Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций. Учебно-методическое пособие по лабораторным занятиям, самостоятельной и индивидуальной работе для студентов всех направлений
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
образования
Томский государственный университет систем
управления и радиоэлектроники (ТУСУР)
Кафедра автоматизированных систем управления (АСУ)
А.Я. Суханов
Исследование операций
Учебно-методическое пособие по лабораторным занятиям, самостоятельной и
индивидуальной работе для студентов всех направлений
Томск
2023
УДК 519.8 (075.8)
ББК 22.185
С910
Рецензент:
Исакова А.И., доцент кафедры Автоматизированных систем управления ТУСУР,
канд. техн. наук
Суханов, Александр Яковлевич
С910 Исследование операций : учебно-методическое пособие по выполнению
лабораторных работ, самостоятельной и индивидуальной работе для студентов всех
направлений / А. Я. Суханов. – Томск: ТУСУР, 2023. – 99 с.
Настоящее учебно-методическое пособие по выполнению лабораторных работ и самостоятельной
работе студентов составлено с учетом требований федерального государственного образовательного
стандарта высшего образования (ФГОС ВО). Учебное пособие содержит задания на выполнение
лабораторных работ по дисциплине исследование операций, теоретические материалы, примеры
программных реализаций и хода решений, набор вопросов на теоретическое освоение математических и
теоретических основ исследования операций, систем массового обслуживания и элементов теории игр.
Даны все необходимые указания для выполнения лабораторных студентами всех направлений
специальностей и бакалавриата.
Одобрено на заседании кафедры АСУ протокол № 11 от 23 ноября 2023 года.
УДК 519.8 (075.8)
ББК 22.185
© Суханов А. Я., 2023
© Томск. гос. ун-т систем упр.
и радиоэлектроники, 2023
2
Оглавление
Введение ................................................................................................................................ 5
1 Исследование операций. Введение в дисциплину ........................................................ 6
1.1 Контрольные вопросы по терминологии Исследования операции ...........................13
2 Векторная операция ........................................................................................................14
2.1 Метод уступок .............................................................................................................16
2.1.1 Метод равномерной уступки ........................................................................................... 16
2.1.2 Принцип справедливой абсолютной уступки ................................................................. 17
2.1.3 Принцип относительной справедливой уступки ............................................................ 18
2.1.4 Принцип последовательных уступок .............................................................................. 19
2.2 Метод идеальной точки. .............................................................................................19
2.3 Метод ограничений .....................................................................................................20
2.4 Метод свертки векторной операции. ..........................................................................23
2.4.1 Теорема о свертке ............................................................................................................ 26
2.5 Практические задания по векторной операции .........................................................28
2.6 Контрольные вопросы по теории ...............................................................................29
3 Задача линейного программированию и ОСНОВЫ анализа на чувствительность
...............................................................................................................................................30
3.1 Постановка и классификация задач математического программирования...............30
3.2 Основы анализа на чувствительность ........................................................................36
3.2.1 Первая задача анализа на чувствительность ................................................................... 36
3.3 Вторая задача анализа на чувствительность. Увеличение объема какого из ресурсов
наиболее выгодно?............................................................................................................39
3.4 Третья задача анализа на чувствительность ..............................................................40
3.5 Условия Куна-Таккера ................................................................................................41
3.6 Задание на лабораторную работу по линейному программированию ......................42
4 Динамическое программирование. Задача о распределении ресурсов ....................43
4.1 Алгоритм метода динамического программирования ...............................................43
4.2 Задача о распределении ресурсов ..............................................................................44
4.2.1 Распределение ресурсов по неоднородным этапам ........................................................ 44
4.2.2 «Классическая» задача распределения ресурсов ............................................................ 45
4.2.3 Задача резервирования ресурсов ..................................................................................... 46
4.2.4 Распределение ресурсов с вложением доходов в производство. .................................... 46
4.2.5 Решение «классической» задачи распределения ресурсов ............................................. 47
4.2.6 Связь различных типов задач распределения ресурсов .................................................. 51
4.2.7 Пример задачи динамического программирования о распределении нескольких
ресурсов .................................................................................................................................... 52
4.3 Задание на задачу динамического программированию по распределению ресурсов
...........................................................................................................................................52
5 Генерация случайных величин......................................................................................54
5.1 Метод численного моделирования (Метод Монте-Карло) ........................................54
5.2 Моделирование случайных величин с равномерным распределением ....................54
5.2.1 Общие сведения о моделировании равномерного распределения ................................. 54
5.2.2 Псевдослучайные числа .................................................................................................. 55
5.2.3 Примеры датчиков псевдослучайных чисел ................................................................... 58
5.3 Моделирование случайных величин с заданным законом распределения ...............61
5.3.1 Моделирование дискретных случайных величин ........................................................... 61
5.3.2 Моделирование случайных событий ............................................................................... 61
5.3.3 Моделирование непрерывной случайной величины....................................................... 62
5.3.4 Моделирование экспоненциального распределения ....................................................... 62
5.3.5 Пуассоновская случайная величина ................................................................................ 62
5.3.6 Гауссовская случайная величина ..................................................................................... 63
5.3.7 Случайная величина с логнормальным распределением ............................................... 64
5.4 Моделирование n-мерной случайной величины ........................................................64
3
5.5 Расчет площади или объема методом Монте-Карло..................................................65
5.6 Задания на моделирование случайных величин и метод Монте-Карло....................65
6 Теория Систем Массового Обслуживания (СМО) ......................................................69
6.1 Многоканальная СМО с ожиданием ..........................................................................72
6.2 Моделирование систем массового обслуживания .....................................................74
6.3 Задание на Системы массового обслуживания ..........................................................75
6.4 Контрольные вопросы по теории массового обслуживания .....................................76
7 Теория игр ........................................................................................................................77
7.1 Типы игр ......................................................................................................................78
7.1.1 Кооперативная и некооперативная игра .......................................................................... 78
7.1.2 С нулевой суммой и ненулевой суммой .......................................................................... 78
7.1.3 Параллельные и последовательные ................................................................................. 78
7.1.4 С полной или неполной информацией ............................................................................ 78
7.2 Решение матричной игры nxm по критерию Гурвица, Сэвиджа, Байеса и Вальда ..78
7.2.1 Игры с природой .............................................................................................................. 78
7.2.2 Критерий Вальда (максиминный). .................................................................................. 79
7.2.3 Критерий максимума (максимаксный) ............................................................................ 79
7.2.4 Критерий Гурвица ............................................................................................................ 79
7.2.5 Критерий Сэвиджа (минимаксный)................................................................................. 80
7.2.6 Критерий Байеса .............................................................................................................. 80
7.3 Чистые и смешанные стратегии .................................................................................80
7.4 Решение матричной игры (2х2) ..................................................................................82
7.5 Упрощение матричной игры.......................................................................................87
7.6 Решение игр и ........................................................................................89
7.7 Решение коалиционных игр, нахождение ядра и вектора Шепли.............................92
7.7.1 Ядро .................................................................................................................................. 93
7.7.2 Вектор Шепли .................................................................................................................. 94
7.8 Задания по теории игр ................................................................................................95
7.9 Контрольные вопросы по теории игр. .......................................................................96
Список использованных источников...............................................................................97
Приложение А. Пример оформления титульного листа отчета ......................................98
Приложение Б. Список экзаменационных вопросов .......................................................99
4
Введение
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов бакалавров очной
формы обучения и содержит теоретический материал по дисциплине «Исследование
операций» для студентов бакалавров всех направлений специальностей. Данный курс
включает в себя также элементы теории игр и теории массового обслуживания и
формирует у студента навыки исследователя, применяющего системный подход к
решению возникающих задач, объясняя необходимость математического моделирования
практически во всех областях человеческой деятельности на простых примерах о
производстве, а так же объясняя важность применения подобных подходов.
Целью дисциплины «Исследование операций» является овладение методикой
операционного исследования, усвоение вопросов теории и практики построения и
анализа операционных моделей в системах различного назначения.
Основными задачами изучения дисциплины является:
Обучение приемам и методам исследования операций, математическим методам
оптимизации, а также методам математического моделирования операций теории игр.
Обучение основам и методам решения задач теории массового обслуживания.
Получение навыков решения задач линейного и динамического
программирования, методам анализа принятого решения на устойчивость.
5
1 Исследование операций. Введение в дисциплину
Исследование операций (ИО) – дисциплина, занимающаяся разработкой и
применением математических и количественных методов для нахождения оптимальных
решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности или
дисциплина, занимающаяся разработкой и применением методов нахождения
оптимальных решений на основе математического моделирования, статистического
моделирования и различных эвристических подходов в различных областях
человеческой деятельности [1-6].
Происхождение названия "Исследование Операций" объясняется
историческими причинами. Впервые исследования в этой области были выполнены в
Англии в период Второй Мировой войны и имели целью помочь командованию принять
решения по руководству боевыми операциями. Успех работы привёл к тому, что после
войны оформившиеся приёмы и методы исследования операций начали использовать в
других областях, где было необходимо управление сложными техническими и
экономическими человеко-машинными системами.
В годы Второй мировой войны исследование операций широко применялось для
планирования боевых действий. Так, специалисты по исследованию операций работали
в командовании бомбардировочной авиации США, дислоцированном в Великобритании.
Ими исследовались многочисленные факторы, влияющие на эффективность
бомбометания. Были выработаны рекомендации, приведшие к четырёхкратному
повышению эффективности бомбометания. Из-за дислокации в отделе оперативных
действий (Operations) дисциплина и получила своё оригинальное название по имени
адреса, на который высылалась почта для отдела: Operations/Research.
В начале войны боевое патрулирование самолетов союзников для обнаружения
кораблей и подводных лодок противника носило неорганизованный характер.
Привлечение к планированию специалистов по исследованию операций позволило
установить такие маршруты патрулирования и такое расписание полетов, при которых
вероятность оставить объект незамеченным была сведена до минимума. Полученные
рекомендации были применены для организации патрулирования над Южной
Атлантикой с целью перехвата немецких кораблей с военными материалами. Из пяти
вражеских кораблей, прорвавших блокаду, три были перехвачены на пути из Японии в
Германию, один был обнаружен и уничтожен в Бискайском заливе и лишь одному
удалось скрыться благодаря тщательной маскировке.
Решение – выбор из ряда возможностей, имеющихся у организатора.
Чем сложнее и масштабнее планируемое мероприятие, тем менее допустимы в
нем "волевые" решения и тем важнее становятся научные методы, позволяющие заранее
оценить последствия каждого решения, заранее отбросить недопустимые варианты и
рекомендовать наиболее удачные; установить, достаточно ли имеющейся информации
для правильного выбора решения, и если нет-какую информацию нужно получить
дополнительно. Слишком опасно в таких случаях опираться на свою интуицию, на "опыт
и здравый смысл". В эпоху научно-технической революции техника и технология
меняются настолько быстро, что "опыт" просто не успевает накапливаться. К тому же
часто идет речь о мероприятиях уникальных, проводимых впервые. "Опыт" в этом
случае молчит, а "здравый смысл" легко может обмануть, если не опирается на расчет.
Такими расчетами, облегчающими людям принятие решений, и занимается исследование
операций.
Особую актуальность приобретает улучшение работы координирующих и
управляющих центров, которым предоставлено право принимать ответственные
решения. В том числе при управлении какими то объектами, что представляет в общей
совокупности автоматизированную систему управления – АСУ.
АСУ можно определить как систему организационно-технического управления,
6
основанного на использовании достоверной и полной информации, современной
вычислительной техники, научных методов для анализа возможных решений.
Рисунок 1.1 – Автоматизированная система управления
Как раз для выработки решений применяемых при управлении АСУ и
применяются методы исследования операций. Хотя в настоящее время появляются не
только автоматизированные или автоматические системы, напомним, что
автоматизированная система предполагает наличие человека в схеме управления, в
отличие от автоматической, но и интеллектуальные и интеллектуализированные. Данные
системы позволяют вырабатывать новый алгоритм поведения в новых сложившихся
условиях, такие системы, например интеллектуальные уже используют алгоритмы
обучения с подкреплением.
Приведем классические задачи, которые решались с использованием методики
Исследования операций и найдем в них общие закономерности, которые позволят нам
дать определения для терминологии использующейся данной дисциплиной.
1. Продажа сезонных товаров.
Для реализации сезонных товаров создается сеть временных торговых точек.
Требуется определить их число, размещение, запасы, количество персонала для
получения максимальной прибыли.
2. Снегозащита дорог.
В условиях Крайнего Севера метели, заносящие снегом дороги, представляют
серьезную помеху движению. Любой перерыв движения приводит к экономическим
потерям. Существует ряд возможных способов снегозащиты (профиль дороги, защитные
щиты и т. д.), каждый из которых требует известных затрат на сооружение и
эксплуатацию. Известны господствующие направления ветров, есть данные о частоте и
интенсивности снегопадов. Требуется разработать наиболее эффективные экономически
средства снегозащиты (какую из дорог, как и чем защищать?) с учетом потерь, связанных
с заносами.
3. Выборочный контроль продукции.
Завод выпускает определенного вида изделия. Для обеспечения их высокого
качества организуется система выборочного контроля. Требуется разумно организовать
контроль (т. е. выбрать размер контрольной партии, набор тестов, правила браковки и т.
д.) так, чтобы обеспечить заданный уровень качества при минимальных расходах на
контроль.
4. Медицинское обследование.
7
Известно, что в каком-то районе обнаружены случаи опасного заболевания. С
целью выявления заболевших (или носителей инфекции) организуется медицинское
обследование жителей района.
5. Библиотечное обслуживание.
Крупная библиотека обслуживает запросы, поступающие от абонентов. В фондах
библиотеки имеются книги, пользующиеся повышенным спросом, книги, на которые
требования поступают реже и, наконец, книги, почти никогда не запрашиваемые.
Имеется ряд возможностей распределения книг по стеллажам и хранилищам, а также по
диспетчеризации запросов с обращениями в другие библиотеки. Нужно разработать
такую систему библиотечного обслуживания, при которой запросы абонентов
удовлетворяются в максимальной мере.
6. План снабжения предприятий.
Имеются сырьевые базы и предприятия-потребители. Требуется разработать
такой план снабжения сырьем каждого предприятия (с какой базы, в каком количестве,
каким видом транспорта и какое сырье доставляется), чтобы потребности в сырье были
обеспечены при минимальных расходах на перевозки. Здесь показатель эффективности –
суммарные расходы на перевозки сырья в единицу времени (R → min).
7. Постройка участка магистрали.
При постройке участка магистрали в распоряжении имеется определенные
средства (трудовые и материальные ресурсы), требуется спланировать строительство
(распределить ресурсы) так, чтобы строительство было завершено в минимальный срок.
Здесь необходимо учитывать случайные факторы (метеоусловия, отказы техники), и
тогда показатель эффективности – среднее ожидаемое время окончания строительства (Т
→ min).
8. Сеть торговых точек.
Требуется спланировать количество торговых точек, их размещение, товарные
запасы, чтобы обеспечить максимальную экономическую эффективность распродажи.
Здесь показатель эффективности – средняя ожидаемая прибыль от реализации товаров
(П → mах).
9. Задача о комплексном использовании сырья.
Исходное сырье или материал может перерабатываться различными
технологическими способами. В каждом случае получается в различном сочетании
несколько видов продукции. Требуется найти план переработки, при котором заданные
объемы конечной продукции получались бы с наименьшими затратами исходных
материалов. Одним из распространенных примеров применения этого типа задач
является оптимальный раскрой материалов.
10. Противолодочный рейд.
Требуется рационально организовать боевую операцию по уничтожению
подводной лодки группой самолетов (выбрать маршруты самолетов, высоту полета,
способ атаки). Здесь показатель эффективности – вероятность того, что лодка будет
уничтожена.
11. Распределение изделий между предприятиями (оборудования между
участками) – минимизация суммарных затрат на изготовление всех изделий с учетом
времени производства.
12. Регулирование парка вагонов (распределение вагонов разных типов под
различные грузы) - минимизация суммарных затрат на погрузку.
13. Выбор рациональных пропорций производства и использования
энергоресурсов при минимуме затрат (объем добычи угля и план распределения
различных сортов угля между энергетическими установками, обеспечивающий их
потребности наиболее экономным путем).
14. Задача планирования добычи угля в априорных решающих правилах.
В угольной промышленности технико-экономические показатели сильно зависят
8
от природных факторов, которые не всегда могут быть предсказаны заранее. Это:
мощность и угол падения пластов, обводнённость участков,склонность к выбрасыванию
газов, физико-механические свойства угля и пород, надежность оборудования,
эксплуатационные расходы. Природные условия сказываются на надежности
оборудования, эксплуатационных расходах и т. д. и, в конечном счете, на области
определения допустимых решений. Поэтому выбор оптимального проекта плана
(решения) – это задача стохастического программирования.
15. Задача о ранце.
Из заданного множества предметов со свойствами «стоимость» и «вес», требуется
отобрать некое число предметов таким образом, чтобы получить максимальную
суммарную стоимость при одновременном соблюдении ограничения на суммарный вес.
16. Задача коммивояжёра.
Задача, заключающаяся в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего
через указанные города хотя бы по одному разу с последующим возвратом в исходный
город. В условиях задачи указываются критерий выгодности маршрута (кратчайший,
самый дешёвый, совокупный критерий и тому подобное) и соответствующие матрицы
расстояний, стоимости и тому подобного.
17. Транспортная задача.
Математическая задача линейного программирования специального вида о поиске
оптимального распределения однородных объектов из аккумулятора к приемникам с
минимизацией затрат на перемещение. Для простоты понимания рассматривается как
задача об оптимальном плане перевозок грузов из пунктов отправления в пункты
потребления, с минимальными затратами на перевозки.
18. Задача об упаковке в контейнеры.
Задача заключается в упаковке объектов предопределённой формы в конечное
число контейнеров предопределённой формы таким способом, чтобы число
использованных контейнеров было наименьшим или количество или объём объектов
(которые упаковывают) были наибольшими.
В соответствии с общими чертами характеризующим данные задачи
вырабатываются и общие приемы решения подобных задач, в совокупности
составляющие методологическую схему и аппарат исследования операции. Из
приведённых выше примеров следует, что не для всех из них на практике применяются
математические методы обоснования решений; в некоторых случаях решения
принимаются интуитивно. Однако с течением времени доля задач, где для выбора
решения применяются математические методы, постоянно растет.
Рассмотрим основные понятия, выработанные данной дисциплиной.
Операция – всякое мероприятие или система действий, объединённые единым
замыслом и направленные на достижение какой-то цели, существующее во времени,
проходящее различные этапы(фазы) развития и завершающийся получением конечного
результата, сопоставимого с исходной целью.
Примеры
1. Разработка плана снабжения предприятий при минимальных затратах.
2. Организация продажи сезонных товаров при максимальной экономической
эффективности.
3. Обеспечение требуемого качества продукции при минимальных расходах на
контроль
4. Организация системы медицинского обслуживания для скорейшего
прекращения распространения инфекции.
Оперирующие стороны – отдельные лица и коллективы, объединённые
организационным руководством и активно стремящиеся к достижению поставленной
цели.
Активные средства проведения операции – совокупность материальных,
9
энергетических, денежных, трудовых и других ресурсов, а также организационных
возможностей, используемых оперирующей стороной для обеспечения успешного хода
операции и достижения её цели.
Стратегии оперирующей стороны в данной операции – допустимые (не
выходящие за пределы технических, организационных, физических возможностей)
способы расходования ею имеющихся активных средств. Среди допустимых находятся
и оптимальные стратегии.
Действующие факторы операции – объективные условия и обстоятельства,
определяющие её особенности и непосредственно влияющие на её исход. Различают
факторы:
Определённые (точно известные)
Неопределённые (имеющие вероятностную природу или проявляющиеся
беспорядочно)
Все они разделяются на:
Контролируемые оперирующей стороной
Неконтролируемые оперирующей стороной
Пример определённого неконтролируемого фактора – сила притяжения Земли
или количество минут в часах, максимальное время трудового рабочего дня с точки
зрения работника и работодателя в отношении трудового законодательства.
Пример контролируемого фактора – количество войск в армии (известно
количество человек в армии и это количество можно менять путем мобилизации),
максимальное время трудового рабочего дня с точки зрения государственной
законодательной власти.
Пример неопределённого неконтролируемого фактора – температура в этот
день через год, время прихода маршрутки на остановку с точки зрения пассажира на
остановке.
Критерий эффективности операции (целевая функция) – показатель
требуемого, или ожидаемого, или достигнутого соответствия между результатом
предпринимаемых действий и целью операции. Важнейшая функция критерия –
возможность сравнительной оценки различных стратегий до начала их реализации.
Правильный выбор показателя эффективности является необходимым условием
полезности исследования, применяемого для обоснования решения.
Показатель эффективности часто называют целевой функцией.
Для иллюстрации принципов выбора показателя эффективности вернемся опять к нашим
примерам. Выберем для каждого из них естественный показатель эффективности и
укажем, требуется его максимизировать или минимизировать.
1. План снабжения предприятий.
Задача операции-обеспечить снабжение сырьем при минимальных расходах на
перевозки. Показатель эффективности R-суммарные расходы на перевозки сырья за
единицу времени, например, месяц (R=>max)
2. Продажа сезонных товаров.
В качестве показателя эффективности можно взять среднюю ожидаемую прибыль
П от реализации товаров за сезон (П=>max)
3. Выборочный контроль продукции.
Естественный показатель эффективности, подсказанный формулировкой задачи,
это средние ожидаемые расходы R на контроль в единицу времени, при условии, что
система контроля обеспечивает заданный уровень качества например, средний процент
брака не выше заданного (R=>max)
4. Медицинское обследование.
В качестве показателя эффективности можно выбрать средний процент (долю) Q
больных и носителей инфекции, которых удалось выявить (Q=>max).
Состоянием операции в некоторый момент времени t называется совокупность
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]