Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций. Учебное пособие (практикум)
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ИССЛЕДОВАНИЕ
ОПЕРАЦИЙ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ (ПРАКТИКУМ)
Направление подготовки 231300.62 – Прикладная математика
Профиль подготовки «Математическое моделирование
в экономике и технике»
Бакалавриат
Ставрополь
2015
1
Печатается по решению
УДК
519.8 (075) (075.8)
ББК 22.18 я73
М 88
М 88
по направлению подготовки 231300.62 – Прикладная математика; содержит необходимые теоретические сведения для составления простейших
экономико-математических моделей, примеры решения задач с условиями, отражающими простейшие экономические ситуации из разных сфер
бизнеса и управления, вопросы и задания.
других направлений, в учебных планах которых предусмотрены представленные в книге разделы математической теории.
Исследование операций: учебное пособие (практикум) / сост.:
А. С. Адамчук, С. Р. Амироков, А. М. Кравцов. – Ставрополь:
Изд-во СКФУ, 2015. – 178 с.
Пособие составлено в соответствии с учебной программой ФГОС ВПО
Предназначено для студентов соответствующего направления, а также
Составители:
канд. физ.-мат. наук, доцент А. С. Адамчук,
канд. физ.-мат. наук, доцент С. Р. Амироков,
вед. науч. сотрудник А. М. Кравцов
(СевКавНИПИгаз)
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, профессор Г. В. Шагрова,
канд. физ.-мат. наук, доцент Т. Х. Сайег
редационно-издательского совета
Северо-Кавказского федерального
университета
УДК 519.8 (075) (075.8)
ББК 22.18 я73
© ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский
федеральный университет», 2015
2
ВВЕДЕНИЕ
Исследование операций – комплексная математическая дисциплина, которая является одним из интенсивно развивающихся разделов прикладной математики и имеет важное методологическое
значение в системе подготовки современного инженера, так как в
ней четко выражена идея математического моделирования различных процессов.
Дисциплина по направлению подготовки 231300.62 – Прикладная математика (квалификация (степень) «бакалавр») содержится в
базовой части математического и естественнонаучного цикла дисциплин.
Практикум по исследованию операций дополняет подготовленное теми же авторами учебное пособие «Математические методы и
модели исследования операций (краткий курс)».
Целями освоения дисциплины являются:
- ознакомление студентов с основами экономико-
математического моделирования;
- получение студентами глубоких теоретических и практических
знаний о математических методах подготовки и обработки информации с целью наиболее эффективного управления различными организационными системами;
- формирование навыков работы с методами построения экономико-математических моделей для количественного обоснования
принимаемых решений по организации управления;
- знакомство с прикладными задачами исследования операций.
Задачи дисциплины состоят в обучении студентов математическим методам подготовки исходной информации для моделирования; методам построения математических моделей и экономикоматематического анализа на основе оптимальных решений; методам
статистической обработки информации.
Исходя из требований ФГОС ВПО, материалы данного учебного
издания способствуют формированию следующих общекультурных
и профессиональных компетенций для направления 231300.62 –
Прикладная математика (квалификация (степень) «бакалавр»):
ОК-12 – способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, приме-
3
нять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования;
ОК-14 – способность оформлять, представлять и докладывать
результаты выполненной работы;
ПК-11 – знание основных положений, законов и методов естественных наук; способность выявить естественнонаучную сущность
проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, готовность использовать для их решения соответствующий естественнонаучный аппарат;
ПК-14 – способность самостоятельно изучать новые разделы
фундаментальных наук.
4
ГЛАВА 1
МАТРИЧНЫЕ МОДЕЛИ. ОСНОВНЫЕ
ПОНЯТИЯ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ
Цель: ознакомить студентов с методикой постановки задач на
основе алгебры матриц.
В результате проработки темы студент должен освоить основы
линейной алгебры, уметь выполнять действия над алгебраическими
объектами, использовать их при моделировании.
Формируемая часть компетенции: ОК-12 – способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности.
Актуальность темы: математическое моделирование начинается с перевода словесного описания модели на язык математических
формул.
Теоретическая часть
Исходной информацией при построении математической модели
объекта служат данные о его назначении и условиях работы. Эта
информация определяет цель моделирования и позволяет сформулировать требования к математической модели.
На основе известных законов (природы, физики, экономики и
других) составляются уравнения, неравенства или их системы, описывающие либо равновесие спроса и предложения, либо баланс материальных и денежных ресурсов, а также физические законы сохранения материи, энергии, вещества, соотношения денежного обмена и т. п. Составление этих математических задач как раз и является сутью математического моделирования, а результаты их решения описывают различные аспекты моделируемого явления.
Постановка задачи при моделировании предполагает ответы на
три вопроса:
1. Каковы переменные этой задачи, т. е. что требуется в ней
найти? Переменные мы вводим и обозначаем сами.
2. Какие ограничения должны быть наложены на переменные,
согласно условиям задачи?
3. Какова цель задачи?
5
1.1. Пример простейшей модели
(
)
планирования производства
Предприятие производит два вида продукции П1 и П2 (например,
туфли и ботинки) и использует два вида сырья (кожу и резину), ежедневные запасы которых соответственно b1 и b2 условных единиц. Согласно технологии производства, аij количество i-го вида сырья, идущего на изготовление единицы j-й продукции (например,
чество кожи, идущей на один ботинок). Требуется спланировать работу так, чтобы ежедневно использовать полностью запасы сырья.
В нашей задаче нужно определить количество
х и 2х – продукции
1
видов П1 и П2 соответственно. Можно сказать, что нужно найти век-
тор-план
х,хХ = с координатами 1х , 2х . Для постановки задач
21
часто удобно использовать балансовую таблицу (таблица 1.1), в которую можно вписать все данные и используемые переменные, причем
информацию о технологии производства впишем в уголки ячеек.
Балансовая таблица данных задачи
Продукт
Сырье
А
Б
П
1
а
11
х
1
а
21
х
1
П
2
а
12
х
2
а
22
х
2
Из таблицы легко вытекают балансовые соотношения по расходу
сырья (ограничения):
=+
ì
í
î
bхаха
1212111
.(1.1)
=+
bхаха
2222121
Получилась система двух уравнений с двумя неизвестными
х . В данной задаче целью является полное использование сырья,
2
поэтому строгие равенства в балансовых соотношениях служат как
ограничениями, так и целевой характеристикой задачи.
а – коли-
12
Таблица 1.1
Запасы
сырья
b
1
b
2
х и
1
6
Решая систему школьным методом алгебраического сложения,
получим:
ì
ï
+
í
ï
î
( )
аbхаха
×=+
211212111
( )
-×=+
аbхаха
122222121
-=-
ababаааах
122221211222111
или
abab
-
х
=
1
122221
;
аааа
-
21122211
аналогично
abab
-
х
=
2
211112
. (1.2)
аааа
-
21122211
Очевидно, что эти формулы легче запомнить, если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов, т. е. таблицу чисел:
аа
æ
ç
ç
è
ö
1211
÷
. (1.3)
÷
аа
2221
ø
В данной задаче она является технологической матрицей, где
первый индекс показывает номер строки, второй – номер столбца,
на котором находится элемент. В числителе и знаменателе формулы
(1.2) стоят числа, обозначим их буквами D1, D2, D, поэтому
D
1
=
х ;
1
D
D
2
=
х , (1.4)
2
D
где
аа
=-=D
аааа
21122211
1211
(1.5)
аа
2221
это число, которое находится как разность произведений чисел,
лежащих на главной и побочной диагоналях определителя (1.5),
полученного из матрицы (1.3). Аналогично вычисляются определители:
аb
1
121
аb
222
abab
-==D
;
122221
7
ba
-
-
2
111
ba
212
baba
-==D
. (1.6)
121211
Заметим, что формулы (1.4) представляют собой правило Крамера для решения системы двух линейных алгебраических уравнений
с двумя неизвестными.
Таким образом, при описании поставленной проблемы средствами математики мы использовали в этой задаче разные математические формы обработки одной и той же информации – систему уравнений, матрицу, определители, вектор. Это родственные математические понятия, но каждое имеет свои особенности и правила преобразований, используя которые, можно найти наиболее простой
путь решения задачи.
Задание. Повторить из курса математики темы: определители,
матрицы, системы линейных алгебраических уравнений.
УПРАЖНЕНИЯ
Вычислить определители:
1.
4.
7.
10.
12.
14.
16.
18.
35
64
.
2.
24 -
63
.
5.
15
14
-
.
21 --
.
43
2sin2cos
.
bbaacossin
aa
.
1a
b2ab2a
-+
b2ab2a
+-
a
.
8.
22
cos2cossin2
aaa
1cos
.
311
43
.
6181-
.
28
43
.
11.
13.
15.
cossin
sincos
-+
+-
cos2sin
17.
3.
6.
9.
yxyx
yxyx
57
13
.
-
7413-
.
17
80
.
aa
.
aa-
.
aa
.
aa-
2sincos
ba2ba2
-+
.
ba2ba2
+-
8
1x2
+
x1
-
.
1
-
x1
+
20.
t1
+
t1t2t1
+-
2
+
.
+
t1t1t1
-
19.
x
x1
-
1
x1
+
Вычислить определители, предварительно упростив их:
a111
1a00
--
.
111a
-
1a01
4331
9530
.
7300
0662
---
4321
4322
.
4333
1111
1023
-
-
3211
.
0122
3321
--
4321
3412
-
.
2143
1234
21.
23.
25.
27.
29.
12a1
00a0
.
1a0a
-
a011
22
+
22
+
22
+
--
--
-
1x5ax
1y5ay
.
1z5az
1111
2312
.
3375
4449
0211
5263
-
. 28.
4601
-
1532
-
0212
2143
.
1012
--
2321
---
-
22.
24.
26.
30.
-
Решить уравнения и выполнить проверку подстановкой корней в
определитель:
31.
2
259x
= 0 .
53x
111
32.
2
45x
= 0 .
11x
-
410
33.
11xx+-+
= 0 .
11x4
111
9
34.
1x5sinx8cos -
= 0.
1x5cosx8sin
111
x2x3
ø
è
-
35.
37.
39.
= 0.
612
-
2110x
--+
11x21x
+-
= 0 .
11x1x2
-+
11x
12x24x
+-
11x4x
+-
= 0.
11x
Выполнить действия над матрицами:
41. C = 2A + B,
110
где A =
æ
ç
ç
è
ö
÷
, B =
÷
--412
ø
42. C = A · B,
-
101
где A =
æ
ç
ç
è
ö
÷
, B =
÷
412
ø
43. D = (2A + B) · C,
где A = (4 0–2 3 1),
C .
B = (1–1 6 8 0),
44. D = A · B · C, где
011
æ
ç
ç
A =
ç
ç
ç
è
45. D = A2, где A =
46. D = A3, где A =
47. D = A4, где A =
ö
÷
211
÷
; B =
÷
122
÷
÷
413
ø
-3421
æ
ç
ç
è
æ
ç
ç
è
a01
æ
ç
ç
è
-
11
æ
ç
-
21
ç
ç
30
è
ö
÷
;
÷
ø
x1
ö
÷
;
÷
10
ø
ö
÷
;
÷
a
ø
-
æ
ç
ç
-
è
æ
ç
ç
ç
è
3
æ
ç
1
ç
ç
=
-
ç
ç
0
ç
1
ö
÷
; C =
÷
÷
ø
1
36.
38.
40.
31
22
-16
ö
÷
÷
÷
÷
÷
÷
32x2
-+
= 0 .
611
-
x335
-
+
321
ö
÷
.
÷
213
ø
ö
÷
.
÷
÷
ø
1
ö
æ
÷
ç
;
÷
ç
4
ø
è
1x1x2
= 0 .
111x2
xx1
-
11x6x
-+
= 0 .
11x1x
+-
11x2
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]