Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций. Сборник заданий.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет»
Кафедра информатики и вычислительной техники
Исследование операций
Сборник заданий
Направление подготовки: 44.03.01 – «Педагогическое образование»,
профиль подготовки «Экономика»
Пермь
ПГГПУ
2017
1
УДК 517.445
И 889
ISBN 978-5-85218-869-7
ББК В 161.2
И 889
доц. кафедры информатики и вычислительной техники И.П. Половина
доцент кафедры информатики и вычислительной техники А.П. Шестаков;
Исследование операций [Электронный ресурс] : сб. заданий : направление
подготовки 44.03.01 – «Педагогическоеобразование», профиль подготовки
«Экономика» / сост. И. П. Половина ; Перм. гос. гуманит.-пед. ун-т. – Пермь, 2017. –
1 электрон. опт. диск (CD ROM). – Систем. требования: процессор Intel(R)
Celeron(R) и выше, частота 2.80 ГГц ; монитор SuperVGA с разреш. 1280x1024,
отображ 256 и более цветов ; 1024 Mb RAM ; Windows
XP и выше ; Adobe Reader 8.0 и выше ; CD-дисковод ; клавиатура ; мышь.
С о с т а в и т е л ь:
Р е ц е н з е н т ы:
кандидат технических наук, доцент Т.Н. Клигман
Представлен сборник заданий по курсу «Исследование операций и методы
оптимизации». Приведены основные понятия, краткие теоретические основы, модели
и методы исследования операций, алгоритмы решения основных типовых задач,
индивидуальные задания для самостоятельной работы студентов.
Сборник предназначен для студентов, обучающихся по специальности «Математика.
Информатика», «Прикладная информатика», «Бизнес-информатика».
УДК 517.445
ББК В 161.2
ISBN 978-5-85218-869-7
© Половина И. П., соста, 2017
© ФГБОУ ВО «Пермский государственный
гуманитарно-педагогический университет», 2017
2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ . .................................................................................................................. 4
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ................................................................ 5
1.
1.1. Общие понятия ................................................................................................... 5
1.2. Лабораторная работа № 1. Графический метод решения задач . ................... 11
1.3. Лабораторная работа № 2. Симплексный метод решения задач . ................. 21
1.4.Лабораторная работа № 3. Искусственный базис . ........................................... 34
1.5. Лабораторная работа № 4. Двойственная задача . ........................................... 40
1.6. Контрольные вопросы . ....................................................................................... 49
2.
НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ . .......................................................... 50
2.1. Общие понятия ................................................................................................... 50
2.2. Лабораторная работа № 5. Графический метод решения задач . ................... 52
2.3. Лабораторная работа № 6. Метод множителей Лагранжа . ...................... 56
2.4. Лабораторная работа № 7. Метод Франка–Вульфа . ..................................... 60
2.5. Лабораторная работа № 8. Метод штрафных функций . ............................. 67
2.6. Лабораторная работа № 9. Квадратичное программирование . ............... 71
2.7. Контрольные вопросы . ....................................................................................... 78
. ........................................................................................... 79
3
ВВЕДЕНИЕ
Курс «Исследование операций» («Методы оптимизации») является обяза-
тельным в образовательных программах подготовки студентов по бакалавров
по направлениям обучения «Математика. Информатика», «Экономика
и информатика», «Прикладная информатика», «Бизнес-информатика».
Цель курса – изучение и осознанное применение математических, количественных методов для обоснования принятия решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.
Важной частью курса являются лабораторные работы, предусматривающие практическое освоение методов оптимизации.
В предлагаемом лабораторном пособии содержится краткий теоретический материал по линейному и нелинейному программированию, задания
к лабораторным работам по всем темам курса, примеры решения типовых задач,
контрольные вопросы для самопроверки знаний.
Поскольку разные программы обучения предусматривают разный объем
изучения дисциплины, количество, последовательность лабораторных работ
и объем заданий по каждой из них определяются рабочими планами кафедры,
о чем сообщает студентам преподаватель.
По каждой работе должен быть составлен письменный отчет, содержащий вводную часть – исходные данные, постановку задачи, описание математической модели, все промежуточные выкладки, сведенные, как правило,
в расчетные таблицы.
4
5
1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
1.1. Общие понятия
Задачи, в которых отражаются реальные конкретные ситуации, требующие нахождения оптимального решения, называются оптимизационными. Решение обычно находят в результате некоторого поиска или процесса, называемого процессом оптимизации, а применяемые при этом методы – оптимизационными. Чаще всего это методы математические, поскольку формализация
условий реальной задачи и ее решения представляется в виде математической
формулировки. Она представляет математическую модель задачи.
Полученное решение математической модели данной задачи будет оптимальным тогда, когда оно соответствует выбранному критерию эффективности,
или оптимальности, являющемуся математическим описанием цели задачи.
Задачи определения значений параметров, обеспечивающих экстремум
функции, критерия эффективности, при наличии ограничений, наложенных
на аргументы, носят общее название задач математического программирова-
ния (в данном случае слово «программирование» означает «планирование»).
Трудности при решении задач математического программирования зависят:
• от вида функциональной зависимости, связывающей элементы решения;
• размерности задачи, т.е. от количества элементов решения x1, x2,…, xn;
• вида и количества ограничений, наложенных на элементы решения.
В зависимости от вида функциональной зависимости, связывающей элементы решения, и вида ограничений, наложенных на элементы решения, различают линейное, нелинейное и динамическое программирование.
В общей форме задачу математического программирования можно представить в следующем виде:
F = f(xj) → max (min); //целевая функция
gi(xj) ≤ (и/или ≥) bi; //ограничения
dj ≤ xj ≤ Dj; i = 1…m; j = 1…n. //граничные условия
В эту систему входят следующие составляющие:
1. Искомые переменные (проектные параметры, параметры плана, эле-
менты решения) xj , оптимальное значение которых определяет данную задачу.
2. Целевая функция (ЦФ), или критерий оптимизации, или критерий эф-
фективности, показывает, в каком смысле решение должно быть оптимальным,
т.е. наилучшим. При этом возможны три вида значения целевой функции: максимизация, минимизация, назначение заданного значения.
3. Ограничения устанавливают зависимости между переменными. Они
могут быть односторонними (gi(xj) ≤ bi) или двухсторонними (ai ≤ gi(xj) ≤ bi).
Причем любое двухстороннее ограничение можно записать в виде двух односторонних (gi(xj) ≤ bi и gi(xj) ≥ ai).
4. Граничные условия показывают, в каких пределах могут быть значения
искомых переменных в оптимальном решении.
6
Непременным требованием задачи оптимизации является выполнение
условия n > m, где n – число проектных параметров (неизвестных), m – количество неравенств в системе ограничений.
Задача имеет оптимальное решение, если она удовлетворяет двум требованиям:
есть реальная возможность иметь более одного решения, т.е. существу-
ют допустимые решения;
имеется критерий, показывающий, в каком смысле принимаемое реше-
ние должно быть оптимальным, т.е. наилучшим из допустимых решений.
Общая задача линейного программирования (ЛП): найти неотрицательные значения переменных x1, x2,…, xn, удовлетворяющих ограничениям
и обращающих в максимум (минимум) линейную целевую функцию этих пере-
менных
(min)max
1
n
j
jj
xcF
, где aij, bi, cj – постоянные величины.
Допустимое решение задачи линейного программирования – это набор
неотрицательных значений x1, x2,….xn, удовлетворяющих условиям задачи.
Множество всех допустимых решений называется областью допустимых
решений (ОДР).
Оптимальным (опорным) решением является допустимое решение, при
котором линейная целевая функция F принимает свое максимальное (минимальное) значение.
Стандартная задача ЛП: найти неотрицательные значения переменных
xi, удовлетворяющих системе неравенств и максимизирующих (минимизирую-
щих) целевую функцию.
Каноническая форма задачи линейного программирования: найти неотри-
цательные значения переменных xi, удовлетворяющих системе равенств,
и минимизирующих целевую функцию
n
j
jj
xcF
1
min
при выполнении усло-
вий:
Примеры задач, приводящих к задачам линейного программирования:
• задача составления рациона кормов (задача о диете, задача о смесях);
• задача планирования производства (задача об использовании ресурсов);
• задача о загрузке оборудования (задача об использовании мощностей);
• задача о раскрое материалов;
• транспортная задача.
),1(0),1(
1
),1(
1
nj
j
xприmki
n
j
i
b
jxij
a
ki
n
j
i
b
jxij
a
nj
x
j
mi
b
i
x
j
a
ij
n
j
,1,0
,1,
1
7
Задача о распределении ресурсов
Для изготовления 2 видов продукции P1и P2 используется 4 вида ресурсов:
S1, S2, S3, S4.
Вид
ресурса
Запас
ресурса
Число единиц ресурсов,
расходуемых на изготовление единиц
продукции
P1
P2
S1
b1
a11
a12
S2
b2
a21
a22
S3
b3
a31
a32
S4
b4
a41
a42
Прибыль от реализации продукции Р1 – c1 , Р2 – c2.
Итак, требуется составить такой план производства продукции, при котором прибыль от реализации будет максимальной.
Пусть, x1, х2 – число единиц продукции Р1 и Р2. Система ограничений будет следующая:
a11х1+a12х2 ≤ b1 //больше ресурсов нет
a21х1+a22х2 ≤ b2
a31x1 + a32х2 ≤ b3
a41х1 + a42x2 ≤ b4
х
1
≥ 0 х2 ≥ 0
Целевая функция – прибыль от реализации: F = c
1х1
+ c
2х2
→max.
Задача составления рациона кормов
Имеются два вида корма I и II, содержащие питательные вещества S1, S2, S3.
Питательные
вещества
Необходимый
минимум
питательных
веществ
Число единиц
питательных веществ
в 1 кг корма
I
II
S1
b1
a11
a12
S2
b2
a21
a22
S3
b3
a31
a32
Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна c1 и c2 рублей.
Итак, необходимо составить дневной рацион нужной питательности,
причем затраты на него должны быть минимальными.
Составим математическую модель. Обозначим через x1 и x2, соответственно количество килограммов корма вида I и II в дневном рационе. Показатель эффективности, стоимость рациона, который требуется минимизировать:
min
2211
xcxcF
8
при ограничениях
Задача о планировании производств
Предприятие производит изделия 3 видов: U1, U2, U3. По каждому виду
изделия предприятию спущен план, по которому оно обязано выпустить
не менее b1 единиц изделия U1, не менее b2 единиц изделия U2 и не менее b3
единиц изделия U3.
План может быть перевыполнен, но в определенных границах; условия
спроса ограничивают количество произведенных единиц каждого типа:
не более β1, β2, β3 единиц соответственно.
На изготовление изделий идет какое-то сырье; всего имеется четыре вида
сырья: S1, S2, S3, S4, причем запасы ограничены числами γ1, γ2, γ3, γ4 единиц каждого вида сырья.
Количество сырья каждого вида на изготовление каждого вида изделий aij
представлено в таблице:
Сырье
Изделия
U1
U2
U3
S1
S2
S3
S4
a11
a12
a13
a14
a21
a22
a23
a24
a31
a32
a33
a34
Прибыль
c1 c2 c
3
При реализации одно изделие U1 приносит прибыль с1, U2 – с2, U3 – с3.
Требуется так спланировать производство (сколько каких изделий производить), чтобы план был выполнен или перевыполнен (но без затоваривания),
а суммарная прибыль обращалась в максимум. Параметрами решения будут x1,
x2, x3 – количество единиц изделий U1, U2, U3. Обязательность выполнения планового задания: x1 ≥ b1, x2 ≥ b2, x3 ≥ b3, (1)
отсутствие затоваривания: x1 ≤ β1, x2 ≤ β2, x3 ≤ β3, (2)
должно хватить сырья (по видам сырья):
a11x1 + a21x2 + a31x3 ≤ γ1
a12x1 + a22x2 + a32x3 ≤ γ
2
(3)
a13x1 + a23x2 + a33x3 ≤ γ3
a14x1 + a24x2 + a34x3 ≤ γ4
а прибыль, приносимая планом, составляет f = c1x1+ c2x2+ c3x3 → max.
.0,
21
3232131
2222121
1212111
xx
bxaxa
bxaxa
bxaxa
9
Задача о загрузке оборудования
Ткацкая фабрика располагает двумя видами станков: N1, N2. Станки могут
производить три типа тканей: T1, T2, T3, но с разной производительностью aij:
Тип станка
Вид ткани
T1
T2
T2
N1
N2
a11
a21
a12
a22
a13
a22
Каждый метр ткани Т1 приносит доход с1, Т2 – с2, Т3 – с3.
Фабрика по плану должна производить в месяц не менее b1 метров ткани
Т
1
, b2 метров ткани Т2, b3 метров ткани Т3. Количество метров каждого вида
ткани не должно превышать β1, β2, β3 метров. Все станки должны быть загружены.
Требуется так распределить загрузку станков производством тканей Т1, Т2,
Т3, чтобы суммарный месячный доход был максимален.
Эта задача отличается от предыдущей элементами решения будут
не количество тканей разного вида, а количество станков типа 1 и 2, занятых
производством тканей каждого типа.
Обозначим параметры решения через xij (первый индекс – тип станка,
второй – вид ткани), всего будет 6 параметров.
Тогда ограничения по производству тканей:
a11x
11
+ a21x21 ≥ b1,
a12x
12
+ a22x22 ≥ b2, (1)
a13x
13
+ a23x23 ≥ b3.
Ограничим перевыполнение плана:
a11x
11
+ a21x21 ≤ β1,
a12x
12
+ a22x22 ≤ β2, (2)
a13x
13
+ a23x23 ≤ β3.
Ограничения, связанные с наличием оборудования и его полной загрузкой:
x
11
+ x
12
+ x
13
= N1, (3)
x
21
+ x
22
+ x
23
= N2.
Суммарный доход от производства всех видов тканей:
f = c1(a11x11 + a21x21) + c2(a12x12 + a22x22) + c3(a13x13 + a23x23) → max.
В этой формуле в круглых скобках вычисляется суммарное количество
метров ткани Т1, Т2, Т3, произведенное всеми станками, а умножение
их на сi дает доход от производства.
Задача о снабжении сырьем
Имеется 3 предприятия: П1, П2, П3, требующих снабжения определенным
видом сырья а1, а2, а3. Имеются 3 сырьевых базы, расположенных
от предприятия на каких-то расстояниях и связанных с ними путями сообщения
с разными тарифами.
Единица сырья, получаемая предприятием Пi с базы Бj, обходится предприятию в сij рублей (первый индекс – номер предприятия, второй – номер базы):
10
Предприятие
База
Б1
Б2
Б3
П1
П2
П3
с11
с21
с31
с12
с22
с32
с13
с23
с33
Возможности снабжения сырьем с каждой базы ограничены
ее мощностью: базы могут дать соответственно не более b1, b2, b3 единиц сырья.
Требуется создать такой план снабжения предприятий сырьем, чтобы потребности предприятий были обеспечены при минимальных расходах на сырье.
Пусть xij – количество сырья, получаемое i-м предприятием с j-й базы, т.е.
план будет состоять из 9 элементов решения.
Введем ограничения по потребностям:
x11+ x12+ x13 = a1,
x21+ x22+ x23 = a2, (1)
x31+ x32+ x33 = a3.
Ограничения, вытекающие из мощностей баз:
x11+ x21+ x31 ≤ b1,
x12+ x22+ x32 ≤ b2, (2)
x13+ x23+ x33 ≤ b3.
Целевая функция – суммарные расходы на сырье:
.
313
1
min
i j
ijij
xcf
Основные методы решения задач линейного программирования – графический, симплекс-метод и др.