Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций. Сборник заданий.pdf
41
Правила формирования двойственной задачи:
1. Если целевая функция исходной задачи исследуется на максимум,
то целевая функция двойственной задачи на минимум.
2. Матрица
из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений прямой задачи
и аналогичная матрица
в двойственной задаче получаются друг из друга транспонированием.
3. Число ограничений одной из задач совпадает с числом переменных
в другой задаче.
4. Коэффициенты при переменных в линейной функции одной задачи
являются свободными членами системы ограничений в другой.
Если переменная xj исходной задачи может принимать только неотрицательные значения, то j-е ограничение двойственной задачи является неравен-
ством вида ″″.
Если переменная xj может принимать как положительные, так
и отрицательные значения, то j-е ограничение двойственной задачи – уравне-
ние.
Аналогично, если i-е ограничение в системе исходной задачи является
неравенством, то yi 0.
Если же i-е ограничение есть уравнение, то переменная yi может при-
нимать как положительные, так и отрицательные значения.
Свойства двойственных задач
• Теорема 1. Если исходная задача имеет оптимальный план,
то и сопряженная к ней задача имеет оптимальный план, причем значение целевой функции при этих планах совпадают.
• Если целевая функция одной из двойственных задач не ограничена
на множестве допустимых решений (для исходной – сверху, для сопряженной –
снизу), то двойственная задача вообще не имеет плана.
• Теорема 2 . Пара допустимых решений X* в исходной задаче, Y*
в двойственной задаче будут оптимальными решениями тогда и только тогда,
кода выполняются следующие соотношения:
,
21
22221
11211
aaa
aaa
aaa
A
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
mnnn
m
m
T
21
22212
12111
42
Связь исходной и двойственной задач
Решение одной из задач может быть получено из решения другой. Используя последнюю симплекс-таблицу, можно найти оптимальный план двойственной задачи. Компоненты оптимального плана двойственной задачи совпадают с элементами m+1-й строки столбцов единичных векторов первоначального базиса. Решение находим из следующих соображений.
Число неизвестных в прямой и двойственной задачах одинаково и равно
m+n. В исходной задаче в качестве базисных неизвестных возьмем дополнительные переменные х
n+1
, х
n+2
,…, х
n+m
, а в двойственной – дополнительные не-
известные у
m+1
, у
m+2
,…, у
m+n
.
Можно показать, что базисным неизвестным одной задачи соответствуют
свободные неизвестные другой задачи, и наоборот. Иными словами, каждой
первоначальной свободной неизвестной исходной задачи х1, х2,…, хn ставится
в соответствие добавочная (базисная) неизвестная двойственной задачи у
m+1
,
у
m+2
,…, у
m+n
, а каждой добавочной (базисной) переменной х
n+1
, х
n+2
,…, х
n+m
ис-
ходной задачи ставится в соответствие первоначальная (свободная) переменная
двойственной у1, у2,…, уm задачи:
Базисные
Дополнительные
x1, x2,…, xn
x
n+1
, x
n+2
,…, x
n+m
y
m+1
, y
m+2
,…, y
m+n
y1, y2,…, ym
дополнительные
базисные
Алгоритм составления двойственной задачи:
1. Привести все неравенства системы ограничений исходной задачи
к одному виду: если в исходной задаче ищут максимум линейной функции,
то все неравенства системы ограничений привести к виду "", а если минимум
– к виду "".
2. Для этого неравенства, в которых данное требование не выполняется,
умножить на –1.
3. Составить расширенную матрицу системы ограничений исходной за-
дачи, в которую следует включить матрицу коэффициентов при переменных,
столбец свободных членов и строку коэффициентов при переменных
в линейной функции.
4. Найти матрицу АТ, транспонированную к матрице А.
5. Сформулировать двойственную задачу на основании полученной мат-
рицы и условия неотрицательности переменных.
Пример 1. Составьте задачу, двойственную к следующей задаче:
F = – x1 + 2x2 → max при ограничениях
m
i
j
j
i
ij
n
j
i
ijij
njxcya
miybxa
1
**
1
*
*
.,10)(
,10)(
43
1. Так как исходная задача на максимизацию, то приведем все неравенства системы ограничений к виду "", для этого обе части первого неравенства
умножим на –1.
Получим:
2. Составим расширенную матрицу системы:
3. Найдем матрицу Ат, транспонированную к матрице А.
4. Сформулируем двойственную задачу: F' = – y1 + 24y2 + 3y3 → min
при ограничениях
Пример 2. Для производства трех видов изделий I, II, III используется три
вида сырья. Запасы заданы в количестве, не большем 180, 210 и 244
кг соответственно.
0,0
3
244
12
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
0,0
3
244
12
21
22
21
21
xx
xx
xx
xx
F
'
3 24 1
2 1 4 1
1 1 1 2
T
A
0,0
24
12
31
321
321
yy
yyy
yyy
F 2 1
3 1 1
24 4 1
1 1 2
A
44
Вид
сырья и его
запасы
Нормы затрат сырья (кг)
на единицу продукции
I
II
III
A = 180
4 2 1
B = 210
3 1 3
C = 244
1 2 5
Цена
10
14
12
Определите план выпуска продукции, при котором обеспечивается
ее максимальная стоимость, и оцените каждый из видов сырья, используемых
для производства продукции.
Оценки, приписываемые каждому из видов сырья, должны быть такими,
чтобы оценка всего используемого сырья была минимальной, а суммарная
оценка сырья, используемого на производство единицы продукции каждого вида, – не меньше цены единицы продукции данного вида.
Решение. Обозначим через x1 – количество изделий I, x2 – изделий II, x3 –
изделий III, запланированных к производству. Тогда максимальная стоимость –
целевая функция – вычисляется F = 10x1 +14x2 + 12x3 →max при ограничениях:
Припишем каждому из видов сырья, используемых для производства
продукции, двойственную оценку, соответственно равную yi. Тогда общая
оценка сырья, используемого на производстве продукции, составит:
F' = 180y1 + 210y2 + 244 y3 → min.
Двойственные оценки должны быть такими, чтобы общая оценка сырья,
используемого на производство единицы продукции каждого вида, была
не меньше цены единицы продукции данного вида, то есть должны удовлетворять следующей системе неравенств:
Эти задачи образуют пару двойственных задач. Решение прямой задачи
дает оптимальный план производства изделий I, II, III, решение двойственной
– оптимальную систему оценок сырья, используемого для производства этих
изделий.
0,,
244
52
210
3
3
180
2
4
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
0,,
12
53
14
2
2
10
34
321
321
321
321
yyy
yyy
yyy
yyy
.
45
Найдем решение прямой задачи симплекс-методом, приведя
ее к стандартному виду путем введения дополнительных переменных:
F = 10x1 +14x2 + 12x3 →max
Переменные x4, x5, x6 образуют базис, т.е. имеем исходное допустимое
решение (0, 0, 0, 180, 210, 244), и, следовательно, можно проводить симплексные преобразования над системой и целевой функцией. Заносим коэффициенты
расширенной матрицы системы и целевой функции в таблицу (рис. 6), не забыв
преобразовать последнюю к виду F – 10x1 –14x2 – 12x3 = 0. Исключаем вектор x4
из базиса, и вводим вектор x2, так как оценка в этом столбце (-14) наибольшая
(накладываются более жесткие условия). На рис. 6 разрешающая строка
и разрешающий столбец выделены другим цветом.
В результате симплекс преобразований получим II симплекс-таблицу.
В этой таблице исключаем вектор x6 (имеет отрицательную оценку), а вводим
в базис x3. За разрешающий элемент выбираем тот, для которого выполняется
условие min bi/ai3. Проводим симплексные преобразования и переходим к III
симплекс-таблице, все оценки которой уже положительные (функция исследуется на max). Следовательно, полученное решение оптимально.
Рис. 6. Симплекс-таблицы решения прямой задачи
Из этой таблицы видно, что оптимальным планом производства изделий I,
II, III является такой, при котором изготавливается 82 изделия II и 16 изделий
III и остается неиспользованым 80 кг сырья B, а общая стоимость изделий равна
1340 руб.
)6,1(0
244
52
210
3
3
180
2
4
6
321
5
321
4
321
i
x
x
xxx
x
xxx
x
xxx
i
46
Сопряженные пары переменных прямой и двойственной задач имеют вид:
Основные
Дополнительные
x1
x2
x3
x4
x5
x6
y4
y5
y6
y1
y2
y3
дополнительные
основные
Следовательно, оптимальным решением двойственной задачи является
y1 = 5,75, y2 =0, y3 = 1,25.
Положительную двойственную оценку имеют те виды сырья, которые
полностью используются. Переменные y1 и y3 обозначают условные двойственные оценки сырья видов A и C. Эти оценки отличны от нуля, и сырье видов
А и С используется полностью. Двойственная оценка сырья вида В: y2=0, сле-
довательно, данный вид сырья используется не полностью.
Вычислим значение целевой функции двойственной задачи:
F' = 180(5,75 + 2100 +2441,25) = 1340.
Подставим двойственные оценки в систему ограничений двойственной
задачи:
45,75+1,25 > 10
25,75+21,25=14
5,75+51,25 = 12 .
Первое ограничение выполняется как строгое неравенство. Это означает,
что двойственная оценка сырья, используемого на производство одного изделия
типа I, выше цены этого изделия и, следовательно, выпускать изделие
I невыгодно.
Второе и третье ограничения являются равенствами. Это означает, что
двойственные оценки сырья, используемого на производство единицы изделий
II и III, равны их ценам. Поэтому выпускать изделия этих двух видов экономически целесообразно.
Задание: для следующих задач запишите двойственную задачу. Решите
заданную задачу симплексным методом (при неотрицательных элементах плана)
и получите решение двойственной задачи.
№
Задача
№
Задача
1
f = 5х1+2х2+6х3max
123
932
6
321
321
321
ххх
ххх
ххх
2
f = 7х1+13х2+8х3max
5
223
4
32
21
321
31
21
хх
ххх
хх
хх
3
f = х1+2х2+5х3+6х4min
41123
55х2
4321
4321
хххх
ххх
4
f = х1+х2+х3max
2x1+ x2 + x3 ≤ 2
4x1 + 2x2 + x3 ≤ 2
47
№
Задача
№
Задача
5
f = 27х1+10х2+15х3+28х4max
5433
2х223
4321
4321
хххх
ххх
6
f = 6х1+8х2+х3max
42
3
21
321
хх
ххх
7
f = х1+х2max
63
132
2
21
21
21
xx
xx
xx
8
f = 10х2 – 3х3min
32
12
321
321
xxx
xxx
9
f = х1+х2max
04
03
044
21
21
21
xx
xx
xx
10
f = х1+4х4max
52
3
4
321
4321
32
ххх
хххх
хх
11
f = –х1+х2 – х3min
62
32
52
43
42
321
хх
хх
ххх
12
f = 3х1+ 2х2 – 6х3max
543
4223
1
321
321
321
ххх
ххх
ххх
13
f = х1–х2+3х3+х4min
52
732
4321
4321
xxxx
xxxx
14
f = – 2х1–х2–х3+х4max
1023
4х32
4321
4321
хххх
ххх
15
f = 4х1–2х2+х3–х4 max
332
2х24
4321
4321
хххх
ххх
16
f = х1+2х2+х3–х5–x6min
243210
632
105
5432
4321
54321
xxxx
xxxx
xxxxx
17
f = – 4х1+2х2–3х4–х5max
154
214
23
521
5421
4321
ххх
хххх
хххх
18
f = 4х1–х2–9х3+х4max
332
2х22
4321
4321
хххх
ххх
19
f = х1–х2max
342
154
634
4321
5321
54321
хххх
хххх
ххххх
20
f = х1 – х2 + х3 – х4max
64
12
432
431
432
4321
ххх
ххх
хххх
21
f = 3х2+х3+2х4max
1423
53
4321
4321
хххх
xххх
22
f = х1–4х2+2х3–3х4+х5min
59
1
2
321
421
54321
ххх
ххх
ххххх
48
№
Задача
№
Задача
23
f= х1+х2-15х3+х4max
126
623
42
4321
5432
321
хххх
хххх
ххх
24
f = х1+х2 –х3–x4min
x1 + 3x2 – x4 ≤ 2
– x1 + x2 + x4 ≥ 1
x2 + x3 ≤ 3
25
f = 4х1+6х2 max
2x1 +5x2 = 1
3x1 +x2 ≤ 2
–x1 +2x2 ≤ 3 (x1, x2 ≥ 0)
26
f = 3x1 + 2x2 min
x1 + x2 ≤ 5
2x1 – x2 ≤ 3
x1 + 0.5x2 ≥ 2
49
1.6. Контрольные вопросы
1. Дайте определение понятию «операция».
2. Какие задачи можно отнести к исследованию операций?
3. Приведите примеры задач, которые решаются с помощью исследова-
ния операций.
4. Какие задачи относятся к задачам математического программирования?
5. Что такое допустимое решение?
6. Как определить оптимальное решение?
7. Что такое целевая функция?
8. Что такое математическая модель?
9. Какие факторы должны быть отражены в модели?
10. Определите общую задачу линейного программирования.
11. Определите каноническую задачу линейного программирования.
12. Определите стандартную задачу линейного программирования.
13. Поясните алгоритм решения задачи линейного программирования
графическим способом.
14. В чем смысл симплекс-метода?
15. Что необходимо для реализации симплекс-метода?
16. Теорема о соответствии допустимых решений задачи
и многоугольника решений.
17. С чего начинается решение задачи симплекс-методом?
18. Как определяется начальное допустимое решение (опорный план)?
19. Что такое оценка плана?
20. Теоремы, позволяющие проверить решение на оптимальность (при
максимизации).
21. Что меняется при определении минимального решения?
22. Как определяется направляющий столбец?
23. Как определяется направляющая строка?
24. Как рассчитать следующую симплекс-таблицу?
25. Когда задача не имеет решения?
26. Для чего нужен искусственный базис?
27. В каких случаях применяется искусственный базис?
28. Как меняется целевая функция при введении искусственного базиса?
29. Как меняется симплекс-таблица при введении искусственного базиса?
30. Как определяется оптимальность решения?
31. Если решение оптимальное, а искусственные переменные остались
в базисе, что это означает?
32. Какую задачу называют двойственной?
33. Как формируется двойственная задача?
34. Как связаны виды ограничений и условия неотрицательности пере-
менных?
35. Первая теорема двойственности.
36. Вторая теорема двойственности.
37. Как можно получить оптимальное решение двойственной задачи
из решения прямой?
50
2. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
2.1. Общие понятия
Общая задача нелинейного программирования (НП) заключается
в отыскании экстремального значения целевой функции, зависящей
от n переменных.
Точка х0 является точкой максимума, если в ее окрестностях значение
функции f(x) не превосходит f(х0), для минимума: f(х) ≥ f(х0).
Необходимым условием существования экстремума функции f(x) в точке
x0 является равенство нулю градиента функции в этой точке grad f(x0) = 0, где
grad f(x) = (df/dx1,……..df/dxn) – задает угол наклона касательной
к графику функции.
Это условие не является достаточным, так как оно выполняется для точек
перегиба и седловых точек. Эти точки называют стационарными точками.
Общая задача нелинейного программирования формулируется следующим образом: найти вектор X = (x1, …, xn), удовлетворяющий системе ограничений:
(1)
и обращающий в максимум (минимум) целевую функцию F = F(x1, …, xn), где
целевая функция и/или системы ограничений нелинейные.
Система ограничений (1) может быть дополнена условиями неотрицательности некоторых переменных x1, x2,…, xn.
Вектор X = (x1, …, xn), удовлетворяющий системе ограничений, называется допустимым решением задачи нелинейного программирования.
Допустимое решение, при котором целевая функция F достигает максимального значения (в случае задачи максимизации) или минимального значения
(в случае задачи минимизации), называется оптимальным.
Факторы, затрудняющие решение задач нелинейного программирования
1. В задачах ЛП целевая функция имеет абсолютный глобальный экстремум, в задачах НП у целевой функции может быть несколько локальных экстремумов, при этом не существует методов, с помощью которых можно установить, является ли этот экстремум глобальным.
2. Для задачи ЛП множество допустимых решений задачи образует выпуклый многогранник, при этом оптимальное решение достигается в одной
из его вершин, т.е. за конечное число шагов мы можем найти оптимальное решение (если оно существует).
В задачах НП множество допустимых решений образуют область, которая не всегда выпукла. Оптимальное решение может находиться не только
на границе области, но и в любой внутренней точке. Следовательно, его нельзя
найти с помощью перебора.
3. В задачах ЛП множество точек, в которых целевая функция принимает
постоянное значение, есть гиперплоскость c1x1+…+ cnxn = const. При различных
значениях const мы получаем параллельные гиперплоскости.
mki
i
ki
i
bxx
g
bxx
g
n
i
n
i
,1...,,
,1...,,
1
1