Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторные методы. Учебник.pdf
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Московский государственный университет
технологий и управления
имени К. Г. Разумовского (ПКУ
)
КОМБИНАТОРНЫЕ
МЕТОДЫ
Учебник
Москва
2024
ДК 519.1(075.8)
У
ББК 77.176
К63
Рецензенты:
В. Н. Орлов, доктор физико-математических наук, доцент кафедры высшей
математики Московского государственного строительного университета
В. М. Иванов, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры электроэнергетики Тамбовского технического университета
К
63 Комбинаторные методы: учебник / А. В. Воробьёва, С. К. Иванов,
А. Я. Корнилов и др. — М.: ИД «Юриспруденция», 2024. — 200 с.
ISBN 978-5-9516-0953-3
Учебник предназначен в первую очередь для студентов высших учебных
заведений, в состав учебных программ которых входит курс дискретной математики. Также он может быть рекомендован студентам, в ходе учебного
процесса сталкивающимся с комбинаторными методами и желающим углубить свои познания в этой области.
Помимо теоретического материала учебник включает свыше 300 вопро-
сов для самопроверки, примеров и задач как с решениями, так и для самостоятельной работы.
ISBN 978-5-9516-0953-3
УДК 519.1(075.8)
ББК 77.176
© Воробьёва А. В., Иванов С. К., Корнилов А. Я.,
Лановая А. В., Худжина М. В., 2024
© ИД «Юриспруденция», оформление, 2024
АВТОРСКИЙ КОЛЛЕКТИВ
Воробьёва А. В. — специалист в области автоматизации
технологических процессов, теории систем и методов сетевого
планирования, заведующая кафедрой высшей математики, кандидат технических наук, доцент Московского государственного университета технологий и управления имени К. Г. Разумовского
(ПКУ).
Иванов С. К. — специалист в области математического модели-
рования, прикладной теории вероятностей, дискретной математики
и информационных технологий, кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики Московского государственного
университета технологий и управления имени К. Г. Разумовского
(ПКУ).
Корнилов А. Я. — кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры высшей математики Московского государственного университета технологий и управления имени К. Г. Разумовского (ПКУ).
Лановая А. В. — кандидат физико-математических наук, до-
цент кафедры высшей математики Московского государственного
университета технологий и управления имени К. Г. Разумовского
(ПКУ).
Худжина М. В. — кандидат педагогических наук, доцент ка-
федры высшей математики Московского государственного университета технологий и управления имени К. Г. Разумовского (ПКУ).
СОДЕРЖАНИЕ
ЕДИСЛОВИЕ……………………………………………..………7
ПР
аздел 1. ВВЕДЕНИЕ…………………………………………….….9
Р
Множества…………………………………………………….…..…...9
Перестановки……………………………………………….….……....9
Подмножества………………………………………………………..10
Операции над множествами…………………………………………12
Прямое произведение……………………………………………..….15
Отношения…………………………………………………………....15
Отображения………………………………………………….……....21
Подстановки………………………………………………….…….....23
Группы…………………………………………………………….......26
Подгруппы и факторгруппы …………………………………….......36
Изоморфизм…………………………………………………………..40
Линейные векторные пространства…………………………………44
Определители…………………………………………………………46
Комплексные числа…………………………………………………..49
Графы………………………………………………………………….51
Вопросы для самопроверки по разделу 1…………… ……………56
Задачи к разделу 1………………………………………….…………57
аздел 2. КОМБИНАТОРНЫЕ ЧИСЛА…………………………59
Р
Правило произведения……………………………………………….59
Перестановки…………………………………………………………60
Размещения…………………………………………………………...61
Сочетания……………………………………………………………..61
Кортежи……………………………………………………………….62
Сочетания с повторениями…………………………………………..63
Разбиения……………………………………………………………..64
Числа Стирлинга и Белла……………………………………………65
4
Разбиения чисел………………………………………………………67
Комбинаторные отображения……………………………………….68
Полиномиальные и биномиальные коэффициенты………………..69
Формула включения и исключения…………………………………72
Приложение к теории вероятностей…………………………………78
Асимптотические оценки. Формула Стирлинга……………………85
Обобщение факториала. Гамма-функция…………………………...92
Оценки для биномиальных коэффициентов и их сумм ……………94
Примеры решения задач к разделу 2………………………………..99
Вопросы для самопроверки по разделу 2……………………… ….101
Задачи к разделу 2…………………………………………………...103
аздел 3. РЕКУРРЕНТНЫЕ
Р
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ……………………………………..109
Однородные рекуррентные последовательности…………………110
Случай разных корней характеристического многочлена……….112
Случай кратных корней характеристического многочлена ……..114
Последовательность Фибоначчи…………………………………...115
Неоднородные рекуррентные последовательности………………116
Подбор частного решения………………………………………… .118
Сведение неоднородных соотношений к однородным…………...121
Вопросы для самопроверки по разделу 3………………………….123
Задачи к разделу 3…………………………………………………...124
Р
аздел 4. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ……………………...127
Формула Добинского……………………………………………….133
Разбиения чисел……………………………………………………..133
Производящие функции
рекуррентных последовательностей ………………………………136
Производящая функция частичных сумм………………………….141
Производящая функция свёртки…………………………………...143
Метод отражения……………………………………………………147
Вопросы для самопроверки по разделу 4………………………….149
Задачи к разделу 4…………………………………………………...149
5
Раздел 5. ПУТИ НА ЦЕЛОЧИСЛЕННОЙ
РЕШЁТКЕ И ДИАГРАММЫ ЮНГА………………...…………151
Пути Дика, метод отражения и числа Каталана…………………..151
Стандартные таблицы и пути………………………………………153
Формула крюков…………………………………………………….157
Непересекающиеся пути……………………………………………160
Вопросы для самопроверки по разделу 5………………………….163
Задачи к разделу 5…………………………………………………...163
Р
аздел 6. ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ
КЛАССОВ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ.
ТЕОРИЯ ПОЙА……………………………………………………165
Вопросы для самопроверки по разделу 6……….…………………179
Задачи к разделу 6……………………………………...……………179
З
АДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ………..180
ОТ
ВЕТЫ НА ВОПРОСЫ…………………………………………187
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ……………………………………………188
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА………………………… 199
ПРЕДИСЛОВИЕ
К
омбинаторные методы — это методы подсчёта числа элемен-
тов в конечных множествах, обладающих заданными свойствами.
Раздел дискретной математики, занимающийся их изучением и разработкой, называется комбинаторикой.
Данный учебник описывает основные комбинаторные методы
и ряд областей их применения. Для более полного усвоения материала в учебник включено 35 вопросов для самопроверки с ответами
и 240 задач как с решениями, так и для самостоятельной работы.
Во введении изложены сведения, необходимые для понимания
основного материала учебника. Для полного понимания некоторых
рассмотренных тем (асимптотика, производящие функции) желательно также знакомство с основами математического анализа (пределы, дифференцирование, интегрирование, разложение в ряд Тэйлора — Маклорена). Те, кто пока не имеют такой подготовки, могут
при первом чтении эти места пропустить, отложив их до лучших
времён.
В целом материалы учебника в совокупности с содержащимися
в нём задачами могут служить хорошей основой для курсов лекций
и практических занятий по комбинаторным методам дискретной математики.
Нумерация встречающихся в учебнике формул, рисунков и таблиц двухступенчатая. Первое число — номер раздела, второе число
(после точки) — номер внутри раздела. Например, «Рис. 2.3» обозначает рисунок 3 из раздела 2. Ссылка на формулу (3.12) отсылает
к формуле 12 из раздела 3 и т. д.
Раздел 1
ВВЕДЕНИЕ
Множества
Множество — первичный неопределяемый объект, характеризующийся свойством содержать элементы. Элемент — первичный
неопределяемый объект, характеризующийся свойством содержаться во множестве. Иногда, руководствуясь геометрическими
представлениями, элементы множества называют также его точками.
Множества могут быть бесконечными (например, множество
действительных чисел) и конечными (т. е. состоящими из конечного
числа элементов). В центре внимания дискретной математики находятся именно конечные множества.
Конечное множество может быть задано простым пере-
числением своих элементов в произвольном порядке, которое
, ,
, …,
принято записывать в фигурных скобках: = {
Таким образом, {
, , } и {, ,
} обозначают одно
и то же — множество, состоящее из трёх элементов:
— множество, состоящее из элементов, то говорят, что мощ-
ность множества равна , и пишут ||= . Тот факт,
что
является элементом множества , записывается как .
В математике рассматривается и множество, не содержащее ни одного элемента. Оно называется пустым множеством и обозначается ∅.
. Если
}.
Перестановки
Список элементов множества, заключённый в круглые скобки,
обозначает перечисление элементов в определённом порядке. Такое
перечисление в заданном порядке называется перестановкой эле-
ментов множества. Таким образом, (
чают различные перестановки элементов множества {
, , ) и (, ,
, ,
) обозна-
}. Вот
9
все шесть возможных перестановок элементов множества {
(
, ,
),(
, ,
)
, (
, , ), (, , ), (, , ), (, ,
, ,
}:
).
Их число можно было найти и не выписывая в явном виде все
шесть перестановок, а с помощью следующего несложного рассуждения. На первое место можно поставить любой из трёх элементов,
что даёт три возможности. Если на первое место уже поставлен некоторый элемент, то на второе место можно поставить любой из
оставшихся двух элементов, что даёт две возможности. И, наконец,
на третье место остаётся единственный представитель, т. е. единственная возможность. Таким образом, число перестановок оказывается равным 3 × 2 × 1 = 6.
Если бы переставлялись элементы множества мощности , то
число перестановок было бы равно × ( 1) × … × 2 × 1. Для такого произведения натуральных чисел от 1 до в математике существует специальное обозначение: 1 × 2 × … × ( 1) × = !.
Здесь введена важнейшая для комбинаторного анализа функ-
ция ! (читается «эн-факториал»), определяемая для натуральных
как произведение всех натуральных чисел от 1 до включительно
и полагаемая равной 1 при = 0:
0! = 1! = 1, 2! = 1 2 = 2, 3! = 1 2 3 = 2! 3 = 6, …,
! =( 1)! .
Подмножества
Если каждый элемент множества является элементом
множества , то множество называется подмножеством множества , что записывается как . Равенство двух множеств = означает, что множества и совпадают. Это эквивалентно тому, что и . Если и , то это записывается как .
Считая элементы множества точками плоскости, лежащими
внутри кругов, отношение включения можно наглядно представить
как расположение одного круга внутри другого.
На рис. 1.1 а) , а на рис. 1.1 б) . Такие наглядные
представления множеств часто называют диаграммами Эйлера —
Венна.
10