Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций. Лабораторный практикум
.pdf
Первые компонент этого решения образуют некоторое не-
1 1 2 2 1 1
... ( ... ),
n n n n n m
w c x c x c x M s s s
отрицательное решение системы ограничений
(4.2) исходной задачи (4.1)–(4.3), притом оно является базисным
по построению, т. е. среди компонент
не более
m отличных от нуля. В этом случае в полученной предпочи-
таемой форме системы (4.4) мы отбрасываем все искусственные неизвестные и, рассматривая результат как предпочитаемый эквивалент исходной системы уравнений (4.2), приступаем к решению исходной задачи (4.1)–(4.3).
Последние рассуждения справедливы в предположении, что
рассматривается невырожденная задача. Если же задача является
вырожденной, то может случиться, что
, но не все искус-
ственные неизвестные выведены из базиса. Тогда следует учесть,
что правая часть уравнения, содержащего искусственную базисную
неизвестную, должна быть равна нулю, и потому мы можем либо
отбросить это уравнение, если оно содержит только искусственные
неизвестные
либо, если оно содержит хотя
бы одну из исходных неизвестных принять это
уравнение за разрешающее и исключить какую-нибудь из этих
неизвестных из всех других уравнений, чтобы вытеснить искусственную базисную неизвестную в число свободных, помня, что в
случае необходимости можно рассматриваемое уравнение умножить на -1.
На практике вместо последовательной минимизации двух
функций и часто рассматривают одну целевую функцию
(4.7)
где число M предполагается положительным и большим любого
числа, с которым его придется сравнивать, и решают задачу максимизации целевой функции (4.7) при условиях (4.4) и (4.5).
Данный метод решения применяется при наличии в системе ограничений и условий-равенств, и условий-неравенств и
является модификацией табличного метода. Решение системы
производится путём ввода искусственных переменных Ri со
знаком, зависящим от типа оптимума, т. е. для исключения из
базиса этих переменных; последние вводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффициентами M, имеющими смысл «штрафов» за ввод искусственных переменных, а
в задачи минимизации – с положительными M. Таким обра-
31
зом, из исходной получается новая M-задача (поэтому метод
x1
x2
...
x
n-1
xn b F
–a
0,1
–a
0,2
...
–a
0,n-1
–a
0,n
–b0
x
n+1
a
1,1
a
1,2
...
a
1,n-1
a
1,n
b1
x
n+2
a
2,1
a
2,2
...
a
2,n-1
a
2,n
b2
Ri
a
i,1
a
i,2
...
a
i,n-1
a
i,n
bi
...
...
...
...
...
...
...
x
n+m
a
m,1
a
m,2
...
a
m,n-1
a
m,n
bm M –∑
ai,1
–∑a
i,2
...
–∑a
i,n-1
–∑
ai,n
–∑bi
искусственного базиса также называют M-методом).
Если в оптимальном решении М-задачи нет искусственных
переменных, это решение есть оптимальное решение исходной
задачи. Если же в оптимальном решении M-задачи хоть одна из
искусственных переменных будет отлична от нуля, то система
ограничений исходной задачи несовместна и исходная задача неразрешима.
Симплекс-таблица, которая составляется в процессе решения с
использованием метода искусственного базиса, называется расширенной. Она отличается от обычной тем, что содержит две строки
для функции цели: одна – для составляющей F, а другая – для
составляющей M. При составлении симплекс таблицы полагают,
что исходные переменные являются небазисными, а дополни-
тельные (xn+m) и искусственные (Ri) – базисными.
Исходная таблица для «Метода искусственного базиса»
имеет следующий вид (табл. 5):
Таблица 5
Исходная таблица для «Метода искусственного базиса»
Элементы дополнительной строки M рассчитываются как
сумма соответствующих коэффициентов условий-равенств
(условий в которые после приведения к каноническому виду
введены переменные Ri) взятая с противоположным знаком.
Оборудование и материалы (перечень используемого
оборудования) – соответствующее программное обеспечение.
Задание 1. Решить задачу
Решим задачу с искусственным базисом (хотя бы один
знак неравенств-ограничений «≥» или «=»).
32
2,1,0
42
33
643
max164
21
21
21
21
ix
xx
xx
xx
xxz
i
12
1 2 3
12
1 2 4
4 16 max
3 4 6
33
24
0, 1...4
i
z x x
x x x
xx
x x x
xi
.0,0,4,...,1,0
42
33
643
164
21
421
221
1321
2121
RRix
xxx
Rxx
Rxxx
RRMxxz
Запишем задачу в канонической форме (в виде системы
уравнений, что требует симплекс-метод), для этого введем две
переменные х3 ≥ 0 и х4 ≥ 0 получим
Система ограничений предлагает только одну допустимую
базисную переменную x4, только она входит только в одно уравнение – в третье с коэффициентом 1, поэтому в первое и второе
уравнения добавляем искусственные переменные R1 ≥ 0 и R2 ≥
0. Чтобы можно было применить симплекс-метод, система уравнений-ограничений должна быть системой с базисом, т. е.
в каждом уравнении должна быть переменная с коэффициентом 1,
которая входит только в одно уравнение системы, в нашем случае это R1, R2 и x4. Получили так называемую М-задачу:
Данная система является системой с базисом, в которой
R1, R2 и x4 базисные переменные, а x1, x2 и x3 свободные переменные, свободные члены всех уравнений неотрицательны.
Следовательно, для решения задачи можно применить симплекс-метод. Запишем начальную симплекс-таблицу (табл. 6):
33
Таблица 6
БП
x1
x2
x3
R1
R2
x4
Решение
Отношение
z
–4
–16 0 0 0 0 0 -
R1 3 4
–1 1 0 0 6
6/4 = 3/2
R2 1 3 0 0 1 0 3 3/3 = 1
x4 2 1 0 0 0 1 4 4/1 = 4
Оценка
–4
–7 1 –1
–1 0 -
-
БП
x1
x2
x3
R1
R2
x4
Решение
Отношение
z
4/3 0 0 0 16/30 0 16 - R1
5/3 0 -1 1 -4/3 0 2
6/5
x2
1/3 1 0 0 1/3 0 1
3
x4
5/3 0 0 0 -1/3 1 3
9/5
Оценка
-5/3 0 1
-1
4/3 0 -
-
Итерация 0
В таблицу для задач с искусственным базисом добавлена
строка «Оценка». Она получается суммированием соответствующих коэффициентов строк с искусственными переменными (R) с
обратным знаком. Она будет присутствовать в таблице до тех
пор, пока хотя бы одна из искусственных переменных есть в
базисе. По наибольшему по модулю отрицательному коэффициенту строки «Оценка» определяется разрешающий столбец, пока
она есть в таблице. Когда строка «Оценка» выйдет из таблицы
(в базисе нет искусственных переменных), разрешающий столбец
будет определяться по z-строке, как и в задаче с начальным базисом. В данной таблице разрешающий столбец х2 выбран по
наибольшей по модулю отрицательной оценке (-7). Разрешающая
строка R2 выбрана по наименьшему отношению столбца «Решение» к соответствующим положительным элементам разрешающего столбца, как и в задаче без искусственных переменных.
Это значит, что на следующей итерации переменная х2 из свободной перейдет в базисную, а переменная R2 из базисной –
в свободную. Запишем следующую симплекс-таблицу (табл. 7):
Таблица 7
Итерация 1
ходит из базиса, x1 входит в базис. После этого в базисе не
Разрешающий столбец х1, разрешающая строка R1, R1 вы-
34
остается искусственных переменных, поэтому строки «Оценка»
БП
x1
x2
x3
R1
R2
x4
Решение
Отношение
z 0 0
4/5
-4/5
32/5 0 72/5
-
x1 1 0
-3/5
3/5
-4/5 0 6/5
-
x2 0 1
1/5
-1/5
3/5 0 3/5
-
x4 0 0 1 -1 1 1 1 -
431
2 xxxF
0,0,0,0
1233
0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
321
22 xxxF
0,0,0
53
663
321
321
321
xxx
xxx
xxx
в следующей таблице нет (табл. 8):
Таблица 8
Итерация 2
Далее разрешающий столбец выбирается по z-строке. В zстроке все коэффициенты неотрицательны, кроме коэффициента при искусственной переменной R1, который не влияет на
оптимальность, когда искусственные переменные вышли из
базиса. Следовательно, получено оптимальное решение x1 =
6/5; x2 = 3/5; z
= 72/5.
max
Задание 2. Решить задачу
Найти наибольшее значение функции
при следующих ограничениях:
Задание 3. Решить задачу
Найти наименьшее значение функции
при следующих ограничениях:
Особые случаи применения симплекс-метода
1. Когда прямая (если рассматривается двухмерная задача
линейного программирования, а в общем случае гиперплоскость),
представляющая целевую функцию, параллельна прямой (гипер-
35
плоскости), соответствующей одному из неравенств-ограничений
(которое в точке оптимума выполняется, как точное равенство)
целевая функция принимает одно и то же оптимальное значение
на некотором множестве точек границы области допустимых решений. Эти решения называются альтернативными оптимальными
решениями. Наличие альтернативных решений можно определить
по оптимальной симплекс-таблице. Если в z-строке оптимальной
таблицы есть нулевые коэффициенты небазисных переменных, то
есть альтернативные решения.
2. Если в разрешающем столбце симплекс-таблицы все
коэффициенты меньше или равны нуль, то нельзя выбрать
разрешающую строку, в этом случае решение неограниченно.
3. Если ограничения задачи линейного программирования
несовместны (т. е. они не могут выполняться одновременно),
то задача не имеет допустимых решений. Такая ситуация не
может возникнуть, если все неравенства, составляющие систему ограничений, имеют тип «≤» с неотрицательными правыми
частями, т. к. в этом случае дополнительные переменные могут составить допустимое решение. Для других типов ограничений используются искусственные переменные. Если задача
имеет решение, то в оптимальной таблице в базисе нет искусственных переменных (Ri). Если они там есть, то задача не
имеет решений.
Контрольные вопросы
1. Что такое метод искусственного базиса?
2. Что такое вспомогательная задача?
3. Что такое критерий неразрешимости?
4. Что такое базис?
5. Роль базиса в симплексной таблице?
Литература: 1–5.
Интернет-ресурсы: 1–3.
36
5. ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Цель работы – научится решать двойственные задачи
линейного программирования.
Формируемые компетенции или их части: ПК-18 –
способность использовать соответствующий математический
аппарат и инструментальные средства для обработки, анализа
и систематизации информации по теме исследования
Теоретическая часть
Двойственность является важным понятием в линейном
программировании, имеющим экономическое (практическое)
применение. Например, для задачи оптимального распределения ресурсов для производства некоторых видов товаров пара
прямой и двойственной задачи принимает следующий экономический смысл:
Прямая задача: Сколько и какой продукции xj необходимо производить, чтобы при заданных доходах Cj и объемах
ресурсов bi максимизировать доход от продажи продукции?
Двойственная задача: Какова должна быть «теневая» цена
каждого ресурса yi, чтобы при заданных количествах bi и доходах Cj минимизировать затраты?
Для составления двойственных задач используют специальные правила, при решении же выбирают один из наиболее
подходящих методов решения ЗЛП: симплекс-метод, графический метод. Более того, так как между парой двойственных
задач существует связь, иногда достаточно решить только одну из задач, чтобы получить решение второй.
Задача оптимального планирования производства состоит в
отыскании такого плана выпуска продукции
который позволяет получить максимальную выручку
(5.1)
при ограничениях по имеющимся у предприятия ресурсам
37
причем
Здесь это цены продуктов,
запасы ресурсов, а каж-
дый из элементов матрицы равен расходу i-го ресурса
на производство единицы j-го продукта.
По оптимальному плану производства некоторые ресурсы
используются полностью (назовем их дефицитными), а другие
ресурсы избыточны. Более того, различные виды ресурсов в
процессе производства оказываются неравноценными в том
смысле, что незначительное увеличение объема одного дефицитного ресурса может сильно повлиять на получаемую прибыль, а увеличение объема другого дефицитного ресурса на
то же количество повлияет значительно меньше.
В рамках модели линейного программирования предприятия должна существовать внутренняя система оценки ресурсов,
используемых им в процессе производства. Эти оценки связаны с технологическими особенностями данного производствен-
ного процесса, характеризуемыми матрицей , со структурой
и количеством ресурсов, отпущенных для производственного
потребления, описываемых вектором , а также со структурой
внешних цен, на основе которых получается вектор цен c.
Условимся называть эти оценки расчетными оценками ресурсов. Подчеркнем, что расчетную оценку единицы ресурса не
следует отождествлять с той ценой, по которой предприятию
был отпущен этот ресурс и которая определяется рынком. В
отличие от рыночной цены, расчетная оценка показывает
только сравнительную ценность данного ресурса на данном
предприятии в данных конкретных условиях.
Установим эти расчетные оценки.
Обозначим через
оценку единицы i-го вида ресурса,
– вектор оценок ресурсов.
На производство единицы продукции j-го вида мы должны
затратить различные виды ресурсов в количествах
, и их суммарная оценка будет равна
38
mmjjj
yayaya ...
2211
. Очевидно, что суммарная расчетная
....
2211 mm
ybybyb
оценка тех ресурсов, из которых можно изготовить единицу
продукции j-го вида, должна быть не меньше отпускной цены
данной продукции:
При этом, чтобы расчетные оценки были объективными,
целесообразно минимизировать суммарную оценку всех ресур-
сов
Кроме того, естественно счи-
тать расчетные оценки неотрицательными.
Таким образом, мы пришли к новой задаче линейного
программирования – найти вектор оценок ресурсов суммарную
оценку всех ресурсов
при условиях
где
Полученную задачу линейного программирования (5.4)–
(5.6) назовем двойственной задачей к задаче (5.1)–(5.3). Рас-
четные оценки ресурсов, соответствующие оптимальному плану производства, служат компонентами оптимального решения
двойственной задачи. Поэтому часто компоненту
оптималь-
ного решения двойственной задачи называют двойственной
оценкой i-го ресурса.
Пусть дана задача линейного программирования с максимизируемой целевой функцией и ограничениями – неравенствами вида «≤» (с правыми частями произвольного знака,
необязательно неотрицательными). Двойственной задачей для
такой задачи линейного программирования называется задача
линейного программирования, которая получается из исходной
задачи следующим образом:
39
˗
каждому ограничению-неравенству исходной задачи ставится в соответствие переменная двойственной задачи, принимающая неотрицательные значения;
˗
матрица коэффициентов при неизвестных транспонируется;
˗
правые части ограничений переходят в коэффициенты
целевой функции;
˗
коэффициенты целевой функции переходят в правые части ограничений;
˗
знаки неравенств меняются на противоположные (т. е.
на «≥»);
˗
от максимизации целевой функции переходят к минимизации.
Говорят, что задачи линейного программирования (5.1)–
(5.3) и (5.4)–(5.6) образуют симметричную пару.
Если система ограничений исходной задачи содержит неравенство вида «≥», его перед построением двойственной задачи
следует умножить на –1, точно так же следует поступить с целевой функцией исходной задачи, если она минимизируется.
Если же система ограничений исходной задачи содержит
как неравенства, так и уравнения, то в двойственной задаче
переменные, отвечающие ограничениям-равенствам, могут принимать значения любого знака, тогда как ограничениямнеравенствам будут соответствовать неотрицательные переменные (это следует из того факта, что уравнение эквивалентно
двум неравенствам с противоположными знаками). Таким образом, пара двойственных задач может быть записана в виде
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]