Исследование операций. Линейное программирование. Методическое пособие для студентов экономических специальностей

УДК –517.934

ББК – 221.18

К – 41

Кинторяк, Е. Н. Исследование операций. Линейное программирование: метод. пособие для студентов эконом. специальностей / Е. Н. Кинторяк. – Симферополь: АНО «ООВО» «Университет экономики

иуправления», 2019. – 52 с.

Впособии рассматриваются элементы математического моделирования экономических процессов, а именно – модели линейного программирования, методы линейного программирования с целью наиболее эффективного управления различными организационными системами.

Пособие будет полезно для студентов экономических специальностей.

3

ВВЕДЕНИЕ

Пособие написано в соответствии с требованиями государственного общеобразовательного стандарта в области прикладной математики для бакалавров экономических специальностей.

Целью дисциплины «Исследование операций» является разработка и практическое применение методов эффективного управления экономическими системами, количественное обоснование принимаемых решений по организации управления.

Объектом изучения являются экономические процессы и отношения, возникающие в произ- водственно-информационной сфере человеческой деятельности. В качестве предмета исследования целеесообразно рассматривать производственные процессы экономической деятельности.

Методами дисциплины «Исследование операций» являются прикладные экономическо-математические методы моделирования экономических процессов:

–метод концептуального моделирования;

–графический метод;

–симплексный метод;

–метод потенциалов;

–игровой подход к моделированию;

–классические методы дифференциального исчисления;

–метод множителей Лагранжа;

–метод кусочно-линейной аппроксимации и другие приближённые методы;

–методы спуска;

–методы динамического программирования;

–методы стохастического программирования.

В данном пособии повествуется о задачах линейного программирования и методах их решений.

4

Тема 1. Общие положения. Графический метод

Общие положения. Основные понятия исследования операций. Постановка задач принятия оптимальных решений. Методология и методы принятия решений.

1.1. Основные понятия

Исследование операций – это наука о рацио-

нальных способах организации целенаправленной человеческой деятельности.

Под операцией понимается мероприятие или система мероприятий, направленных на достижение какой-либо цели.

Операция – это всегда управляемое мероприятие, т. е. от исследователя зависит, каким способом выбрать некоторые параметры ее организации. «Организация» здесь понимается в широком смысле слова, включая набор технических средств, применяемых в операции.

Всякий определенный выбор зависящих от нас параметров называется решением. Решения могут быть удачными и неудачными, разумными и неразумными.

Оптимальными называются решения, по тем или другим признакам предпочтительные перед другими. Цель исследования операций – предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

Экономико-математическое моделирование –

описание экономических процессов и явлений в виде

экономико-математических моделей. Оно играет большую роль как в развитии экономической теории, так и в современной экономической практике.

Практическими задачами экономико-матема- тического моделирования являются:

•анализ экономических объектов и процессов;

•экономическое прогнозирование, предвидение развития экономических процессов;

5

• выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной иерархии.

Экономико-математическое моделирование,

как общий алгоритм построения и исследования прикладных математических моделей, включает шесть

этапов:

Этап 1. Построение концептуальной модели при наличии некоторых сведений об объекте-оригинале. Формулируются базовые принципы модели, внутренние и внешние связи исследуемой системы.

Этап 2. Построение математической модели. Выбирается форма одной из известных математических моделей или создается собственная модель.

Этап 3. Модель выступает как самостоятельный объект исследования. В результате этого этапа выделяется совокупность знаний о модели в отношении существенных сторон объекта-оригинала, которые отражены в данной модели.

Этап 4. Перенос знаний с модели на оригинал, если результат сопоставления соответствует признакам сходства модели и оригинала.

Этап 5. На пятом этапе происходит практическая проверка знаний с помощью модели и их использование как для построения обобщающей теории реального объекта, так и для его целенаправленного преобразования или управления им. В итоге мы снова возвращаемся к проблематике объекта-оригинала.

Этап 6. Анализ результатов и их применение. Суть экономико-математического моделирования

в том, что оно является методом опосредованного познания с помощью объектов-заместителей, которые мы называем моделями. Модель выступает как «рукотворный, промежуточный» инструмент познания, стоящий между исследователем и объектом. С помощью

6

В общем случае ЗЛП может иметь бесконечное множество решений. Решение X x1; x2 ;...; xn ,

удовлетворяющее ограничениям (1.2.2), называют

планом.

удовлетворяет всем ограничениям системы (1.2.2), условию (1.2.3) и при этом доставляет максимум (минимум) целевой функции (1.2.1).

Модель задачи линейного программирования может быть задана в одной из следующих форм.

8

фициенты при переменных в основных ограничениях задачи; bi – правые части ограничений.

Пример. Составить экономико-математическую модель задачи: Для выпуска изделий двух типов А и В на заводе используют сырье четырех видов (I, II, III, IV). Для изготовления изделия А необходимо: 2 ед. сырья первого вида, 1 ед. второго вида, 2 ед. третьего вида и 1 ед. четвертого вида. Для изготовления изделия В требуется: 3 ед. сырья первого вида, 1 ед. второго вида, 1 ед. третьего вида. Запасы сырья составляют: I вида – 21 ед., II вида – 8 ед., III вида – 12 ед., IV вида – 5 ед. Выпуск одного изделия типа А приносит 3 у.е. прибыли, а одного изделия типа В – 2 у.е. Составить план производства, обеспечивающий наибольшую прибыль.

Решение. Оформим условие данной экономической задачи в виде таблицы:

Обозначим через x1, x2 – количество выпускаемых изделий типа А и В соответственно ( x1 0 , x2 0 ).

Тогда прибыль от выпуска изделий А и В составит: 3x1 2x2 , т.к. план производства должен

9

обеспечивать наибольшую прибыль, то целевая функция задачи:

Составим систему ограничений, используя заданную ограниченность сырья. При планируемых объемах производства расходуется сырья I вида: 2x1 3x2 (ед.), что не должно превышать запас 21 ед. Т.о.

неравенства по каждому виду сырья, получим систему:

1.3. Решение задач линейного программирования графическим методом применяется для:

решения задач с двумя переменными, когда ограничения выражены неравенствами;

решения задач со многими переменными при условии, что в их канонической записи число переменных на 2 превышает число уравнений (число свободных переменных не более двух).

10