Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций. Сборник заданий.pdf
21
1.3. Лабораторная работа № 2.
Симплексный метод решения задач
В случае количества элементов решения n > 3 можно построить n-мерный
многогранник решений, найти координаты его вершин и вычислить значения
целевой функции в этих точках. Наименьшее (наибольшее) среди полученных
значений можно принять за искомое, а координаты соответствующих вершин –
за оптимальные значения элементов решения (проектных параметров).
Симплекс – простейший выпуклый многогранник при данном числе измерений: при n = 2 – произвольный многоугольник, n ≥ 3 – многогранник.
Теорема 1. Любому допустимому решению задачи линейного программирования соответствует по крайней мере хотя бы одна угловая точка многогранника решений и, наоборот, любой угловой точке многогранника решений
соответствует допустимое базисное решение.
Симплексный метод решения задачи линейного программирования осно-
ван на переходе от одного допустимого решения к другому, при котором значение целевой функции улучшается (уменьшается при f(x)→min или увеличивается при f(x)→max). Указанный переход возможен, если известно какое-нибудь
начальное допустимое решение (базисное неотрицательное решение системы
уравнений ограничений). Процесс решения симплекс-методом является итерационным. Проверку допустимого (базисного) решения осуществляют
с помощью критерия оптимальности (оценки):
• задача линейного программирования на минимум (максимум) имеет
оптимальное решение, если все коэффициенты целевой функции f(x) в строке
симплексной таблицы не положительны (не отрицательны);
• задача линейного программирования на минимум (максимум) не имеет
оптимальное решение, если все коэффициенты столбца над положительным
(отрицательным) коэффициентом целевой функции f(x) в строке симплексной
таблицы не положительны (не отрицательны).
Симплексным называется преобразование однократного замещения, при
котором разрешающий элемент выбирается следующим образом (при f(x)→min):
• из столбцов с положительной оценкой выбирается столбец p так, чтобы
он содержал хотя бы один положительный элемент,
• для каждого положительного элемента aip p-го столбца находим отно-
шение bi/aip,
• за разрешающий элемент выбираем тот элемент, для которого выполня-
ется условие min(bi/aip,).
Примечание:
при f(x)→max разрешающий элемент выбирается из столбцов
с отрицательной оценкой,
симплексное преобразование производят над системой уравнений-
ограничений и целевой функцией одновременно.
22
Возможны ситуации:
1) нет положительных оценок (при f(x)→min), следовательно, в этой точ-
ке (b1, b2,…bi, 0, 0, 0) целевая функция достигла min,
2) по крайней мере в одном столбце с положительной оценкой нет поло-
жительных членов: целевая функция не имеет min (целевая функция
не ограничена областью допустимых решений, т.е. не существует оптимального
плана),
3) в каждом столбце с положительной оценкой имеется хотя бы один по-
ложительный член, тогда производят симплексное преобразование. При этом
значение целевой функции будет уменьшаться либо оставаться без изменения.
Формулы симплексного преобразования (правило прямоугольника).
Рассмотрим два любых уравнения системы ограничений, выписав коэффициенты при неизвестных xp и xj в строках q и i:
Разрешающий элемент
xp
… xj
q …
aqp
… aqj
←Разрешающая строка
…
…
… …
i …
aip
… aij
↑ Разрешающий столбец
Преобразуем уравнение q так, чтобы коэффициент при xp был равен 1, тогда коэффициенты при остальных переменных в этой строке будут равны:
a
a
a
qp
qj
qj
'
(a
qp
0, путем перестановки уравнений всегда можно добиться этого
условия).
Далее, исключим xp из i-го уравнения, определив коэффициенты при осталь-
ных переменных в строке как
qp
qjipijqp
qp
qjip
ij
ij
a
aaaa
a
aa
a
a
'
(i q). (*).
Преобразование матриц по этим формулам называют гауссовым, aqp–
разрешающим элементом, строка q – разрешающей строкой, столбец р – разрешающим столбцом, aqp – разрешающим элементом [4].
Алгоритм решения задачи симплексным методом
1. Приведем задачу к каноническому виду. Допустим, дана целевая функ-
ция f = c1x1 + c2x2 + с0 → max при следующих ограничениях:
a11x1 + a12x2 ≥ b1 преобразуем уравнения a11x1 + a12x2 – x3 = b1
a21x1 + a22x2 ≤ b2 к равенствам a21x1 + a22x2 + x4 = b2, (bi ≥ 0),
а целевую функцию к виду F = – f= – с0 – c1x1 – c2x2 → min.
Примечание: при bi < 0 умножаем уравнение на (-1).
Введенные переменные x3, x4 называются дополнительными переменными и обычно в задачах показывают величину неиспользуемого соответствующего ресурса, в данной задаче: x3 – для первого, x4 – для второго ресурса.
2. Решаем систему уравнений методом Гаусса (по схеме единственного
деления) [4], находим любое допустимое (неотрицательное базисное) решение
23
x1 + a
´
13 x3
+ a
´
14 x4
= b
´
1
x2 + a
´
23 x3
+ a
´
24 x4
= b
´
2
и исключаем базисные переменные из целевой функции, преобразованной
к виду F + c1x1 + c2x2 = – с0. Для исключения переменных необходимо первое
уравнение умножить на (–c1), второе – на (–c2) и подставить в целевую функцию. Целевая функция примет вид: – c
´
3x3
– c
´
4x4
= с
´
0
. Получили, что в точке
(b
´
1
, b
´
2
, 0, 0) целевая функция имеет значение с
´
0
.
3. Если коэффициенты при переменных (оценки, критерии оптимальности) в целевой функции (при f → min) положительны, то применяем к системе
уравнений и целевой функции симплексные преобразования.
4. Преобразования проводят до тех пор, пока все оценки в строке для це-
левой функции не будут отрицательными, т.е. при полученных значениях базисных переменных получили оптимальное решение задачи.
Примечание: при решении задачи на нахождение максимального значения целевой функции оценки (критерии оптимальности) должны быть положительными.
Пример 1. Получите решение задачи, рассмотренной в лабораторной ра-
боте № 1, симплексным методом:
F = 50x1 + 40x2 → max при ограничениях:
2х1 + 5х2 ≤ 20
8х1 + 5х2 ≤ 40
5х1 + 6х2 ≤ 30 , х1, х2 ≥ 0.
Приведем задачу к каноническому виду: f = –F = – 50x1 – 40x2 → min,
а ограничения неравенства к ограничениям равенствам
2х1 + 5х2 +x3 = 20
8х1 + 5х2 +x4 = 40
5х1 + 6х2 + x5 = 30,
введя дополнительные переменные x3, x4, x5. Получили сразу исходное допустимое решение (0, 0, 20, 40, 30) – неотрицательное базисное решение системы
уравнений. Подставляем полученное решение в целевую функцию:
f + 50x1 + 40x2 = 0, т.е. при данном допустимом решении f = 0.
Получено первое допустимое решение. А далее уже можно применять
симплексные преобразования к системе уравнений и целевой функции одновременно для нахождения следующего допустимого решения.
Решение задачи проведем в MS Excel, аналогично решению системы
уравнений методом Гаусса по схеме единственного деления (подробнее см. [4]).
Заполним таблицу исходными данными (см. рис. 2 раздел I).
Так как были введены дополнительные переменные x3, x4, x5, то они образовали единичный базис, при котором базисное решение неотрицательное, т.е.
является допустимым решением задачи. Подставляем его в целевую функцию.
Для этого в четвертой строке вписываем целевую функцию в виде f + 50x1 +
40x2 = 0. Все оценки в строке f положительные. Применяем симплексные преобразования. За разрешающий элемент можно выбрать любой коэффициент
в любом столбце, но столбец с оценкой 50 накладывает более жесткие ограни-
24
чения, поэтому его выбираем за разрешающий столбец, т.е. в базис вводим переменную x1.
За разрешающий элемент выбираем положительный элемент в столбце,
для которого выполняется условие min bi/a
i1. В
данном случае это будет элемент
со значением 8 (рис. 2). А далее применяем формулы симплексного преобразования: коэффициенты разрешающей строки делим на значение разрешающего
элемента, остальные коэффициенты таблицы определяем по формуле (*) преобразований.
Рис. 2. Решение задачи симплексным методом в MS Excel (режим формул)
оценки
Рис. 3. Решение задачи симплексным методом в MS Excel (режим вычислений)
В итоге получили вторую симплекс-таблицу (см. рис. 3, раздел II). Целевая функция имеет одну положительную оценку (8,75). За разрешающий элемент выбираем коэффициент, для которого выполняется условие min bi/ai2 (см.
данные в столбце I, см. рис. 3). Это – коэффициент при x2 в третьем уравнении
(2,875).
Снова проводим симплекс преобразования и получаем третью симплекстаблицу (см. рис. 3, раздел III). Целевая функция имеет уже отрицательные
оценки, следовательно, найденное решение – оптимально.
Получили следующее решение: максимальное значение целевая функция
имеет 265,217 (F = – f) в точке с координатами (3,9; 1,7). Переменные x3, x4, x5
введены искусственно.
25
Примечание: разрешающая строка и разрешающий столбец на рисунках
выделены другим цветом. Чтобы не вводить формулы преобразования для каждого элемента матрицы, используются возможности MS Excel для
их копирования с применением абсолютной и смешанной адресаций. Для разрешающего элемента применяется абсолютная адресация, он как бы «замораживается». Для элемента, расположенного на разрешающей строке, используется смешанная адресация: «замораживается» строка, а для элемента, расположенного в разрешающем столбце, «замораживается» имя столбца.
Пример 2. Найдите максимальное значение функции F = 2x1 + x2 при граничных условиях: x1 + 10x2 ≥ 10
x1 + x2 ≥ 2
x1 + 2x2 ≤ 8 при xi ≥ 0, i=1,2.
Приведем задачу к каноническому виду:
f = – F = – 2x1 – x2 → min при ограничениях
x1 + 10x2 – x3 = 10
x1 + x2 – x4 = 2
x1 + 2x2 + x5 = 8 при xi ≥ 0, i=1,…, 5.
Заполняем таблицу исходными данными (рис. 4). Вначале надо найти исходное допустимое решение (неотрицательное базисное решение системы
уравнений). За разрешающий элемент выбираем коэффициент при x1 во втором
уравнении, применяем гауссовы преобразования. Далее за разрешающий коэффициент выбираем коэффициент при x4 в третьем уравнении, затем при x2
в первом уравнении. В итоге получили допустимое, опорное решение (базисное
неотрицательное решение системы уравнений): 7,5; 0,25; 0; 5,75.
Затем, это решение необходимо подставить в целевую функцию f, преобразованной к виду: + 2x1 + x2 = 0. Вписываем в строку f коэффициенты при неизвестных целевой функции (см. рис. 4). Чтобы подставить полученное допустимое решение в целевую функцию, умножаем первую строку на (–1), вторую
– на (-1), третью – на (0) и складываем все строки по столбцам. Получаем новые
коэффициенты целевой функции при полученном базисе.
Коэффициенты целевой функции (оценки) отрицательны, следовательно,
получено оптимальное решение.
Максимальное значение целевой функции f = – F = 15,25 достигается
в точке с координатами (7,5; 0,25). Переменная x4 введена искусственно, поэтому она не учитывается.
26
Рис. 4. Решение задачи симплекс-методом в MS Excel
Задание: Постройте математическую модель и решите задачу графиче-
ским и симплексным методами.
1. На трех станках обрабатываются два вида изделия. Каждое изделие
проходит обработку на каждом станке. В таблице задается трудоемкость обработки каждого изделия на каждом станке, фонд полезного времени работы
станков и отпускная цена единицы изделия.
Станок
Вид изделия
Фонд времени, мин
В1
В2
A1
4 2 48
A2
0 3 36
A3
2 2 40
Цена единицы изделия, руб.
15
12
Найдите объем производства изделий, обеспечивающий выполнение пла-
на не менее чем на 120 руб. при наименьшей загрузке оборудования.
2. На четырех станках обрабатываются два вида изделия. Каждое изделие
проходит обработку на каждом станке. В таблице задана трудоемкость обработки одного изделия и фонд полезного времени работы станков. Составьте
план производства изделий, обеспечивающий максимальную прибыль.
27
Станок
Вид изделия
Фонд времени, мин
В1
В2
А1
15
3
120
А2
2
1
18
А3
0
2
16
А4
1
0
8
Прибыль, руб.
6
2
3. Предприятие изготовляет два вида изделия. Каждое изделие требует
обработки на трех видах оборудования. Известны: прибыль, получаемая
от реализации каждого изделия, фонд времени работы оборудования
и трудоемкость обработки изделий. Сколько нужно изготовить тех или иных
изделий, чтобы прибыль была наибольшей?
Оборудование
Вид изделий
Фонд времени, мин
В1
В2 А1
4
8
24
А2
2
6
14
А3
0
15
24
Прибыль, руб.
1
2
4. На приобретение оборудования для нового производственного участка
выделено 20 тыс. руб. Оборудование должно быть размещено на площади
не превышающей 72м2.
Предприятие может заказать оборудование двух видов: более мощные
машины типа А стоимостью 5 тыс. руб., требующие 6м2 производственной
площади (с учетом проходов) и дающие 8 тыс. единиц продукции за смену,
и менее мощные машины типа Б стоимостью 2 тыс. руб., занимающие площадь
12м2 и дающие за смену 3 тыс. единиц продукции.
Найдите оптимальный вариант приобретения оборудования, обеспечива-
ющий максимум общей производительности нового участка.
5. Для откорма крупного рогатого скота используется два вида кормов: В1
и В2, в которые входят питательные вещества: А1, А2, А3 и А4. Количество единиц питательных веществ в 1 кг каждого корма, стоимость 1 кг корма и норма
содержания питательных веществ в дневном рационе животного представлены
в таблице. Составьте рацион при условии минимальной стоимости.
Питательное вещество
Вид корма
Норма содержания питательного
вещества, усл. ед.
В1
В2
А1
3
4
24
А2
1
2
18
А3
4
0
20
А4
0
1
6
Стоимость 1кг корма
2
1
6. Трикотажная фабрика использует для производства свитеров
и кофточек чистую шерсть, силон и нитрон, запасы которых составляют, соответственно, 800, 400 и 300 кг. Количество килограммов трикотажного полотна,
необходимого для изготовления 10 изделий, а также прибыль, получаемая
от их реализации, приведены в таблице.
28
Составьте план производства изделий, обеспечивающий получение мак-
симальной прибыли.
Вид сырья
Затраты пряжи на 10 шт.
свитеров
кофточек
Шерсть 4 2
Силон 2 1
Нитрон 1 1
Прибыль, руб.
6
5
7. Предприятие располагает производственными мощностями (в часах) 4
видов в следующем количестве: N1= 16; N2 = 10; N3 = 6; N4 = 7. Нормы затрат мощностей каждого вида составляют: на единицу продукции A – 2, 1, 0, 1;
на единицу продукции B – 1, 1, 1, 0 соответственно. Прибыль от реализации
единицы продукции A равна 8 руб., от единицы продукции B – 4 руб.
Составьте план производства, при котором прибыль предприятия
от реализации всей продукции будет максимальной.
8. Посевная площадь составляет 1000 га. На этой площади необходимо
посеять два вида культур А и В. На период сева имеются трудовые ресурсы
в 2500 чел.-дней. Установлен план продажи культуры А не менее 800 т. Затраты
труда на посев составляют: А и В 0,5 и 4,7 чел.-дней на 1 га площади соответственно. Определите, какую часть площади нужно засеять культурами А и В,
чтобы получить максимальную прибыль, если урожайность культуры А –
2 т с 1 га. Прибыль, получаемая с 1 га культуры А составляет 100 усл. ед., В –
250 усл. ед.
9. При подкормке посевов необходимо внести на 1га почвы не менее 8
единиц химического вещества А, не менее 21 единиц химического вещества
Б и не менее 16 единиц химического вещества В. Фермер закупает комбинированные удобрения двух видов – I и II. В таблице указаны количество единиц
химического вещества в 1кг каждого вида удобрений и цена 1кг удобрений.
Определите потребность фермера в удобрениях I и П вида на 1га посевной
площади при минимальных затратах на их потребление.
Химическое вещество
Содержание химических веществ в 1 кг удобрения
I
II
А 1 5
Б
12 3 В 4 4
Цена 1кг удобрений
5
2
10. Для изготовления двух видов продуктов А1 и А2 используется три ви-
да сырья: В1 , В2 и В3. Расход сырья для изготовления 1кг продукта и запасы
сырья (кг) приведены в таблице:
29
Сырье
Норма расхода сырья
Запас сырья (кг)
А1
А2
B1 4 2
32
B2 2 3
32
B3 2 4
36
Цена 1кг
5
8
Составьте план производства изделий, обеспечивающий получение мак-
симальной прибыли.
11. Составьте оптимальный суточный рацион для откорма крупного рогатого скота, имеющий наименьшую стоимость. Рацион состоит из силоса
и концентратов. Содержание каротина, протеина и кормовых единиц в 1
кг кормов, а также нормы питательных веществ и стоимость кормов приведены в таблице:
Питательное вещество
Корм
Норма
силос
концентраты
Каротин
0
1
5
Кормовые ед.
4
3
31
Протеины
2
0
8
Цена 1кг, руб.
2
3
12. На трех станках производят два вида изделий. Данные о затратах вре-
мени на обработку одного изделия, полезный фонд рабочего времени станков,
а также прибыль от реализации одного изделия представлены в таблице:
Станок
Норма времени на
обработку изделия, мин
Полезный фонд рабочего
времени, мин
А В I 4 3
170
II 0 1
30
III 5 9
370
Прибыль, руб.
2
4
13. В распоряжении бригады имеются ресурсы: 300 кг металла, 100 м2
стекла, 160 человеко-часов рабочей силы. Бригада изготовляет изделия А и В.
Цены изделий А – 10 руб., В – 12 руб. Расходуются ресурсы: металла
на изделие А – 4 кг, В – 5 кг, стекла на изделие А – 2 м2, В – 1 м2, рабочей силы
на изделие А – 2 чел.-час., В – 3 чел.-час.
Спланируйте такой объем выпуска продукции, чтобы прибыль была мак-
симальная.
14. Для откорма крупного рогатого скота используется два вида кормов
В1 и В2, в которые входят питательные вещества: А1, А2, А3. Содержание количества единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма, стоимость 1
кг корма и норма содержания питательных веществ в дневном рационе животного представлены в таблице. Составьте, рацион при условии минимальной
стоимости.
30
Питательные вещества
Вид корма
Норма содержания
питательного вещества
В1 В
2
А1
3
4
24
А2
4
0
20
А3
5
1
16
Стоимость 1 кг корма
3
2
15. Для изготовления двух видов продуктов А1 и А2 используется три ви-
да сырья: B1, В2 и B3. Расход сырья для изготовления 1 кг продукта и запасы
сырья (кг), прибыль приносимая единицей изделия приведены в таблице: Составьте план производства изделий, обеспечивающий получение максимальной
прибыли.
Сырье
Норма расхода сырья
Запасы
сырья (кг)
A1 A2 B1 4 2
32
B2 2 3
32
B3 2 4
36
Прибыль 5 8
16. На трех станках производят два вида изделий. Данные о затратах вре-
мени на обработку одного изделия, полезный фонд рабочего времени станков,
а также прибыль от реализации одного изделия представлены в таблице. Составьте план производства изделий, обеспечивающий получение максимальной
прибыли.
Станок
Норма времени на обработку
изделия (мин)
Полезный фонд
рабочего
времени (мин)
А
В
I
4 3 170
II
0 1 30
III
2 4 370
Прибыль (руб.)
2 4
17. Для откорма крупного рогатого скота используется два вида кормов
В1 и В2, в которые входят питательные вещества: А1 А2, А3 и А4. Содержание
питательных веществ в 1 кг каждого вида корма, стоимость 1 кг корма и норма
содержания питательных веществ в дневном рационе животного представлены
в таблице. Составьте рацион при условии минимальной стоимости.
Питательное
вещество
Вид корма
Норма содержания
питательного вещества
В1 В
2
А1
6
2
30
А2
1
2
18
А3
1
0
1
А4
0
1
6
Стоимость 1 кг корма
2
1
18. Трикотажная фабрика использует для производства свитеров
и кофточек чистую шерсть, силон и нитрон. Их запасы составляют 800,400 и