Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комбинаторные методы. Учебник.pdf
в) шары неразличимы, а урны различимы;
г) и шары, и урны неразличимы?
6. На окружности выбрано точек общего положения, и каждая
пара соединена хордой. Сколько точек пересечения хорд внутри
окружности при этом возникло? (Общее положение означает, что
через каждую точку пересечения хорд внутри окружности проходит
ровно две хорды. Такое расположение с вероятностью единица возникает при случайном выборе точек на окружности.)
7. Чему равно число четырехзначных десятичных чисел, у которых:
а) каждая последующая цифра меньше предыдущей;
б) каждая последующая цифра не больше предыдущей?
8. Сколько существует бинарных наборов длины ( + ) с
единицами и нулями, в которых никакие две единицы не стоят
рядом ( + 1)?
9. Сколькими способами человек можно рассадить за круглым
столом с + пронумерованными местами так, чтобы никакие
двое не сидели рядом ()?
10. Сколько существует возможных вариантов выпадения при
одновременном бросании пяти одинаковых игральных костей?
11. Сколькими способами две монеты по 10 рублей, четыре мо-
неты по 5 рублей и пять монет по 1 рублю могут быть разложены по
трём разным кошелькам? (Пустые кошельки допускаются.)
12. Сколько решений в целых неотрицательных числах имеет не-
равенство
+ + + ?
13. Функцией Эйлера () для натуральных называется число
натуральных чисел, не превосходящих и взаимно простых с . По-
(1
)
, где , , … ,
— все
казать, что при > 1 () =
различные простые делители числа .
14. Доказать следующие тождества:
а)
б)
=
;
= 3
.
181
15. Для всех натуральных доказать справедливость двойного
неравенства
.
16. Мэри мечтает выйти замуж за умного, красивого и богатого
мужчину. Она считает, что каждый из 20 её поклонников обладает
хотя бы одним из этих качеств, причём среди них 11 богатых, 10 умных, девять красивых, трое умных и богатых, четверо красивых
и умных, четверо богатых и красивых. Есть ли среди поклонников
мужчина её мечты?
17. Сколько натуральных чисел, не превосходящих 1000, не де-
лятся ни на одно из чисел 6, 10, 15?
18. Компания из мужчин заходит в бар, где каждый оставляет
в гардеробе зонт и шляпу. Выходя из бара, компания разбирает
зонты и шляпы случайным образом. Найти вероятность того, что:
а) ровно мужчин окажутся со своим зонтом и своей шляпой;
б) ровно у мужчин окажется хотя бы одна из их вещей.
19. За круглым столом требуется рассадить супружеских пар
в соответствии с правилами этикета, согласно которым мужчины
и женщины должны чередоваться и никакие двое супругов не
должны сидеть рядом. Сколькими способами это может быть осуществлено, если расположения, получаемые круговым сдвигом всей
компании, считать одинаковыми?
20. Сколькими способами можно раздать 12 одинаковых монет
пятерым нищим так, чтобы каждый получил не менее одной, но не
более трёх монет?
21. Номера билетов состоят из шести десятичных цифр, так что
всего имеется 10
6
номеров. Найти число «счастливых» номеров, у
которых сумма первых трёх цифр равна сумме последних трёх цифр.
22. Найти вероятность того, что две наугад взятые костяшки до-
мино можно приставить друг к другу.
23. Из перетасованной колоды (36 карт) извлекаются три карты.
Какова вероятность, что сумма их очков будет равна 21 (валет — 2,
дама — 3, король — 4, туз — 11, остальные 6, 7, 8, 9, 10)?
182
24. Используется колода из 52 карт (достоинства карт начина-
ются с 2). Карточные комбинации в вопросах задачи взяты из игры
в покер, в которой играющий получает при сдаче пять карт. Найти
вероятность получить:
а) пять карт одной масти (флеш);
б) четыре карты из пяти одинакового достоинства (каре);
в) три карты одного достоинства и две другого (фул);
г) пять последовательных карт не одной масти (стрит);
д) три карты одного достоинства и две карты других различных
между собой достоинств (тройка);
е) две карты одного достоинства и две карты другого достоин-
ства плюс карта отличного от них достоинства (две двойки);
ж) две карты одного достоинства и три карты других различных
между собой достоинств (двойка).
25. Сколькими способами можно подняться по лестнице с сту-
пеньками, преодолевая каждым шагом одну или две ступеньки?
26. Найти формулу -го члена последовательности, заданной ре-
куррентно:
= + + 1,
= 1.
27. Найти формулу -го члена последовательности, заданной ре-
куррентно:
28. Найти и
= 3+
ний
= +
= 14, = 6.
=
+ 2
,
с заданными начальными условиями
= 0.
из системы рекуррентных соотноше-
29. Доказать, что числа Фибоначчи обладают следующими свой-
ствами:
а) x
+ x3 +…+ x
1
б) 1+ x
в) (x
г) (x
+…+ x2n = x
2
)2 – x
n
n-1xn+1
)2 + (x2)2 +…+ ( xn)2 = xnx
1
= x2n;
2n-1
2n+1
= (–1)
;
-1
n
;
.
n+1
30. Найти все последовательности, удовлетворяющие соотноше-
нию:
– (2cosα +1)a
а) a
n+3
б) u
–
n+k
– 3a
в) a
n+3
u
n+k -1
+ 2an = 0, а1 = а, а2 = b, а3 = с.
n+1
+ (2cosα +1)a
n+2
+
u
+…+ (–1)
n+k -2
– an = 0;
n+1
k
un = 0;
183
31. Найти общее решение рекуррентного уравнения:
а)
a
−
an
+1
+3
–
+ 2
− 3
a
n−2
n
a
= 3n;
= n(n+1)/2,
+ cos(nπ/2);
− 8
an
+
a
= 27 ⋅ 5n, а
+ 5
n
+1
n
+1
a
n
+2
а
= 1;
1
an
= −9, а2 = 45;
1
2
= 4
n
− 2.
б)
в) a
г)
д)
n
+1
a
n
= a
n
a
n
+2
a
n
32. Найти путём сведения к однородному рекуррентному урав-
нению общее решение рекуррентного уравнения:
а)
a
+ 2
a
− 8
an
= 2n;
;
= 1.
б)
в)
n
a
n
an
+2
− 2
+1
+ 1 +
n
+1
an = n
an
33. С помощью тождеств, связывающих производящие функции,
вывести следующие тождества для биномиальных коэффициентов:
1) (1 + )
(1 + )=(1 + )
,
=
;
2) (1 )
3) (1 + )
4) (1 )
(1)
5) (1
]
[
6) (1 + )
(1)
(1 )
(1 + ) = (1 + )
(1 + )
)
(1 + ) = (1 )
(1 ) = (1
=
=
= (1
(1)
=
= (1 )
;
,
)
=
;
,
;
)
,
/
/
0, .
,
(1)
,
, ,
=
34. Найти цикловой индекс группы подстановки вершин окта-
эдра при его вращении.
35. Найти число различных окрасок вершин октаэдра в три цвета.
184
;
36. Функцией Эйлера 𝜑𝑛 для натуральных 𝑛 называется число
натуральных чисел, не превосходящих 𝑛 и взаимно простых с 𝑛. Показать, что при 𝑛1 𝜑𝑛 𝑛
∏
1
, где 𝑝,𝑝,…,𝑝
— все
различные простые делители числа 𝑛.
37. Доказать следующие тождества:
а)
∑
𝐶
; б)
С
∑∑
3
.
С
𝐶
38. Для всех натуральных 𝑛 доказать справедливость двойного
неравенст
√
ва
𝐶
√
.
39. С помощью производящих функций найти формулу для
суммы кубов первых n натураль
Сколькими способами 2n человек различного роста могут
40.
быть
построены в две шеренги так, чтобы в каждой шеренге они сто-
ных чисел.
яли по росту и каждый стоящий в первой шеренге был выше стоящего за ним?
41. Доказать асимптотическое равенство
С
⁄
С
~𝑒
⁄
mk
,𝑛→∞,𝑘𝑜𝑛,𝑚𝑜𝑛.
42. Пусть на выборах за кандидата А подано m голосов, а за кан-
дидата В — n голосов, причём m ≥ n. Пусть далее при подсчёте голосов m + n бюллетеней вынимаются из урны случайным образом.
Какова вероятность, что в процессе подсчёта голосов кандидат А,
набравший больше голосов, ни разу не уступит кандидату В?
43. Решить предыдущую задачу в более общем случае, когда
имеется k кандидатов и они набрали a
> a2 > … > ak голосов соот-
1
ветственно.
44. Доказать неравенства
1)
2) 𝐶
3)
2
√
∙
𝐶
𝐶
√
при n > k > 0;
при n > 1.
, n ≤ k ≤ 1;
185
45. Доказать следующие асимптотические равенства при n:
1
)
)
2
3)
(
~
, 0 ≤ r < m;
)~
~
4
, 0 ≤ r < m;
.
()
46. Найти число непересекающихся путей на целочисленной ре-
шётке из точек (0, a
) в точки (bi, −bi).
i
47. Доказать, что число способов построить в две шеренги 2n че-
ловек различного роста так, чтобы в каждой шеренге они стояли по
росту и каждый стоящий в первой шеренге был выше стоящего за
ним, выражается числом Каталана
=
.
ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ
1.1. а
3.1. б
1.2. в
1.3. а
1.4. б
2.1. а
2.2. б
2.3. в
2.4. б
2.5. в
2.6. в
2.7. б
2.8. б
2.9. в
2.10. б
2.11. в
2.12. б
2.13. в
2.14. а
2.15. в
3.2. г
3.3. б
3.4. г
3.5.
а) нет
б) да
в) да
г) да
д) нет
3.6. в
4.1. в
4.2. а
4.3. в
5.1. а
5.2. в
5.3. а
6.1. а
6.2. в
6.3. б
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
1.
1. Это число равно числу двоичных наборов длины 10, т. е. 2
10
.
1.2. Пусть А — множество конькобежцев, В — лыжников. По
условию
||
||
= 2;
||
= 6. Отсюда
||
||
||
= 3.
1.3. Пусть друзей n. Тогда минимальное число разговоров равно
2n − 4. Для n = 4 проверяется непосредственно. Пусть добавили од-
ного друга. Число разговоров возрастает на 2. За один разговор он
сообщит кому-то свою новость. После того как остальные n обменяются новостями за 2n − 4 разговора, он за один разговор узнает все
новости.
1.4. 256.
1.5. 24.
1.6. 14.
1.7. Поскольку 105 = 3×5×7, то сравнение эквивалентно системе
0 ( 3)
( + 1)
0 ( 5)
0 ( 7)
=>
0 (
4 (
0 (
3)
5)
7)
.
Решение имеет вид x = 84 + 105k, где k Z, Z — множество целых
чисел.
1.8. |A|+|C| = |AC|–|AC| = |AB|–|AB| =|A|+|B| => |C| = |B| = 6.
1.9. В n-угольнике можно провести n(n − 3)/2 диагонали.
В 11-угольнике можно провести 44 диагонали.
1.10. Если n — начальное число бактерий, то через k минут оста-
нется 2k(n − k) бактерий. Через n минут бактерии будут уничтожены.
1.11. 0.
1.12. 0.
1.13. Обозначим эти множества A, B, C и D соответственно.
U — множество всех студентов.
188
Тогда
max |ABCD| = min {|A|, |B|, | C| , | D| } = 70.
1.14.
min |ABCD| = min || = min |
= |U| – max | | = |U| – ( || + || + || + |
1.15. 120.
1.16. 360.
|
| ) = 10.
=
2.1. Число размещений
2.2. Число сочетаний
2.3. Число размещений
=
=
(
!
!(
=
(
!
=> 10!/(10 − 3)! = 720.
)
!
=> 15!/(3!(1 5 − 3)!) = 455.
)
!
!
=> 11!/(11 − 5)! = 55440.
)
!
2.4. Число перестановок Pn = n! => 6! = 720.
2.5. Число размещений
=
!
=> 15!/(15 − 10)! = 30240.
(
)
!
2.6. Правило произведения: 7×8 = 56.
2.7. Правило произведения: на этапе 1 выбираются три игрока из
10 для удаления, на этапе 2 — три игрока из пяти для замены.
×
= 1200.
2.8. Правило произведения: (5 + 1)(6 + 1)(7 + 1) = 336.
2.9. Для каждого есть 10 вариантов выбора вагона. Правило про-
изведения: 10
5
= 100000.
2.10. Число сочетаний с повторениями:
=
=
(
!(
)
!
=>
)
!
= 8!/(6!2!) = 28.
2.11. Число сочетаний с повторениями:
=
=
(
!(
)
!
=>
)
!
= 8!/(5!3!) = 56.
2.12. Число сочетаний с повторениями:
=
=
(
!(
)
!
=>
)
!
= 9!/(4!5!) = 126.
189
2.13. Число сочетаний с повторениями:
=
=
(
!(
)
!
=>
)
!
= 14!/(10!4!) = 1001.
2.14. Число неупорядоченных разбиений равно
!
(!)
!
=>
(!)
!
= 462.
!
2.15. Число упорядоченных разбиений равно
!
(!)
2.16. Число сочетаний С
2.17. Число размещений
=>
!
(!)
= 924.
= 376992.
= 90.
2.18. Число кортежей длины 10, в которых яблоко встречается
два раза, груша — пять раз и апельсин — три раза, равно
!
= 2520.
!!!
2.19. Число сочетаний с повторениями:
=
=
(
!(
)
!
=>
)
!
= 7!/(5!2!) = 21.
2.20. Число упорядоченных разбиений будет равно
!
(!)
2.21. Число упорядоченных разбиений равно
=>
!
(!)
= 90.
(!)
!
!
. По опреде-
лению упорядоченного разбиения это количество разбиений, где
подгруппа из четырёх студентов стоит всегда на 1 месте. Поскольку
преподавателей трое, то эта подгруппа может стоять на 3 местах.
Правило произведения даёт окончательный ответ:
2.22. По формуле Стирлинга
=
!
(1)
(
=
2 + 2
2.23. Полиномиальному коэффициенту
4 + 7= 17
2.24. Система
0 + 15
цательных числах. Поэтому член с t
=
!
)
= 2
!
!!!
не имеет решения в целых неотри-
17
отсутствует в указанном раз-
!
(!)
(1)
1 = 511.
= 4200.
= 12600.
!
=>
ложении. То есть коэффициент при нём равен 0.
190