Исследование операций. Линейное программирование. Методическое пособие для студентов экономических специальностей

Здесь 1 и 2 не удовлетворяют условию оптимальности, т.к. они меньше нуля. Выбираем среди них большее по модулю. Это 2 . Следовательно, столбец переменной x2 – разрешающий. Значит, в новый базис нужно ввести переменную x2 .

следовательно, из базиса нужно вывести переменную x5 . Элемент a32 =1 – разрешающий. Новый базис: x3 , x4 , x2 , x6 .

Заполнение следующей таблицы начинаем со столбцов «Базис» и « cбі ». Потом заполняем

21

Оценочная строка четвертой таблицы показывает, что получен оптимальный план, так как все j 0 .

Свободные (небазисные) переменные x3* x4* 0 .

Итак, Xопт = (6; 4; 0; 0; 1; 3), Zmax = 0 = 24.

23

2.2. О задачах, решаемых М-методом

Рассмотрим случай недостатка базисных переменных в задаче линейного программирования. Если исходное ограничение записано в виде равенства "="

или имеет знак " ", то нельзя сразу получить допустимое начальное базисное решение, т.к. при записи задачи в стандартной форме, после введения дополнительных переменных, может получиться вариант, когда полученные уравнения не позволяют сформировать начальный допустимый базис в виде единичных орт.

искусственные переменные R . Искусственные переменные не имеют отношения к содержанию поставленной задачи, их введение допустимо только в том случае, если соответствующая схема вычислений будет обеспечивать получение оптимального решения, в котором все искусственные переменные окажутся равными нулю.

Переменные R определяют начальный допустимый базис с точки зрения возможного дальнейшего перехода в одну из вершин ОДР. За использование искусственных переменных в целевой функции вводится штраф М. В задаче максимизации М отрицательное (М<<0 как угодно малое число), в задаче минимизации М положительное (М>>0 как угодно большое число). А именно:

max Z C1x1 C2x2 MR

min Z C1x1 C2 x2 MR

Свойство величины М: При сложении

(вычитании) с любой конечной величиной d, определяющей любое значение, которое может

24

принимать каждая из переменных исходной ЗЛП, её

значение (переменной М) не меняется, а именно,

M d M 0 M d M 0

При составлении начальной симплекс-таблицы все переменные начального допустимого базиса (дополнительные и искусственные) должны располагаться в последних m столбцах перед правой частью.

Алгоритм получения оптимального решения:

1.Переход от неравенств к равенствам с учётом правил перехода – введение остаточных, избыточных, искусственных переменных и коэффициентов штрафа;

2.Определение числа базисных и небазисных переменных;

3.Получение Z–строки для заполнения. Для этого необходимо целевую функцию преобразовать к виду

переменные R j и подставить в Z-строку и привести к рациональному виду;

4.Заполнение. Перенесение коэффициентов Z- строки и равенств ограничений в соответствующие строки и столбцы симплекс-таблицы;

5.Исследование Z функции на условие оптимальности:

– определение разрешающего столбца (по знаку и величине коэффициентов небазисных переменных Z- строки);

– определение включаемой переменной из небазисных переменных;

6.Определение разрешающей строки по условию допустимости:

25

–определение минимального отношения при делении правых частей ограничений на положительные коэффициенты разрешающего столбца;

–определение исключаемой переменной из начального базиса;

7. Определение разрешающего элемента РЭ.

8. Получение B (0). Замена в матрице начального базиса коэффициентов исключаемой переменной на коэффициенты включаемой переменной; вычисление B

(0)по соответствующему правилу;

9.Определение элементов СТ(1) = В(0) СТ(0).

10.Исследование Z-строки СТ(1) на условие оптимальности.

Если условие не выполнено, то вычисления продолжаются и необходимо повторить пункты 5-10.

Если условие оптимальности выполнено, то решение ЗЛП симплекс-методом закончено, необходимо выделить оптимальные значения переменных и оптимальное значение целевой функции.

2.3. Особенности М-метода

Искусственные переменные образуют начальное базисное решение. Применив симплекс-метод, необходимо вывести из базиса все искусственные переменные. Если удается доказать (или показать), что искусственные переменные полностью вывести из базиса невозможно, то это означает, что задача не имеет решения, то есть ее ограничения противоречивы.

При применении к этой задаче симплекс-метода оценки ∆j теперь будет зависеть «от буквы М». Для сравнения оценок нужно помнить, что М – достаточно большое число.

Если все искусственные переменные вышли из базиса, то получаем исходную задачу. Если в

26

оптимальном решении М-задачи хотя бы одна из искусственных переменных отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна (задача неразрешима). В случае неразрешимости М-задачи будет неразрешима и исходная задача (либо максимум бесконечен, либо условия задачи противоречивы, то есть система ограничений несовместна).

Следующие теоремы постулируют условия оптимальности М-метода.

Теорема.

Если в оптимальном плане М-задачи все искусственные переменные = 0, то план является оптимальным планом исходной задачи.

Теорема.

Если в оптимальном плане М-задачи хотя бы одна из искусственных переменных отлична от нуля, то исходная задача не имеет допустимых планов, т. е. ее условия несовместны.

27

Тема 3. Транспортная задача как вид ЗЛП

3.1. Модель транспортной задачи открытого и закрытого типа

Транспортная задача возникает при планировании рациональных перевозок грузов. Математическая модель транспортной задачи в простейшем случае имеет вид:

Здесь: ai – запасы поставщиков; b j – спрос потребителей;

cij – тарифы, т.е. стоимости перевозки единицы груза от i -го поставщика к j -му потребителю;

Z – транспортные расходы;

xij – количество продукта, перевозимого от i -го поставщика к j -му потребителю.

Обычно транспортную задачу задают тремя матрицами: матрицей поставщиков, матрицей потребителей и матрицей тарифов.

Для наглядности транспортную задачу представляют в виде распределительной таблицы.

Любая транспортная задача имеет допустимое

Если условие (3.1.4) выполняется, то транспортную задачу называют транспортной задачей закрытого типа.

Допустимое решение транспортной задачи часто называют планом перевозок.

Рассмотрим транспортную задачу открытого

типа.

Если для транспортной задачи выполняется одно из условий

то модель задачи называют открытой. Чтобы такая задача имела решение, необходимо ее привести к закрытому типу, т.е. чтобы выполнялось равенство

распределительной таблице появится дополнительная строка). В обоих случаях тарифы полагают равными нулю. Далее задача решается по такому же порядку, как было рассмотрено ранее.

29

3.2. Различные методы построения начального опорного плана

а) Метод северо-западного угла.

Заполнение распределительной таблицы начинают с клетки (1;1), при этом x11 min a1;b1 . Далее смещаются или по строке вправо или по столбцу вниз до клетки am ;bn . Заполненные клетки должны

распространяться так, чтобы их можно было соединить ломаной линией, звенья которой взаимно перпендикулярны.

Пример. Построить методом северо-западного угла начальный опорный план для транспортной задачи: поставщики а = (20; 30; 40); потребители b = (15; 35; 20; 20); тарифы перевозок

Найти стоимость перевозок.

Решение. Строим распределительную таблицу и находим груз х11 = min (20; 15) = 15. По первому столбцу не перемещаемся, так как спрос І потребителя удовлетворен. Перемещаемся по І строке в клетку (1; 2):

х12 = min (а1 – х11; b2) = min (5; 35) = 5.

Теперь переходим по ІІ столбцу в клетку (2; 2):

х22 = min (30;b2 – х12) = min (30; 30) = 30.

Так как спрос ІІ потребителя удовлетворен и у ІІ поставщика продукция уже выбрана, то переходим к клетке (3; 3):

х33 = min (40; 20) = 20.

х34 = min (а3 – х33; b4) = min (20; 20) = 20.

Таким образом, получен план перевозок:

30