Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций. Лабораторный практикум
.pdf
МИНИCTEPCTBO ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
Направление подготовки 38.03.05 Бизнес-информатика
Профили подготовки: «Электронный бизнес»,
«Информационная бизнес-аналитика»
Бакалавриат
Ставрополь
2017
1
УДК 330.45:519.8 (075.8)
ББК 22.18:65в6 я73
И 88
Печатается по решению
редакционно-издательского совета
Северо-Кавказского федерального
университета
Рецензенты:
канд. экон. наук, доцент О. Г. Орлинская,
канд. экон. наук К. И. Костюков
(Ставропольский филиал МПГУ)
И 88 Исследование операций: лабораторный практикум /
сост.: Д. Г. Ловянников, И. Ю. Глазкова. – Ставрополь:
Изд-во СКФУ, 2017. – 108 с.
Пособие включает лабораторные работы, освоение которых позволит получить необходимые умения и навыки в
области исследования операций; рассмотрены современные методы исследования операций, типы задач исследования операций, их особенности и свойства; методология формализации и
решения таких задач.
Предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготовки 38.03.05 Бизнес-информатика, профилям
подготовки: «Электронный бизнес», «Информационная бизнесаналитика». Может быть полезно специалистам-практикам, занимающимся проблемами построения математических моделей
различных практических задач.
УДК 330.45:519.8 (075.8)
ББК 22.18:65в6 я73
© ФГАОУ ВО «Северо-Кавказский
федеральный университет», 2017
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Целью усвоения данной дисциплины является формирование набора (ПК-18) компетенций будущего бакалавра по
направлению подготовки 38.03.05 Бизнес-информатика.
Задачами дисциплины являются:
˗ формирование комплексных знаний и практических
навыков о задачах, моделях и методах исследования операций;
˗ развитие способностей применять математический ап-
парат для решения профессиональных задач.
Дисциплина «Исследование операций» входит в базовую
часть учебного плана по направлению 38.03.05 Бизнесинформатика. Изучается в 4 семестре.
Указания по технике безопасности
К выполнению лабораторных работ по каждой теме, предложенной в пособии, допускаются студенты, ознакомившиеся с
правилами работы в лаборатории и прошедшие инструктаж по
технике безопасности.
3
1. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ.
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Цель работы – научится решать задачи на оптимизацию.
Формируемые компетенции или их части: ПК-18 –
способность использовать соответствующий математический
аппарат и инструментальные средства для обработки, анализа
и систематизации информации по теме исследования
Теоретическая часть
Оптимизационные модели широко используются в
экономике и технике. Среди них задачи подбора сбалансированного рациона питания, оптимизации ассортимента продукции, транспортная задача и т. д.
Под оптимальным проектированием обычно понимают
процесс принятия наилучших (оптимальных) в некотором
смысле решений, что осуществляется с помощью ЭВМ. При
этом предполагается наличие формализованных критериев оптимизации и математических моделей проектируемых
устройств. Наиболее общим критерием оптимизации является
технико-экономический критерий эффективности функционирования всей проектируемой системы. Обобщенный критерий в
большинстве случаев включает в себя ряд частных критериев,
поэтому задача оптимального проектирования является задачей
многокритериальной оптимизации.
В любой практической оптимизационной задаче существует много совпадающих этапов. Наиболее важным этапом является моделирование рассматриваемой физической ситуации с
целью получения математической функции, которую необходимо минимизировать, а также определения ограничений, если
таковые существуют. Затем следует выбрать подходящую процедуру для осуществления минимизации. Эта процедура должна быть реализована на практике, что определяет использование ЭВМ для выполнения большого объема вычислений.
И, наконец, математический результат должен быть интерпретирован в терминах физического содержания задачи.
Таким образом, можно сформулировать общий путь решения задач, в которых используются методы оптимизации:
4
1) выполняется общая постановка задачи: описывается объ-
ект исследования и хотя бы в описательной форме формулируются желания исследователя на выбор наилучшей стратегии;
2) составляется математическая модель объекта;
3) математически формулируются желания исследователя,
т. е. составляется функция качества; иногда удается математическую модель подставить в функцию качества и получить
явную зависимость функции качества от управляющих воздействий, т. е. от возможных стратегий управления объектом; в
остальных случаях математическая модель выступает в роли
ограничений на управление;
4) составляется критерий оптимальности, который, как
правило, заключается в требовании минимума или максимума
функции качества по управляющим воздействиям при наличии
ограничений;
5) решается экстремальная задача с помощью метода оптимизации.
Так как работоспособный вариант проектируемого устройства не единственный, для сравнения нескольких вариантов и
выбора среди них наилучшего (в некотором смысле) необходимо ввести критерий оптимальности (функцию цели, крите-
рий эффективности) , экстремальное значение (максимум
или минимум) которого численным образом характеризует
свойства одного из наиболее важных технико-экономических
показателей проектируемого устройства. Этот критерий, показывающий относительное предпочтение одного варианта по
отношению к другим, определяет цель проектирования и вме-
сте со списком оптимизируемых параметров и описанием
допустимой области образует математическую модель при-
нятия решений в задаче оптимального проектирования:
(1.1)
Выражение (1.1) является сокращенной записью следующей обобщенной модели принятия оптимального решения:
Найти значения оптимизируемых параметров
обеспечивающих минимальное значение
критерия оптимальности
(1.2)
5
при выполнении условий работоспособности проектируемого
устройства
для (1.3)
где
,
– нижнее и верхнее предельные значения для j-го
(1.4)
оптимизируемого параметра, характеризующие диапазон его возможных изменений исходя из условий эксплуатации, технологии
изготовления, физических и конструктивных соображений.
Таким образом, решение задачи оптимального проектиро-
вания сводится к выбору оптимизируемых параметров , при-
надлежащих допустимой области и обеспечивающих экс-
тремальное значение критерия оптимальности . Оптималь-
ным решением задачи является вектор
, удовлетворяющий
системе неравенств (1.3)–(1.4) и обеспечивающий минимальное
значение критерия оптимальности (1.2).
Классифицируем задачи оптимизации, обсуждая термины,
вошедшие в общую формулировку.
Целевая функция представляет со-
бой набор критериев качества, которые должны быть оптимизи-
рованы одновременно. Соответственно, при имеем задачу
однокритериальной или скалярной оптимизации, а при –
задачу многокритериальной или векторной оптимизации.
Вектор неизвестных может со-
держать одну компоненту и тогда мы имеем задачу
одномерной (или иногда говорят линейной) оптимизации, а
может иметь и много составляющих и тогда перед
нами задача многомерной оптимизации или задача оптимизации со многими переменными.
Допустимая область может совпадать с пространством
оптимизации , что означает отсутствие каких-либо
ограничений на неизвестные. В этом случае имеем задачу без-
условной оптимизации или задачу оптимизации без ограниче-
ний. Если же принадлежит , то в задаче не все значения
переменных допустимы, т. е. имеются некоторые ограничения
на них. Соответствующая задача оптимизации называется
условной, или задачей с ограничениями.
6
Пространство оптимизации может совпадать с евклидо-
вым пространством и мы получаем задачу оптимизации с
непрерывными переменными. Если переменные являются цело-
численными, то соответствующая задача носит название задачи
целочисленной оптимизации. Частным случаем целочисленной
оптимизации является так называемая булевая оптимизация,
при которой переменные могут принимать только два значения – ноль и единица. Если при этом целевая функция принимает значения из множества вещественных чисел, то такая
задача называется задачей псевдобулевой оптимизации, чтобы
подчеркнуть ее отличие от случая, когда и значения функции
тоже являются нулем или единицей. Если же значение целевой функции зависит от некоторых комбинаций объектов из
конечного набора, их размещения или способа упорядочения,
то такие задачи называются задачами комбинаторной оптими-
зации Задачи целочисленной и комбинаторной оптимизации
объединяются понятием задач дискретной оптимизации. Наконец, существуют задачи смешанной оптимизации в которых
могут одновременно присутствовать переменные всех типов.
Наиболее известным частным случаем таких задач являются
задачи смешанного целочисленного программирования с целочисленными и непрерывными переменными.
До сих пор при классификации задач оптимизации мы не
учитывали конкретной формы задачи и свойств функций, входящих в ее постановку. Рассмотрим теперь варианты, возникающие в этом случае.
Прежде всего, целевая функция и функции, описывающие
ограничения, могут быть заданы не аналитически, а в виде
компьютерных программ, имитационных моделей, человекомашинных процедур или даже как выход реальной системы.
Такие задачи оптимизации называют задачами оптимизации с неявными функциями, или поисковыми задачами оптимизации. Процесс оптимизации в таком случае больше похож
на экспериментирование, чем на вычисление. Если же все
функции, входящие в постановку задачи, записываются в явном аналитическом виде, т. е. допускают их математический
анализ, то соответствующая задача оптимизации называется
задачей математического программирования. Чаще всего ма-
7
тематическим программированием называют задачи оптимизации с ограничениями, подчеркивая их отличие от задач безусловной оптимизации с явным заданием целевой функции.
Кроме того, в математическое программирование обычно не
включают задачи, целевая функция которых имеет более одного локального экстремума. Такие задачи называют задачами
глобальной или многоэкстремальной оптимизации, в отличие
от задач локальной оптимизации. Не относят к математическому программированию и многокритериальные задачи.
Дальнейшая классификация строится на свойствах, входящих в формулировку функций. Если все функции, входящие в
постановку, являются непрерывно дифференцируемыми, то соответствующая задача может быть названа задачей дифферен-
цируемой оптимизации, хотя такой термин используется очень
редко, в отличие от термина недифференцируемая оптимиза-
ция, который используется активно и подчеркивает отсутствие
свойства дифференцируемости у функций задачи. Если как
целевая функция, так и функции-ограничения являются линейными относительно независимых переменных, то такая задача
называется задачей линейного программирования.
Если целевая функция сепарабельна, т. е. изменяется
независимо по каждой переменной в отдельности, а ограничения линейны, то задача называется задачей сепарабельного
программирования.
Если целевая функция квадратичная, а ограничения линейны,
то задача называется задачей квадратичного программирования.
Если целевая функция выпукла, а функции-ограничения образуют
выпуклую допустимую область, то соответствующая задача носит
название задачи выпуклой оптимизации.
В случае функций общего вида говорят об общей задаче
нелинейного программирования.
Также необходимо отметить, что если решение принимается в условиях неизменности оптимизируемого объекта в течение времени принятия решения, то объект оптимизации является статическим. Если же объект является динамическим,
т. е. необходимо решение принимать многократно с учетом
изменения ситуации или объекта в течение времени принятия
решения, то получаемые задачи называются задачами динами-
8
ческой оптимизации, a методы их решения являются предметом теории оптимального управления. Другой взгляд на такие
задачи постулирует, что в таком случае неизвестным является
не вектор, т. е. набор чисел, а функция (оптимальное управление во времени), т. е. бесконечный набор пар, состоящих из
момента времени и значения функции оптимального управления в этот момент времени. Тогда эти задачи называют задачами бесконечномерной оптимизации.
Предполагалось также, что все функции и коэффициенты,
входящие в постановку задачи являются постоянными величинами, а они могут на самом деле зависеть от некоторого параметра или параметров. В таком случае нужно изучать поведение оптимального решения при изменении исходных данных
задачи, разрабатывать методы, позволяющие находить оптимальный план сразу для совокупности значений параметров.
Соответствующие задачи получили название параметрических
задач оптимизации, а этот раздел методов оптимизации назы-
вается параметрическим программированием.
Наконец, до сих пор, опять-таки неявно, предполагалось,
что вся исходная информация определена однозначно. Такие
задачи называются детерминированными. Такие модели могут
оказаться неадекватными реальным процессам, которые могут
характеризоваться неполнотой, неточностью данных, на основе
которых формируется модель.
В ситуациях, когда все или некоторые параметры модели носят вероятностный характер, говорят о принятии решения в условиях риска, и соответствующие оптимизационные задачи называют
стохастическими, а соответствующий раздел теории – стохастическим программированием, или стохастической аппроксимацией.
В программе Microsoft Exce реализована специальная
надстройка (поиск решения), которая позволяет решать задачи
такого типа. С помощью данного оптимизатора можно находить множество значений переменных, удовлетворяющих критериям оптимизации.
Программа оптимизации в Microsoft Excel вызывается командой «Данные/Поиск решения». Если данная команда отсутствует, ее необходимо включить в разделе «Параметры Excel /
9
Надстройки». В результате выполнения команды появляется
диалоговое окно «Поиск решения».
Оборудование и материалы (перечень используемого
оборудования) – соответствующее программное обеспечение.
Задание 1. Проверьте установку надстройки поиск ре-
шения.
1. Запустите Excel
2. Выполните пункт меню Данные.
3. Если нет команды Поиск решения, выполните команду
надстройки. В открывшемся окне диалога установите флажок
Поиск решения.
4. Нажмите ОК.
Задание 2. Используя поиск решения, составить план
производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.
Условие задачи
Найти Zmax = 7x1 + 9x2 при ограничениях:
3x1 + 6x2 102
4x1 + 3x2 91
5x1 + 2x2 105
1. Установите, что в ячейках Е1 и Е2 записаны значения
Х1 и Х2.
2. В ячейку А1 запишите формулу целевой функции
=7 ∙ Е1 + 9 ∙ Е2.
3. В диапазоне ячеек А2 : В4 запишите матрицу ограни-
чений: А2: = 3 ∙ E1; B2: = 6 ∙ E2; A3 : = 4 ∙ E1; B3: = 3 ∙ E2;
A4: = 5 ∙ E1; B4: = 2 ∙ E2
4. В ячейках С2 : С4 запишите значения ограничений
102, 91, 105 как это показано на рис. 1
Рис. 1. Исходные данные
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]