Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций. Сборник заданий.pdf
11
1.2. Лабораторная работа № 1.
Графический метод решения задач
Рассмотрим стандартную задачу линейного программирования с двумя
переменными (n = 2), состоящую в определении максимального значения целевой функции при заданных условиях:
max
2211
xcxcF
2,1
2211
,0
,1
j
j
iii
x
kibxaxa
Система линейных неравенств с двумя переменными, если она совместна,
образует некоторую выпуклую область, координаты точек которой являются
допустимыми решениями данной системы. Ограниченная или неограниченная
выпуклая область называется многоугольником допустимых решений системы
линейных неравенств (при n >2 – многогранник допустимых решений).
Исходная задача линейного программирования состоит в нахождении такой точки выпуклого многоугольника решений системы ограничений, в которой
целевая функция принимает максимальное значение. Эта точка является одной
из вершин или одной из сторон многоугольника решений.
Теоремы.
Каждому допустимому решению задачи линейного программирования
соответствует угловая точка многоугольника (многогранника) решений,
и наоборот, каждой угловой точке многоугольника (многогранника) соответствует допустимое решение.
Если задача линейного программирования имеет оптимальный план,
то целевая функция достигает своего максимального значения в одной
из вершин выпуклого многоугольника (многогранника) решений.
Если целевая функция достигает минимального (максимального) значения более чем в одной вершине многоугольника (многогранника), то она достигает этого значения и в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих вершин (в любой точке на прямолинейном отрезке, соединяющем
эти вершины).
Из теорем следует, что оптимальное решение, если оно существует, можно получить, «перебрав» все угловые точки многоугольника (многогранника)
решений, что не совсем удобно при большом количестве углов.
Алгоритм решения задачи графическим способом
1. В системе координат x10x2 на плоскости строят прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств
на знаки точных равенств.
2. Находят полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.
Определяют многоугольник решений.
3. Определяют вектор:
).,(21ссС
4. Строят линию уровня c1 x1 + c2 x2 = h, где h – любое число.
12
Прямую перемещают параллельно самой себе в направлении вектора
до ее опорного положения, в результате чего находят точку (точки), в которой
целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение или устанавливают неограниченность сверху функции на множестве допустимых решений.
5. Определяют координаты точки пересечения прямых, в которых целевая
функция достигает максимального (минимального) значения, и вычисляют значение целевой функции в этой точке.
Возможны ситуации:
область допустимых решений пуста, т.е. система ограничений противо-
речива;
целевая функция неограниченна на ОДР;
множество оптимальных решений бесконечно.
Пример. Основные идеи графического метода решения задачи линейного
программирования рассмотрим на решении задачи использования сырья.
Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 используется 3 вида сы-
рья: S1, S2 и S3. Подробная информация содержится в таблице.
Требуется составить такой план выпуска продукции, при котором вели-
чина прибыли будет наибольшей.
Вводим переменные: х1, х2 – количество единиц продукции, соответ-
ственно Р1 и Р2. Тогда целевая функция, определяющая прибыль, примет вид:
f = 50 x1 + 40 x2 → max.
Вид сырья
Количество сырья на 1
единицу
продукции
Запас сырья
Р1 Р2 S1 2 5 20
S2 8 5 40
S3 5 6 30
Прибыль от единицы продукции (руб.)
50
40
Выпишем ограничения для сырья:
2х1 + 5х2 ≤ 20 – ограничения по запасам сырья S1,
8х1 + 5х2 ≤ 40 – ограничения по запасам сырья S2,
5х1 + 6х2 ≤ 30, – ограничения по запасам сырья S3, где х1, х2 ≥ 0.
Построим область допустимых решений задачи (рис. 1). Для этого необходимо построить графики функций, заменив неравенства в ограничениях равенствами:
x2 = (20 – 2x1)/5, (1)
x2 = (40 – 8x1)/5, (2)
x2 = (30 – 5x1)/6. (3)
13
Рис. 1. Построение области допустимых решений задачи
Областью допустимых решений является многоугольник OABCD. Далее
построим линию уровня целевой функции: f = 50x1 + 40x2 = h, где h может принимать любое значение, например, 50 x1 + 40 x2 = 300. Перемещаем параллельно самой себе линию уровня до ее опорного положения с многоугольником.
Это будет точка B, пересечение линий графиков (2) и (3). Из решений соответствующих уравнений находим координаты этой точки (3,91; 1,74)
и подставляем их в целевую функцию:
f = 3,9150 + 1,7440 = 265,1.
Итак, максимальное значение целевой функции (максимум полученной
прибыли) равно 265,1, которое достигается при выпуске продукции P1 = 3,91
и P2 = 1,74.
Задание: графическим методом решить следующие задачи:
1. Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует не-
обходимые ресурсы. Нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида,
прибыль от реализации одного изделия и общее количество имеющихся ресурсов каждого вида приведены в таблице:
Ресурсы
Нормы затрат
ресурсов на одно
изделие
Общее количество
ресурсов
Стол
Шкаф
Древесина:
I вида 3 4
40
II вида 5 3
50
Трудоемкость чел./час
5
25
200
Прибыль от реализации одного изделия (руб.)
6
8
Определить, сколько столов и шкафов фабрике следует изготовлять, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.
14
2. Для производства двух видов изделий А и В используется токарное,
фрезерное и шлифовальное оборудование. Нормы затрат времени для каждого
из типов оборудования на одно изделие данного вида приведены в таблице.
В ней же указан общий фонд рабочего времени каждого из типов оборудования,
а также прибыль от реализации одного изделия.
Тип оборудования
Затраты времени
(станко-час) на обработку
одного изделия
Общий фонд
полезного рабочего
времени
оборудования (ч)
А
В
Фрезерное
10 8 168
Токарное
5
10
180
Шлифовальное
30
12
350
Прибыль от реализации
одного изделия (руб.)
30
18
Составьте план выпуска изделий А и В, обеспечивающий максимальную
прибыль от их реализации.
3. На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать заготовки трех видов в количествах не менее 24, 31 и 18 шт. соответственно. Каждый лист фанеры может быть разрезан на заготовки двумя способами. Количество получаемых заготовок при данном способе раскроя приведено в таблице. В ней же указана величина отходов, которые получаются при
данном способе раскроя одного листа фанеры.
Определите, сколько листов фанеры необходимо и каким способом
их следует раскроить так, чтобы получить заготовок не меньше нужного количества при минимальных отходах.
Вид
заготовки
Количество изделий (шт.) с листа
по каждому способу раскроя
1 2 I 2 6
II 5 4
III 2 3
Величина отходов
12
16
4. В швейном цехе имеется 380 м ткани. На пошив одного платья требу-
ется 5 м ткани, а на одну юбку 3 м. Трудоемкость пошива платья 5 чел.-час,
а юбки – 4 чел.-час. В мастерской работают 10 человек по 8 часов в день 5 дней
в неделю. Сколько следует изготовить платьев и халатов для получения
наибольшей стоимости продукции, если платье стоит 1 руб., а юбка – 30 руб.
5. На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для
обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны получать ежедневно лисицы и песцы, приведено в таблице. В ней же указаны общее количество корма
каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль
от реализации одной шкурки лисицы или песца.
15
Вид корма
Количество единиц корма,
которое ежедневно
должны получать животные
Общее
количество
корма
I
2 3 180
II
4 1 240
III
6 7 426
Прибыль от реализации одной
шкурки (руб.)
16
12
Определите, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме,
чтобы прибыль от реализации их шкурок была максимальной.
6. Некоторому заводу требуется составить оптимальный по реализации
производственный план выпуска двух видов изделий при определенных возможностях четырех видов машин. План выпуска должен быть таким, чтобы
от реализации выпущенной по этому плану продукции завод получил
бы наибольшую прибыль. Оба вида изделия последовательно обрабатываются
этими машинами. В таблице указано время, необходимое для обработки каждого изделия этих двух видов указанными типами машин. Завод от реализации
изделия вида 1 получает 4 руб., от реализации изделия вида II – 6 руб. прибыли.
Вид
изделий
Виды машин
1 2 3
4 I 1
0.5 1 0
II
1 1 0
1
Возможное время
работы машин (ч)
18
12
12
9
7. Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует
три вида сырья. Нормы расхода сырья каждого вида на изготовление единицы
продукции данного вида приведены в таблице. В ней же указаны прибыль
от реализации одного изделия каждого вида и общее количество сырья данного
вида, которое может быть использовано предприятием.
Вид сырья
Нормы расхода сырья (кг)
на одно изделие
Общее количество
сырья (кг)
А
В I 12 4 300
II
4 4 120
III 3 12
252
Прибыль от реализации одного изделия (руб.)
30
40
Учитывая, что изделия А и В могут производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен), требуется составить такой план их выпуска, при котором
прибыль предприятия от реализации всех изделий будет максимальной.
8. В швейном цехе имеется 84 м ткани. На пошив одного халата требуется
4 м ткани, а на одну куртку 3 м. Трудоемкость пошива халата 4 чел.-часа,
а куртки 5 чел.-час. В мастерской работают 15 человек по 8 часов в день.
16
Сколько следует изготовить халатов и курток за один день для получения
наибольшей стоимости продукции, если халат стоит 4 руб., а куртка – 6 руб.
Известно, что халатов можно изготовить не более 15, а курток – не более 20.
9. Содержание витаминов А и С в 1 кг фруктов задано таблицей:
Наименование фруктов
Витамин, шт.
А
С
Черешня
3
150
Абрикосы
24
75
Дневная норма витаминов не менее, мг
6
75
Сколько килограммов черешни и сколько килограммов абрикосов следует
включить в дневной рацион при минимальных затратах, если 1 кг черешни стоит 40 руб. а 1 кг абрикосов – 50 руб.
10. Известно, что откорм животных экономически выгоден при условии,
что каждое животное получает в дневном рационе не менее 6 единиц питательного вещества А, не менее 12 единиц вещества В, не менее 4 единиц вещества
С. Для откорма животных используется два вида кормов. В таблице показано,
сколько единиц каждого питательного вещества содержит 1 кг каждого вида
корма.
Какое количество каждого вида корма необходимо расходовать, чтобы
затраты на него были минимальные?
Питательные
вещества
Корм
I
II A 2
1
B
2
4
C
0
4
Цена корма за 1 кг
5
6
11. Фермер в своем хозяйстве может одновременно откармливать до 500
уток и гусей. Откорм одной утки обходится (в среднем) 10 руб., а одного гуся –
в 30 руб. Магазин согласен закупить откормленных птиц по следующим ценам:
30 руб. за утку, 70 руб. за гуся. Фермер может выделить на откорм птиц 9000
руб. В каком количестве следует откармливать уток и гусей, чтобы получить
максимальную прибыль?
12. Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует
три вида сырья. Нормы расхода сырья каждого вида на изготовление единицы
продукции данного вида приведены в таблице. В ней же указаны прибыль
от реализации одного изделия каждого вида и общее количество сырья данного
вида, которое может быть использовано предприятием.
Вид сырья
Нормы расхода сырья (кг)
на одно изделие
Общее количество
сырья (кг)
А В I
12 4 200
II
4 4 130
III
3
12
280
Прибыль от реализации
одного изделия
32
43
17
Определите производственную программу, обеспечивающую максималь-
ную прибыль.
13. Для похода решили приобрести партию консервов. Все консервы
должны содержать не менее 2 кг мяса, не менее 5 кг крупяных изделий
и не менее 1 кг жиров. В магазине имелись в продаже консервы 2 видов.
Компонент
Тип консервов (содержание продуктов в граммах)
1
2
Мясо
100
400
Крупа
300
200
Жиры
250
0
Цена 1 банки (руб.)
18
10
Сколько нужно купить консервов каждого вида, чтобы при этом затра-
тить меньшее количество денег?
14. Для повышения урожайности опытного участка необходимо внести
в почву не менее 300 условных единиц фосфорных удобрений и 200 условных
единиц калийных удобрений. В магазине не оказалось фосфорных и калийных
удобрений в чистом виде. В продаже были только 2 смеси удобрений, содержащие фосфор и калий. Один грамм смеси I содержит 2 единицы калийных
удобрений и 9 единиц фосфорных удобрений. Один грамм смеси II содержит 7
единиц калийных удобрений и 4 единицы фосфорных удобрений. Обе смеси
стоят одинаково – по 10 руб. за килограмм. Сколько нужно купить каждой смеси, необходимой для внесения в почву, чтобы при этом затратить на всю покупку как можно меньше денег?
15. Установка собирается из трех различных деталей – А, В, С. На одном
станке можно за смену изготовить либо 12 деталей типа А, 18 деталей типа
В и 30 деталей типа С (1-й режим работы), либо 20 деталей типа А, 15 деталей
типа В и 9 деталей типа С (2-й режим работы). За смену нужно изготовить детали для 720 установок. Какое наименьшее число станков (и при каком режиме
работы) нужно для выполнения заказа?
16. Для изготовления двух видов продуктов Р1 и Р2 используется три вида
сырья: B1, В2 и B3. Расход сырья для изготовления 1 кг продукта и запасы сырья
(кг), прибыль приносимая единицей изделия приведены в таблице. Составьте
план производства изделий, обеспечивающий получение максимальной прибыли.
Сырье
Норма расхода сырья
Запасы
сырья (кг)
A1 A
2
B1 4 2
38
B2 2 3
24
B3 2 4
28
Прибыль
10
18
17. Аэропорт использует пассажирские самолеты двух типов. Количество
самолетов каждого типа, количество пассажиров, которое может перевезти
каждый самолет за месяц, и расходы по эксплуатации самолетов указаны
в следующей таблице.
18
Каким образом следует использовать самолеты, чтобы при минимальных
затратах на эксплуатацию самолетов перевезти не менее 180 тыс. пассажиров?
Параметр
Тип самолета
С1
С2
Расходы на эксплуатацию (дес. тыс., руб.)
8
12
Число самолетов
45
30
Количество пассажиров, перевозимых 1 самолетом
за 1 месяц (в тыс. чел.)
2
3
18. На трех станках производят два вида изделий. Данные о затратах вре-
мени на обработку одного изделия, полезный фонд рабочего времени станков,
а также прибыль от реализации одного изделия представлены в таблице. Составьте план производства изделий, обеспечивающий получение максимальной
прибыли.
Станок
Норма времени на обработку
изделия (мин)
Полезный фонд ра-
бочего
времени (мин)
А В I 4 3
170
II 2 3
130
III 5 4
270
Прибыль (руб.)
3 4
19. Предприятие располагает производственными мощностями (в часах)
четырех видов (16, 10, 6, 7) и выпускает два вида продукции. Нормы затрат
мощностей каждого вида составляют на единицу продукции А – 1, 1, 0, 1
и единицу продукция В – 1, 1, 1, 0 соответственно. Прибыль от реализации
единицы продукции А равна 8, от единицы продукции В – 4.
Составьте план производства, при котором прибыль предприятия
от реализации всей продукции будет максимальной.
20. На трех станках обрабатываются два изделия. Каждое изделие проходит обработку на всех станках. В таблице задается трудоемкость обработки изделий на каждом станке, фонд полезного времени работы станков и прибыль от
единицы изделия.
Станок
Вид изделия
Фонд
Времени, ч
В1
В2
А1
4 2 48
А2
0 3 36
А3
2 1 40
Прибыль от единицы изделия (pyб.)
15
12
Составьте план производства изделий, обеспечивающих наибольшую
прибыль при наименьшей загрузке оборудования.
19
21. На четырех станках обрабатываются два вида изделия. Изделия проходят обработку на каждом станке. В таблице задана трудоемкость обработки
одного изделия и фонд полезного времени работы станков. Составьте план
производства изделий, обеспечивающий максимальную загрузку станков.
Станок
Вид изделия
Фонд
Времени, ч
В1
В2
А1 5 5
80
А2 2 1
18
А3 0 2
16
А4 1 0
8
Определите объем производства изделий, обеспечивающий выполнение
плана не менее чем на 120 руб. при наименьшей загрузке оборудования.
22. Для откорма крупного рогатого скота используется два вида кормов –
В1 и В2, в которые входят питательные вещества: А1, А2, А3. Содержание количества единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма, стоимость 1
кг корма и норма содержания питательных веществ в дневном рационе животного представлены в таблице. Составьте рацион при условии минимальной стоимости.
Питательные вещества
Вид кормов
Норма содержания
питательного вещества
В1 В
2
А1
3
4
24
А2
4
0
20
А3
5
1
16
Стоимость 1 кг корма
3
2
23. Для изготовления полки нужно вырезать из фанеры одну заготовку
для задней стенки (деталь А), две заготовки для боковинок (деталь В) и три
одинаковых заготовки для верхней, средней и нижней горизонтальных панелей
(детали С). Имеющиеся на мебельном комбинате листы фанеры таковы, что при
первом способе раскроя из одного листа можно изготовить одну деталь типа А,
4 детали типа В и 8 деталей типа С, а при втором способе раскроя – 3 детали
типа А, 2 детали типа В и 2 детали типа С. Можно ли, имея 180 листов фанеры,
изготовить 200 полок?
24. На три завода З1, З2, З3 необходимо завезти сырье одинакового вида
в количестве 10, 15, 20 т соответственно. Сырье хранится на двух складах С1, С2
в количестве 20 и 25 т. Расстояние от складов до заводов задано в таблице
Склад
Завод
З1
З2
З3
С1 5 7
10
С2 3 4
6
Найдите наиболее выгодный вариант перевозок, для которого общее ко-
личество тонно-километров будет наименьшим.
25. Для перевозки готовых изделий четырех типов А, B, C, D завод использует стандартные ящики. Форма и габариты изделий таковы, что на складе
применяются два способа упаковки изделий в ящике:
20
Способ
упаковки
Типы изделий
A B C D I
1 2 1 5 II
2 1 5
1
Магазин сделал запрос на доставку не менее: 400 изделий типа A, 500 изделий типа B, 500 изделий типа C, 1000 изделий типа D. Может ли склад осуществить упаковку требуемых изделий, если имеется 300 ящиков? Каково
наименьшее количество ящиков требуется для упаковки изделий?