Исследование операций. Линейное программирование. Методическое пособие для студентов экономических специальностей

Тема 4. Теория двойственности. Анализ линейных моделей оптимизационных задач

4.1. Симметричные и несимметричные двойственные задачи линейного программирования

Рассмотрим задачу производственного планирования. Пусть предприятие имеет m видов ресурсов объемом bi единиц. Эти ресурсы должны быть

использованы для выпуска n видов продукции. Пусть aij

– норма потребления i-го вида ресурса на производство единицы j-ой продукции; c j – цена реализации j-ой

продукции; x j – объем производства j-ой продукции,

обеспечивающий предприятию максимальную выручку. План производства X x1; x2 ;...; xn следует составить из условия максимизации общей стоимости

Задачу (4.1.1) – (4.1.3) называют исходной.

41

По исходным данным задачи (4.1.1) – (4.1.3) сформируем другую экономическую задачу.

Предположим, что предприятию разрешено на его усмотрение реализовать все указанные ресурсы.

Необходимо установить цены на них – yi , i 1; m , пользуясь следующими соображениями:

–покупатель стремится минимизировать их общую стоимость;

–предприятие согласно продать по ценам, дающим прибыль не меньшую, чем выручка, которую оно может получить от реализации изготовленной продукции.

Эти требования можно записать в виде следующей ЗЛП:

yi 0 , i 1; m

Или в краткой форме записи:

венными оценками, или теневыми ценами.

ДЗ бывают симметричными и несимметричные. В симметричных ограничениях ПЗ и ДЗ – неравенства, а переменные обеих задач – неотрицательные.

42

В несимметричных ограничениях ПЗ могут быть записаны как уравнения, а ДЗ – только как неравенства. Соответствующие переменные ДЗ могут принимать любые значения и быть любого знака.

Задачи (4.1.1) – (4.1.3) и (4.1.4) – (4.1.6) называют парой взаимно двойственных симметричных задач,

они обладают следующими свойствами:

1.Если в одной задаче ищется максимум целевой функции, то в другой – минимум.

2.Коэффициенты при переменных в целевой функции одной задачи являются правыми частями ограничений другой задачи и наоборот.

3.В каждой задаче система ограничений задается

ввиде неравенств, причем все они одного смысла: если задача на max, то все неравенства содержат знаки « », если на min, то все неравенства содержат знаки « ».

4.Матрицы ограничений прямой и двойственной задач являются транспонированными друг к другу.

5.Число неравенств в системе ограничений одной задачи равно числу переменных другой задачи.

6.Условие неотрицательности переменных сохраняется в обеих задачах.

Примечание: Понятие «прямой» и «двойственной» задач условно.

4.2. Теоремы двойственности

Сформулируем теоремы двойственности, закрепляющие свойства взаимно-двойственных задач.

Если одна из двух задач (исходная или двойственная) обладает оптимальным планом, то и другая имеет решение, причем оптимальные планы этих задач равны, т.е. Zmax=Fmin, и наоборот.

43

Если ПЗ имеет оптимальный план Х*, определенный симплекс-методом, то оптимальный лан ДЗ Y* определяется из соотношения

Y*=сбазD-1, где сбаз – вектор-столбец из коэффициентов целевой функции ПЗ при базисных

переменных в оптимальном плане; D-1 – матрица, обратная к матрице D, составленной из базисных векторов начального опорного плана. D-1 содержится в последней симплекс-таблице в столбцах с начальными базисными переменными.

Если в результате подстановки оптимального плана ПЗ в систему ограничений этой задачи i-ое неравенство системы ограничений выполняется как строгое неравенство, то соответствующий i-ый компонент оптимального плана ДЗ =0. Если i-ый компонент оптимального плана ДЗ положительный, то i-ое неравенство ПЗ выполняется для оптимального плана как равенство.

Двойственная оценка характеризует прирост целевой функции, который обусловленный малыми изменениями свободного члена соответствующего ограничения.

4.3. Анализ моделей экономических задач

Рассмотрим следующую задачу. Предприятие планирует выпускать три вида продукции – П1, П2, П3. Для этого оно располагает объемами ресурсов трех видов Р1, Р2, Р3. Затраты каждого ресурса на изготовление единицы продукции и цена единицы продукции приведены в таблице:

44

Требуется:

1) построить модель исходной и двойственной

задач;

2)решить исходную задачу симплексным

методом;

3)найти оптимальное решение двойственной задачи, используя проверочную строку последней симплексной таблицы;

4)дать экономический анализ основным и дополнительным переменным оптимальных решений обеих задач;

5)в ответе записать оптимальные решения обеих задач и значения их целевых функций; указать наиболее дефицитный ресурс и наиболее убыточный вид продукции.

Решение. 1. Построим модель исходной задачи

Z 10x1 14x2 12x3 max

4x1 2x2 x3 180

3x1 x2 x3 210x1 2x2 5x3 244

Здесь х1, х 2, х3 – план выпуска продукции. Составим математическую модель двойственной

задачи:

F 180 y1 210 y2 244 y3 min

45

46

3. Найдем оптимальное решение двойственной задачи, используя последнюю проверочную строку симплексной таблицы и соотношение между переменными прямой и двойственной задач.

основные переменные

переменные

47

y4* 1 14,25; y5* 2 0; y6* 3 0. Yопт = (5,75; 0; 1,25; 14,25; 0; 0);

Fmin 180 5,75 210 0 244 1,25 1340.

Таким образом получили Zmax = Fmin 1340.

4. Проанализируем основные и дополнительные переменные оптимальных решений обеих задач. Основные переменные исходной задачи – это планируемый выпуск продукции.

Продукцию І вида к выпуску не планируют, ІІ вида – в количестве 82 ед. и ІІІ вида – в количестве 16 ед.

Дополнительные переменные исходной задачи показывают остатки сырья.

Сырье І и ІІІ видов израсходовано полностью. А сырье ІІ вида осталось в количестве 80 ед.

сырье дефицитное; если yi 0 , то сырье недефицитное.

Таким образом, сырье І и ІІІ видов дефицитное, причем наиболее дефицитное сырье І вида. Сырье ІІ вида недефицитное.

48

Дополнительные переменные двойственной задачи характеризуют рентабельность продукции. При этом, если yi 0 , то продукция нерентабельна.

По этому соотношению видно, что продукция І вида нерентабельна, а ІІ и ІІІ – рентабельна.

Ответ: Xопт = (0; 82; 16; 0; 80; 0); Zmax = 1340; Yопт = (5,75; 0; 1,25; 14,25; 0; 0); Fmin 1340

Наиболее дефицитное сырье І вида. Наиболее убыточный І вид продукции.

49

Список использованной литературы

Основная литература

1. Вентцель, Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология : учеб. пособие / Е. С. Вентцель. – М. : КноРус, 2015. – 192 c.

3.Горлач, Б. А. Исследование операций : учеб. пособие / Б. А. Горлач. – СПб. : Лань, 2016. – 448 c.

4.Ковязин, В. Ф. Исследование операций : учеб. пособие / В. Ф. Ковязин, А. Н. Мартынов, Е. С. Мельников и др. – СПб. : Лань, 2015. – 480 c.

5.Кутафин, О. Е. Исследование операций. Задачи, принципы, методология / О. Е. Кутафин. – М. :

КноРус, 2014. – 192 c.

6.Морозов, В. В. Исследование операций в задачах и упражнениях / В. В. Морозов. – М. : КД Либроком,

2013. – 288 c.

7.Морозов, В. В. Исследование операций в задачах и упражнениях / В. В. Морозов, А. Г. Сухарев, В. В. Федоров. – М. : КД Либроком, 2016. – 288 c.

10.Путко, Б. А. Исследование операций в экономике : учеб. пособие для вузов / Н. Ш. Кремер,

Б. А. Путко, И. М. Тришин. / под ред. проф. Н. Ш. Кремер. – М. : Юрайт, ИД Юрайт, 2015. – 438 c.

11.Ржевский, С.В. Исследование операций : учеб. пособие / С. В. Ржевский. – СПб. : Лань, 2014. – 480 c.

12.Стронгин, Р. Г. Исследование операций.

Модели экономического поведения : Учебник / Р. Г. Стронгин. – М. : БИНОМ. ЛЗ, ИНТУИТ.РУ, 2016. – 207 c.

14. Токарев, В.В. Модели и решения: Исследование операций для экономистов, политологов и

50