Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций. Сборник заданий.pdf
31
300 кг соответственно. Количество сырья (кг), необходимого для изготовления
10 изделий, а также прибыль, получаемая от их реализации, приведены
в таблице. Составьте план производства изделий, обеспечивающий получение
максимальной прибыли.
Вид сырья
Затраты пряжи на 10 шт.
свитер
кофточка
Шерсть
4
2
Силон
2
1
Нитрон
1
1
Прибыль (руб.) 6 5
19. Для повышения урожайности опытного участка необходимо внести
в почву не менее 300 условных единиц фосфорных удобрений и 200 условных
единиц калийных удобрений. В магазине не оказалось фосфорных и калийных
удобрений в чистом виде. В продаже были только две смеси удобрений, содержащие фосфор и калий. Один грамм смеси I содержит 2 единицы калийных
удобрений и 9 единиц фосфорных удобрений. Один грамм смеси II содержит 7
единиц калийных удобрений и 4 единицы фосфорных удобрений. Обе смеси
стоят одинаково: по 10 руб. за килограмм. Сколько нужно купить каждой смеси,
необходимой для внесений в почву, чтобы затратить на всю покупку как можно
меньше денег.
20. Предприятие изготовляет два вида изделий. Каждое изделие требует
обработки на двух видах оборудования. Известны: прибыль, получаемая
от реализации каждого изделия, фонд времени работы оборудования
и трудоемкость обработки изделий. Сколько нужно изготовить тех или иных
изделий, чтобы прибыль была наибольшей?
Оборудование
Вид изделия
Фонд
Времени, мин
В1
В2
А1
3 4 24
А2
4 7 36
Прибыль (руб.)
4 6
21. Продукцией городского молочного завода являются молоко, кефир
и сметана, расфасованные в бутылки. На производство 1т молока, кефира
и сметаны требуется 1010, 1010 и 9450 кг молока соответственно. При этом затраты рабочего времени при разливе 1т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19
машино-часов. На расфасовке 1т сметаны заняты специальные автоматы
в течение 3,25 часа. Всего для производства цельномолочной продукции завод
может использовать 136 000 кг молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машино-часа, а автоматы по расфасовке сметаны –
в течение 16,25 часа. Прибыль от реализации 1т молока, кефира и сметаны равна 30, 22 и 136 руб. соответственно. Завод должен ежедневно производить
не менее 100 т молока, расфасованного в бутылки. На производство другой
продукции не имеется никаких ограничений.
32
Требуется определить, какую продукцию и в каком количестве следует
ежедневно изготовлять заводу, чтобы прибыль от ее реализации была максимальной.
22. Необходимо составить план раскроя с минимальными отходами изделий двух видов. Потребность в изделии первого вида не менее 20 шт., второго –
не менее 30 шт.
Изделие
Количество изделий с листа
по каждому способу раскроя
1 2 3 А 2 1 3
В
1 2 0
Стоимость отходов с листа по каждому
способу раскроя, руб.
24
16
24
23. Фирма планирует выпуск мужских и женских костюмов. На каждый
костюм требуется 3,6 м шерсти, 0,5 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат.
В наличии имеется 560 м шерсти, 240 м лавсана и 150 человеко-дней трудозатрат. План предусматривает выпуск не менее 110 костюмов, причем необходимо обеспечить прибыль не менее 1400 руб. Прибыль от реализации мужского
костюма составляет 20 руб., женского – 10 руб.
Составьте план производства костюмов, обеспечивающий фирме макси-
мальную прибыль.
24. 16. Производитель безалкогольных напитков располагает двумя разливочными машинами А и В. Машина А спроектирована для пол-литровых бутылок, а машина В – для литровых, но каждая из них может использоваться для
обоих типов бутылок с некоторой потерей эффективности в соответствии
с приведенными в таблице сведениями о работе машин.
Машина
Количество бутылок, изготавливаемых в 1 ч
пол-литровые
литровые
А
50
20 В 40
25
Каждая из машин работает ежедневно по 8 часов при пятидневной рабочей неделе. Прибыль от пол-литровой бутылки составляет 4 цента,
а от литровой –10 центов. Недельная продукция не может превосходить 2000 л.
Возможности сбыта не превышают 4000 пол-литровых бутылок и 3000 литровых. Составьте недельный план работы фирмы, обеспечивающий максимальную прибыль.
25. Небольшое предприятие выпускает два типа автомобильных деталей.
Оно покупает литье, подвергаемое токарной обработке, сверловке и шлифовке.
Данные, характеризующие производительность станочного парка предприятия,
приведены в таблице:
33
Станок
Деталь А,
штук/ч
Деталь В,
штук/ч
Токарные
25
40
Сверлильные
40
50
Шлифовальные
50
25
Каждая отливка, из которой изготовляют деталь А, стоит 2 руб. Стоимость отливки для детали В – 3 руб. Продажная цена деталей равна 5 и 6 руб.
соответственно. Длительность смены 8 часов. Определить план выпуска продукции, обеспечивающий предприятию максимальную прибыль.
26. Для откорма крупного рогатого скота используется два вида кормов
В1 и В2, в которые входят питательные вещества: А1 А2, А3 и А4. Содержание
количества единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма, стоимость
1 кг корма и норма содержания питательных веществ в дневном рационе животного представлены в таблице. Составьте рацион при условии минимальной
стоимости.
Питательное
вещество
Вид корма
Норма содержания
питательного вещества
В1 В
2
А1
3
4
24
А2
1
2
18
А3
4
0
20
А4
0
1 6 Стоимость 1 кг корма
2
1
34
1.4. Лабораторная работа № 3. Искусственный базис
Иногда этот метод решения задач линейного программирования называ-
ют М-симплекс метод. Метод применяется, когда в условии присутствуют
ограничения типа равенств.
Пусть дана задача на отыскание максимального значения линейной
функции F = c1x1 + … + cnxn → max при ограничениях:
Система ограничений состоит из k неравенств и m-k уравнений.
Для получения единичной матрицы к каждому ограничению системы
добавим по одной переменной x
n+i
≥ 0 (i = 1,m), среди которых m-k переменных
x
n+k+1
, …, x
n+m
– искусственные. В результате этого получим расширенную за-
дачу: F' = c1x1 + … + cnxn – M(x
n+k+1
–…– x
n+m
)
где M – большое положительное число, которое имеет смысл штрафа
за введение искусственных переменных. При минимизации целевая расширенная функция примет вид F' = c1x1 + … + cnxn + M(x
n+k+1
+…+ x
n+m
).
Расширенная задача имеет исходное допустимое решение, определяемое
системой единичных векторов и образующих базис m-го векторного пространства. Этот базис называют искусственным базисом. Исходное допустимое решение: x = (0, 0,…0, b
n+k+1
, …, b
m+n
).
Все данные расширенной задачи заносят в симплекс-таблицу, которая содержит на одну строку больше, чем обычная симплекс-таблица. Симплекстаблица, которая составляется в процессе решения методом искусственного базиса, называется расширенной.
В m+2-ю строку помещают коэффициенты при M, а в m+1 -ю – коэффициенты целевой функции, не содержащие M.
n
j
j
x
bxaxa
bxaxa
bxaxa
bxaxa
mnmnm
knnkk
knknk
nn
,1
...
...
...
...
,0
11
11111
11
11111
mnj
x
bxxaxa
bxxaxa
bxxaxa
bxxaxa
j
mmnnmnm
kknnnkk
kknnknk
nnn
,1
...
...
...
...
,0
11
111111
11
111111
,
35
При переходе от одной таблицы к другой в базис вводят вектор, соответствующий наибольшему по абсолютной величине отрицательного числа m+2-й
строки (или наибольшему положительному числу m+2-й строки в случае исследования целевой функции на минимум).
Итерационный процесс по m+2-й строке проводят до тех пор, пока
из базиса не будут исключены все искусственные векторы, затем процесс
отыскания оптимального решения, если необходимо, продолжают по m+1-й
строке.
Если при переходе от одной таблицы к другой не все искусственные векторы будут исключены, но m+2-я строка не содержит больше отрицательных
элементов (при максимизации), то исходная задача не имеет решения.
Пример 1. Найдите максимальное значение целевой функции f = – x1 +
2x2 – x3 →max при ограничениях:
2x1 + 3x2 + x3 = 3
x1 + 3x3 = 2.
Введем искусственные переменные в ограничения задачи:
2x1 + 3x2 + x3 + R1 = 3
(1)
x1 + 3x3 + R2 = 2, (2)
тогда расширенная задача на отыскание максимума целевой функции примет
вид f = – x1 + 2x2 – x3 – M(R1 + R2), т.е. при базисе R1, R2 имеем допустимое решение системы уравнений (0, 0, 0, 3, 2).
Найдем значения R1 и R2 из уравнений (1, 2): R1 = 3 – 2x1 – 3x2 – x3;
R2 = 2 – x1 – 3x3 и подставим в целевую функцию: f = – x1 + 2x2 – x3 – M (5 – 3x1 –
– 3x2 – 4x3) → max. Преобразуем запись к тому же виду, что и для уравнений:
f + x1 – 2x2 + x3 + M(5 – 3x1 – 3x2 – 4x3) = 0.
В строке для целевой функции запишем: f + x1 – 2x2 + x3 =0,
в дополнительной строке: М – 3x1 – 3x2 – 4x3 = – 5.
Рис. 4. Решение задачи М-симплекс методом
36
Симплекс преобразования проводим по строке М: исключаем вначале
вектор R2 (столбцы R1 и R2 можно и не включать в симплекс-таблицу), вводя
в базис x3, затем исключаем вектор R1. После исключений искусственных векторов из базиса, симплекс преобразования проводят по строке f. В этой строке
у нас уже нет отрицательных оценок (вектора R1, R2 исключены), следовательно,
план оптимальный.
Пример 2. Найдите минимальное значение функции F(x) = 2x1 + 3x2 - x3
при следующих ограничениях
2x1 + x2 - 3x3 ≥ 6,
x1 - x2 + 2x3 = 4,
x1 + x2 + x3 ≤ 5,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 .
Приведем систему ограничений к каноническому виду (системе равенств). Для этого введем в ограничения дополнительные переменные x4 , x5
и искусственные переменные R1 и R2 следующим образом:
2x1 + x2 - 3x3 - x4 +R1= 6,
x1 - x2 + 2x3 + R2 = 4,
x1 + x2 + x3 + x5 = 5.
Пусть R1, R2 и x5 – базисные переменные, а x
1
, x2 , x3, x
4
– небазисные.
Функция цели примет вид F(x) = F(x) + M(R1+R2). Подставим значения R
1
и R2 и преобразуем выражение F(x) = 2x
1
+ 3x2 - x3+M(6-2x
1
- x2 + 3x3 + x4 +4 - x1 +
x
2
- 2x
3
) = 2x1 + 3x2 - x3+M(10 – 3x1 + x
3
+ x4).
Полученная система ограничений имеет неотрицательный единичный базис, т.е. допустимое решение задачи, поэтому можно составить первую симплексную таблицу (рис. 5). В f-строке выписываем коэффициенты целевой
функции, в M-строке – коэффициенты функции штрафа. За разрешающий столбец выбираем столбец с положительной оценкой (у нас задача на минимум),
за разрешающую строку – строку, дающую минимум отношения bi/aij,
и проводим симплексные преобразования. Как видно из второй симплексной
таблицы из базиса ушла искусственно введенная переменная R1.
Снова проводит симплексные преобразования. На этот раз полностью исключены искусственные переменные из базиса, и, следовательно, эти столбцы
и M-строку можно удалить из дальнейшего решения (см. третью таблицу рисунка).
Обращаем внимание на f-строку: все оценки строки отрицательные, т.е.
получено оптимальное решение задачи:
f = 6,571429 при x1 = 3,428571, x2 = 0, x3 = 0,285714.
37
Рис. 5. Решение задачи примера 2
Задание: найти экстремум функции при неотрицательных параметрах
решения.
№
Задача № Задача
1
28107
22
1427
max23
21
21
21
21
xx
xx
xx
xxf
2
842
632
102
max5516
521
421
321
54321
xxx
xxx
xxx
xxxxxf
3
1243
82
72
min5.1
21
21
21
21
xx
xx
xx
xxf
4
33
232
min2151618
321
421
4321
xxx
xxx
xxxxf
5
3
3
1
max2
1
21
21
21
x
xx
xx
xxf
6
4023
3032
35224
min14141014
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxxf
7
2
102
7
1232
max32
2
21
21
21
21
x
xx
xx
xx
xxf
8
03
132
min212154
4321
432
4321
xxxx
xxx
xxxxf
38
№
Задача № Задача
9
126
82
93
min64
21
21
21
21
xx
xx
xx
xxf
10
8232
2
62
min
432
31
4321
4321
xxx
xx
xxxx
xxxxf
11
82
42
2
max62
21
21
21
21
xx
xx
xx
xxf
12
232
102
523
min23
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxxf
13
102
22
4
min2
21
21
21
21
xx
xx
xx
xxf
14
1
22
min89106
421
321
4321
xxx
xxx
xxxxf
15
04
03
044
max
21
21
21
21
xx
xx
xx
xxf
16
12
13
max6132
321
321
321
xxx
xxx
xxxf
17
102
22
4
min2
21
21
21
21
xx
xx
xx
xxf
18
523
732
max18101319
421
421
4321
xxx
xxx
xxxxf
19
5
82
22
max
21
21
21
21
xx
xx
xx
xxf
20
952
6824
572
max345
431
4321
321
4321
xxx
xxxx
xxx
xxxxf
21
102
22
02
max24
21
21
21
21
xx
xx
xx
xxf
22
102
2242
2422
min632
321
321
4321
4321
xxx
xxx
xxxx
xxxxf
23
5
42
632
max32
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxxf
24
032
12
12
min3
4321
5432
541
54321
xxxx
xxxx
xxx
xxxxxf
39
№
Задача № Задача
25
323
12
2
min4
31
321
321
321
xx
xxx
xxx
xxxf
26
322
1
min472
4321
421
4321
xxxx
xxx
xxxxf
40
1.5. Лабораторная работа № 4. Двойственная задача
Пусть прямая задача состоит в нахождении максимального значения
функции F = c1x1 + c2x2 +…+ cnxn → max
при условиях:
Тогда двойственной по отношению к прямой задаче называется задача
нахождения минимума функции F' = b1y1 + b2y2 + … +bmym → min при условиях:
Кратко можно записать:
0,min
;0,max
YcYY
XXcX
A
приBf
BAприF
T
Если существуют решения систем (1) и (2), то среди них есть
и оптимальные, причем такие, что min F = max f.
Исходная и двойственная задачи образуют двойственную пару,
их называют взаимно-двойственными. Различают симметричные
и несимметричные двойственные задачи. В несимметричных задачах система
ограничений исходной задачи задается виде равенств, а в двойственных –
в виде неравенств, причем в последней задаче могут быть отрицательные переменные. В симметричных задачах системы ограничений исходной
и двойственной задач задаются неравенствами, причем на переменные двойственной задачи налагается условие неотрицательности.
2211
11212111
2211
22222121
11212111
,n1,j 0
mi
x
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
j
mnmnmm
knnkkk
knknkk
nn
nn
mj ;i 0
2
2
1
1
11
2
22
1
11
2
2
1
1
22
2
22
1
12
11
2
21
1
11
n
y
c
y
a
y
a
y
a
c
y
a
y
a
y
a
c
y
a
y
a
y
a
c
y
a
y
a
y
a
c
y
a
y
a
y
a
j
n
m
mnnn
l
m
mlll
l
m
mlll
m
m
m
m
(1)
(2)