подмножеств разбиения . Например, если рассматриваются разбиения множества
{1, 2, 3, 4, 5} и = {1, 2, 3} {4} {5}, а = {1, 2, 3} {4, 5},
то .
Элемент упорядоченного множества называется минималь-
ным, если из следует = . Упорядоченное множество может
не иметь ни одного минимального элемента, как, например, множе-
ство целых чисел = {… , 3, 2, 1, 0,1, 2, 3, …} с обычным
отношением порядка между числами. Но подобная ситуация возможна лишь для бесконечных множеств. Конечные множества
обязательно имеют минимальные элементы, которых может
быть один или больше. Так, в системе из пяти множеств
{}, {, },{, }, {, }, {, , }, упорядоченных по включению, имеется два минимальных элемента: {} и {, }. В системе из семи нату-
ральных чисел {2, 3, 4, 6, 8, 12, 16}, упорядоченных отношением делимости, также имеется два минимальных элемента: 2 и 3.
Элемент называется наименьшим, если для любого имеет место . Если в упорядоченном множестве имеется наименьший
элемент, то он единственен. В самом деле, если и — два наимень-
ших элемента, то и и по свойству антисимметричности
имеем = . Ясно также, что если в конечном частично упорядо-
ченном множестве имеется единственный минимальный элемент, то
он является наименьшим. Аналогичным образом определяются мак-
симальный и наибольший элементы.
Множество всех подмножеств некоторого множества имеет в качестве наименьшего и наибольшего элементов два несобственных
подмножества — ∅ и само множество. Множество натуральных чисел, упорядоченное отношением делимости, имеет в качестве
наименьшего элемента единицу и не имеет наибольшего. Множество разбиений имеет в качестве наибольшего элемента само разбиваемое множество, а в качестве наименьшего — его разбиение на
одноэлементные подмножества.
Будем говорить, что непосредственно следует за или что
покрывает , если < и между и невозможно вставить ни одного элемента такого, что < < . В этом случае будем писать
. Если в конечном упорядоченном множестве < , но
18
не покрывает , то между и всегда можно вставить элементы
, …, так, чтобы было . Для этого доста-
точно просто вставлять между и элементы до тех пор, пока это
возможно. По отношению «» легко восстанавливается отношение
порядка «», а именно, в том и только в том случае, если существует цепочка
.
Конечные упорядоченные множества с небольшим числом элементов удобно наглядно представлять с помощью диаграмм Хассе.
На ней элементы представляются точками, а непосредственно следующие друг за другом элементы соединяются отрезками, причём
конец отрезка, соответствующий большему элементу, располагается
выше. Рассмотренные выше система из упорядоченных по включению подмножеств и система упорядоченных по делимости натуральных чисел могут быть представлены диаграммами Хассе, как
показано на рис. 1.6.
Рис. 1.6
Рассмотрим теперь другой важнейший тип бинарных отношений.
Определение 2. Бинарное отношение на множестве , являюще-
еся одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным,
называется отношением эквивалентности.
Отношение эквивалентности между элементами и обычно за-
писывают как ~. Для каждого элемента множество ()
всех элементов, эквивалентных , называется классом эквивалент-
ности элемента . При этом () ввиду рефлексивности отно-
шения эквивалентности.
19
Любые два класса эквивалентности либо не пересекаются, либо
совпадают. В самом деле, пусть () () и () ().
Тогда, если (), то ~~~ и (), откуда () ().
Аналогично доказывается, что () (), поэтому () = ().
Таким образом, каждое отношение эквивалентности разбивает
множество на непересекающиеся подмножества так, что два
элемента лежат в одном классе в том и только в том случае,
если они находятся в отношении эквивалентности. Обратно с лю-
бым разбиением множества на непересекающиеся подмножества
можно связать соответствующее отношение эквивалентности.
Поэтому подмножества любого разбиения называют классами. Мно-
жество же классов эквивалентности называется фактормноже-
ством множества по отношению к данному отношению эквива-
лентности.
Если в качестве множества взять множество студентов универ-
ситета, а в качестве бинарного отношения на этом множестве
рассмотреть принадлежность двух студентов к одной и той же студенческой группе, то это отношение будет, очевидно, отношением
эквивалентности, в котором множество студентов, принадлежащих
к одной и той же группе, образует класс эквивалентности. Множество студенческих групп и будет в данном случае фактормножеством.
качестве другого, более математического примера рас-
В
смотрим отношение сравнения на множестве целых чисел
= {0, ±1, ±2, ±3, … }. Выберем произвольное натуральное число
и определим на отношение
делится на . Легко проверить, что
следующим образом:
является отношением
, если
эквивалентности. В самом деле, рефлексивность и симметричность
проверяются тривиально. Проверим свойство транзитивности.
Пусть
ства, получаем
ность. Отношение
= и = . Тогда, складывая два равен-
= (+ ), что и доказывает транзитив-
называется отношением сравнения по мо-
дулю . Для него в теории чисел традиционно используется обозначение
( ), или = ( ). Отношение сравнения
играет важную роль во всей дискретной математике.
юбая пара целых чисел сравнима по модулю 1, и всё множест-
Л
во при = 1 образует один класс эквивалентности. При = 2
20