Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций. Лабораторный практикум
.pdf
0;0
153
5432
242
42
321
4321
4321
xx
xxx
xxxx
xxxx
0;0
153
5432
242
42
321
4321
4321
xx
xxx
xxxx
xxxx
Такая пара двойственных задач называется несимметричной, в отличие от симметричной пары (5.1)–(5.3) и (5.4)–(5.6).
Оборудование и материалы (перечень используемого оборудования) – соответствующее программное обеспечение.
Задание 1. Записать математическую модель двой-
ственной ЗЛП по заданной прямой:
F = 2x1 – 3x2 – 2x3 + x4 min
Решение
Т. к. прямая задача является задачей минимизации, двойственная задача будет задачей максимизации.
Система ограничений прямой задачи состоит из трёх
ограничений. Следовательно, в двойственной задаче будут три
переменные y1, y2, y3. Систему ограничений прямой задачи
надо вначале привести к стандартному виду, т. е. в задаче на
минимум все ограничения должны быть вида «≥» или «=».
Тогда в двойственной задаче на максимум все ограничения
будут вида «≤» или «=»:
41
Составляем систему ограничений двойственной задачи.
0,0
14
23
3524
232
31
21
321
321
321
yy
yy
yyy
yyy
yyy
0,0
14
23
3524
232
31
21
321
321
321
yy
yy
yyy
yyy
yyy
Матрица коэффициентов при неизвестных в неравенствах
двойственной задачи получается транспонированием матрицы
коэффициентов прямой задачи, неравенства меняются на противоположные, а свободные члены совпадают с коэффициентами целевой функции прямой задачи.
Если переменная прямой задачи хi ≥ 0, то i-е условие системы ограничений двойственной задачи является неравенством, если хi – любое число, то i-е условие двойственной
задачи представляет собой уравнение.
Если j-е соотношение прямой задачи является неравенством, то соответствующая оценка j-го ресурса – переменная
у
≥ 0, если j-е соотношение представляет собой уравнение, то
j
переменная двойственной задачи уj – любое число.
Следовательно, система ограничений двойственной задачи
имеет вид
Коэффициентами в целевой функции двойственной задачи
будут свободные члены в системе ограничений прямой задачи.
Записываем математическую модель двойственной ЗЛП.
Целевая функция двойственной задачи:
F(Y) = –2y1 + 5y2 + y3 max
Ограничения:
42
Задание 2. Составить задачу, двойственную исходной
0
3053
35107
4556
2,1
21
21
21
xx
xx
xx
xx
0
3053
35107
4556
2,1
21
21
21
xx
xx
xx
xx
5310
7
5
6
5
10
5
3
7
6
Т
321
321
5105
376
yyy
yyy
задаче:
F(x) = 5x1 + 2x2 max
Решение
Сначала запишем задачу в стандартном виде, так как она
на максимум, ограничения неравенства приведем к виду «≤».
Получим:
F(x) = 5x1 + 2x2 max
Теперь составляем двойственную задачу. Так как исходная
задача была на максимум, двойственная задача будет на минимум, причем коэффициенты при переменных в целевой функции
соответствуют правым частям ограничений, число переменных
равно числу ограничений исходной задачи и равно трем.
Целевая функция Z = 45y1 – 35y2 +30y3 min
Строим ограничения, транспонируя матрицу коэффициентов в ограничениях.
Так как все переменные были неотрицательны, все ограничения будут иметь знаки «≥».
Правые части ограничений – это коэффициенты при переменных в исходной целевой функции.
43
25105
5376
321
321
yyy
yyy
1 2 3
1 2 3
1 2 3
6 7 3 5
5 10 5 2
0, 0, .
y y y
y y y
y y y любое
1 2 3
1 2 3
1 2 3
6 7 3 5
5 10 5 2
0, 0, .
y y y
y y y
y y y любое
04
03
044
21
21
21
xx
xx
xx
04
03
044
21
21
21
xx
xx
xx
Первое и второе ограничения имеют знак «≤», соответствующие двойственные переменные неотрицательны, для переменной y3 ограничений по знаку нет.
.
Двойственная задача построена:
Z = 45y1 – 35y2 +30y3 min
Задание 3. Решить задачу линейного программирования;
составить задачу, двойственную данной, и также найти
ее решение:
z = x1 + x2 max
Данная задача содержит две переменных, поэтому ее
можно решить графическим методом.
Построим область допустимых решений задачи, ограниченную неравенствами
Строим прямые:
1) x1 – 4x2 = 4, точки (4, 0), (8, 1),
x10, x2 0
Решение
x1 0, x2 0
44
2) 3x1 – x2 = 0, точки (1, 3), (2, 6),
04
03
044
21
21
21
xx
xx
xx
4
03
44
21
21
21
xx
xx
xx
14
13
321
321
yyy
yyy
3) x1 + x2 = 4, точки (4, 0), (0, 4).
Получаем неограниченную выпуклую область ABCD в
первой четверти.
Прямая задача не имеет решения.
Составим задачу, двойственную данной:
z = x1 + x2 max
x
0, x2 0
1
Для этого запишем задачу в стандартном виде
z = x1 + x2 max
x
0, x2 0
1
Так как исходная задача была на максимум, двойственная
задача будет на минимум, причем коэффициенты при переменных соответствуют правым частям ограничений, число переменных равно числу ограничений и равно трем:
F = 4y1 + 0y2 – 4y3 = 4y1 – 4y3 min
Строим ограничения, транспонируя матрицу коэффициентов в
ограничениях. Так как все переменные были неотрицательны, все
ограничения ограничение будут иметь знаки «≥». Все ограничения
имеют знак «≤», соответствующие двойственные переменные неотрицательны. Правые части ограничений – это коэффициенты при
переменных в исходной целевой функции.
Получаем двойственную задачу:
F = 4y1 – 4y3 min
y1 0, y2 0, y3 0
Используем теорему:
Если в одной задаче из пары двойственных задач целевая
функция неограниченна, то во второй задаче допустимая область пуста.
45
Так как в первой задаче целевая функция неограниченна,
0;0;0
12
13
max368)(
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxxXF
0,
1642
63
1224
max2
21
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
xxF
то двойственная задача не имеет решения.
Задание 4. Дана задача линейного программирования
Найти решение этой задачи, решив двойственную задачу графическим методом.
Задание 5. Составить двойственную задачу.
Контрольные вопросы
1. Что такое двойственность?
2. Основное неравенство теории двойственности.
3. Малая теорема двойственности.
4. Что такое взаимно двойственные задачи?
5. Экономическое содержание теоремы двойственности.
Литература: 1–5.
Интернет-ресурсы 1–3.
46
6. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА. СБАЛАНСИРОВАННАЯ
ЗАДАЧА
Цель работы – научится решать транспортные задачи.
Формируемые компетенции или их части: ПК-18 –
способность использовать соответствующий математический
аппарат и инструментальные средства для обработки, анализа
и систематизации информации по теме исследования
Теоретическая часть
Одна из самых распространенных и востребованных оптимизационных задач в логистике – транспортная задача. В классическом виде она предполагает нахождение оптимального (т.е. сопряженного с минимальными затратами) плана грузоперевозок.
Например, у нас есть сеть розничных магазинов, которым требует определенное количество товаров. Также имеется ряд складов
поставщиков, где требуемые товары хранятся. При этом на каждом складе различный объем запасов этих товаров. Кроме этого
нам известны тарифы – затраты на перевозку 1 товара от каждого склада к каждому магазину. Возникает необходимость разработать такой план перевозок, чтобы магазины получили требуемое количество товаров с наименьшими затратами на транспортировку. Вот именно в таких случаях (и во множестве других)
приходится решать транспортную задачу.
Транспортная задача (задача Монжа-Канторовича) – ма-
тематическая задача линейного программирования специального вида о поиске оптимального распределения однородных
объектов из аккумулятора к приемникам с минимизацией затрат на перемещение.
Постановка задачи
Однородный груз сосредоточен у m поставщиков в объемах а1, а2 … аm.
Данный груз необходимо доставить n потребителям в
объемах, b1, b2 … bn.
Известен Сij (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2 ,…, n) – стоимость перевозки единицы груза от каждого i-го поставщика
каждому j-му потребителю.
Требуется составить такой план перевозок, при котором
запасы всех поставщиков вывозятся полностью, запросы всех
47
потребителей удовлетворяются полностью и суммарные затра-
11 12 1
21 22 2
12
...
...
( ).
... ... ... ...
...
n
n
ij
m m mn
x x x
x x x
Xx
x x x
11
1
1
( ) min
, 1,2,..., ,
, 1,2,... ,
0.
mn
ij ij
ij
n
ij i
j
m
ij j
i
ij
Z X c x
x a i m
x b j n
x
m
i
n
j
ji
ba
1 1
.
ты на перевозку всех грузов минимальны.
Исходные данные транспортной задачи записываются в
таблице.
Переменными (неизвестным) транспортной задачи являются xij (i = 1, 2… m; j = 1, 2… n) – объемы перевозок от
каждого i-го поставщика j-му потребителю. Эти переменные
могут быть записаны в виде матрицы перевозок.
Математическая модель транспортной задачи
Математическая модель транспортной задачи в общем виде
Целевая функция задачи Z(X) выражает требование обеспечить минимум суммарных затрат на перевозку всех грузов.
Вторая группа из уравнений ограничений, записанных в общем виде, выражает требование, что запасы всех m поставщиков вывозятся полностью, а также полностью должны удовлетворятся запросы всех n потребителей. Последнее неравенство
является условием неотрицательности всех переменных.
В рассмотренной математической модели транспортной задачи предполагается, что суммарные запасы поставщиков равны суммарным запросам потребителей, т. е.
48
Такая задача называется сбалансированной, а её модель
'
11
max
,,
mn
i i j j
ij
i j ij
ij
Z a U b V
U V C
UV произвольного знака
i j ij
U V C
закрытой. Если же это равенство не выполняется, то задача
называется несбалансированной (с неправильным балансом),
а её модель – открытой.
Для того чтобы транспортная задача линейного программирования имела решение, необходимо, чтобы суммарные запасы поставщиков равнялись суммарным запросам потребителей, т. е. задача должна быть сбалансированной.
Математическая модель двойственной задачи
Если целевая функция Z’ стремится к минимуму, то в системе ограничении меняется знак:
смысл переменных двойственной задачи:
Ui – условная оценка i-го поставщика (условная плата поставщика перевозчику);
Vj – условная оценка j-го потребителя (условная плата потребителя перевозчику).
Ui, Vj – называются потенциалами.
Определения
1) если задача открыта, то необходимо добавить фиктив-
ного поставщика или потребителя с недостающим объемом
поставки и нулевой стоимостью перевозки. Распределение поставки фиктивному потребителю (поставщику), идет в последнюю очередь;
2) клетка в плане перевозок называется базисной (закры-
той), если в нее ставится перевозка;
3) количество базисных клеток определяется соотношени-
ем r = m + n – 1. Опорное решение не может иметь базисных клеток больше, чем r;
4) план называется вырожденным, если количество базис-
ных клеток меньше r, т. е. базисных клеток не хватает при
выполненном условии, что объем поставок поставщиков рас-
49
экономический
пределен полностью и спрос потребителей также удовлетворен. В этом случае необходимо добавить нулевую перевозку;
5) если в задаче указана не только стоимость перевозки,
но и стоимость производства товара, тогда необходимо сложить эти стоимости с учетом перевозки товара от i-го поставщика j-му потребителю. Кроме того, математическая модель составляется с учетом этой суммарной стоимости.
Решить транспортную задачу можно различными методами, начиная от симплекс-метода и простого перебора, и заканчивая методом графов. Один из наиболее применяемых и
подходящих для большинства случаев методов – итерационное
улучшение плана перевозок.
Суть его в следующем: находим некий опорный план и
проверяем его на оптимальность (Z → min). Если план оптимален, решение найдено. Если нет, план улучшают столько раз,
сколько потребуется, пока не будет найден оптимальный план.
Ниже приведен алгоритм решения транспортной задачи в
самом общем виде.
1. Построение транспортной таблицы.
2. Проверка задачи на закрытость.
3. Составление опорного плана.
4. Проверка опорного плана на вырожденность.
5. Вычисление потенциалов для плана перевозки.
6. Проверка опорного плана на оптимальность.
7. Перераспределение поставок.
8. Если оптимальное решение найдено, переходим к п. 9,
если нет – к п. 5.
9. Вычисление общих затрат на перевозку груза.
10. Построение графа перевозок.
Оборудование и материалы (перечень используемого
оборудования) – соответствующее программное обеспечение.
Задание 1. Решить транспортную задачу.
Имеются три поставщика грузов и три потребителя этих
грузов. Запасы грузов составляют 150, 100 и 300 ед., потребности в них равны 100, 250 и 200 ед. соответственно. Тарифы перевозок также известны:
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]