Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций. Лабораторный практикум
.pdf
5. Выполните команду Данные => Поиск решения. От-
кроется окно диалога Поиск решения. (рис. 2)
6. Выделите целевую функцию: ячейка А1.
7. Выделите изменяемые ячейки Е1 : Е2.
8. Для писания ограничений нажмите кнопку Добавить.
9. Откроется окно диалога Добавления ограничения.
10. В разделе Ссылка на ячейку покажите диапазон яче-
ек первой строки основной матрицы, выделяя соответствующие ячейки А2: В2.
11. Установите тип ограничения <=.
12. В последнем разделе запишите адрес ячейки, в кото-
рой находится объем ограничения (ячейка С2). Для этого надо
просто выделить ее.
13. После описания каждого ограничения нажимайте кноп-
ку Добавить.
14. После ввода последнего ограничения нажмите ОК.
Вернетесь в окно диалога Поиск решения.
Рис. 2. Окно «Поиск решения»
15. Нажмите кнопку Выполнить
16. Результат решения приведен на рис. 3
17. Нажмите ОК.
18. В разделе Тип отчета выполните пункт Результаты.
19. Сформируется отдельный лист результатов.
11
(min)654
321
xxxf
x x x
x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
5
2 1
4 3
8 4
f x x x x 2 2 3 4
1 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2
2 2 3 3
3 4 5 2 4
Рис. 3. Результат решения
Задание 3. Для исходной задачи записать двойственную
задачу и решить ее.
1.
при ограничениях
2.
Задание 4. Решить задачу, используя поиск решения.
Необходимо подобрать оптимальный состав коктейля из
трех компонентов: коньяка, шампанского и сока.
Стоимости ингредиентов смеси соответственно: с1 = 50,
с2 = 100, с3 = 20;
Содержание в них алкоголя: а1 = 0,4; а2 = 0,5; а3 = 0;
(max) при ограничениях
12
Вкусовые качества в баллах: в1 = 4, в2 = 8, в3 = 10.
Решение
Пусть хi (i = 1, 2, 3) – доля каждого компонента в коктейле (все расчеты ведем на единицу объема).
Стоимость коктейля определится функцией:
f1(x1, x2, x3) = с1 x1+ с2 x2+ с3 x3
Крепость коктейля определится функцией:
f2(x1, x2, x3) = a1 x1+ a2 x2+ a3 x3
Вкус коктейля определится функцией:
f3(x1, x2, x3) = в1 x1+ в2 x2+ в3 x3
Естественное желание – получить коктейль минимальной
стоимости, максимальной крепости и максимального вкуса
(противоречивые критерии!)
Выберем критерий – оптимизация стоимости, а остальные
критерии ограничим на требуемом уровне:
Крепость ограничим долей алкоголя в 0,2, а вкус – 8
баллами.
При этом должны выполняться следующие условия:
хi ≥ 0 (i = 1,2,3)
0,4 x1+ 0,5 x2+ 0 x3 ≥ 0,2
4 x1+ 8 x2+ 10 x3 ≥ 8
x1+ x2+ x3 =1
Минимальная стоимость составит
(х) = min (50 x1+ 100 x2+ 20 x3)
Внести данные в Excel и решить самостоятельно.
Задание 5. Решить задачу, используя поиск решения.
Для кафетерия необходимо определить число продаваемых
чашек кофе и вычислить потенциальный доход.
Предположим, что в кафетерии продается кофе трех разновидностей:
- обычный кофе (9 руб. 99 коп.);
- особый кофе со сливками (15 руб.);
- особый кофе с шоколадом (24 руб.).
Складские помещения и условия продажи позволяют производить за неделю не более 500 чашек кофе (как обычного,
так и особого). Кроме того, существуют ограничения на поставку сливок и шоколада, которые не позволяют производить
13
в неделю более 125 чашек кофе с шоколадом и 350 чашек
1
2
особого кофе обоих видов.
Содержание отчета1
1. Название работы.
2. Текст задания.
3. Распечатки выполненных заданий.
4. Выводы по проделанной работе.
Контрольные вопросы
1. Что такое поиск решения?
2. Как настроить поиск решения?
3. Что такое двойственная задача?
Литература2: 1–5.
Интернет-ресурсы: 1-3.
Содержание отчета однотипно для каждой темы работы. Отчет со-
ставляется по каждой изученной теме.
Литература и Интернет-ресурсы, рекомендуемые для всех тем по-
собия, смотри в конце пособия на стр. 555.
14
2. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
0,0
.....,....................
,
,
21
221
2222121
1212111
2211
xx
bxaxa
bxaxa
bxaxa
xcxcF
mmmm
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Цель работы – научится решать задачи ЛП графическим
методом.
Формируемые компетенции или их части: ПК-18 –
способность использовать соответствующий математический
аппарат и инструментальные средства для обработки, анализа
и систематизации информации по теме исследования
Теоретическая часть
При решении задач линейного программирования геометрическим способом необходимо помнить, что визуализация решения
достигается только при рассмотрении задачи с двумя переменными
и небольшим количеством ограничений. Также желательно выбрать масштаб осей так, чтобы график был компактным, но было
четко видно все точки пересечения ограничений.
С геометрической точки зрения в задаче линейного программирования ищется такая угловая точка или набор точек
из допустимого множества решений, на которой достигается
самая верхняя (нижняя) линия уровня, расположенная дальше
(ближе) остальных в направлении наискорейшего роста.
Пусть задача линейного программирования задана в двумерном пространстве, т. е. ограничения содержат две переменные. Задача линейного программировании, записанная в
стандартной форме имеет вид (1.1).
(1.1)
Алгоритм геометрического метода решения задач ЛП
Решение задач ЛП геометрическим методом осуществляется по следующему алгоритму.
15
1. Строим координатные оси
0,0
160052
170043
max42
21
21
21
21
xx
xx
xx
xxF
и с учетом коэффи-
циентов математической модели выбираем масштаб.
2. Находим область допустимых решений (ОДР) системы
ограничений математической модели.
3. Строим прямую целевой функции и показываем
направление наискорейшего ее изменения.
4. Линию целевой функции (линия уровня) перемещаем по
направлению нормали для задач на максимум целевой функции и
в противоположном направлении – для задач на минимум ЦФ.
Перемещение линии уровня через ОДР производится до
тех пор, пока у нее окажется только одна общая точка с областью допустимых решений. Эта точка будет точкой экстремума, и будет определять единственное решение задачи ЛП.
Если окажется, что линия уровня совпадает с одной из
сторон ОДР, то задача ЛП будет иметь бесчисленное множество решений.
Если ОДР представляет неограниченную область, то целевая функция – неограниченна.
Задача ЛП может быть неразрешима, когда определяющие
ее ограничения окажутся противоречивыми.
5. Находим координаты точки экстремума и значение ЦФ
в ней.
Оборудование и материалы (перечень используемого
оборудования) – соответствующее программное обеспечение.
Задание 1. Решить задачу линейного программирование
графическим методом.
Решение
1. Построение области допустимых решений функции F
Построим прямоугольную систему координат, где ось ОX
обозначим x1, а OY – x2. Так как, согласно условию, x1 и x2
неотрицательны, то можно ограничится рассмотрением первого
квадранта.
16
Рассмотрим первое ограничение:
3x1 + 4x2 <= 1700 (1)
Заменим в данном ограничении знак неравенства знаком
равенства и построим прямую.
3x1 + 4x2 = 1700 (1')
Для этого найдем две точки, принадлежащие данной прямой. Пусть, например, x1 = 0, тогда, подставив 0 в (1') получим 4x2 = 1700 или x2 = 425. (0; 425) – координаты первой
точки, принадлежащей прямой.
Пусть x2 = 0, то 3x1 = 1700, следовательно, x1 = 567.
(567; 0) – координаты второй точки, принадлежащей прямой.
Отметим эти точки на числовых осях (рис. 4).
Аналогично, для второго ограничения:
2x1 + 5x2 <= 1600 (2)
2x1 + 5x2 = 1600 (2')
При x1 = 0, x2 = 320 (0; 320)
При x2 = 0, x1 = 800 (800; 0)
2. Построим данные прямые (на рис. 4 они соответствен-
но обозначены (1') и (2'))
Теперь найдем на чертеже такие полуплоскости, которые
соответствуют неравенствам (1) и (2).
Прямая (1') 3x1 + 4x2 = 1700 делит координатную плоскость на две полуплоскости. Одна полуплоскость расположена
выше прямой, вторая ниже. Чтобы найти ту полуплоскость,
которая соответствует неравенству (1), необходимо взять какую-либо точку, принадлежащую одной из полуплоскостей и
подставить ее координаты в неравенство. Если неравенство
будет верным, то данная полуплоскость является искомой.
Например, возьмем точку с координатами (0; 0) и подставим ее координаты в неравенство (1) 3x1 + 4x2 <= 1700 или
0 + 0 <= 1700. Получается 0 <= 1700 – данное неравенство
является верным, следовательно, неравенству (1) удовлетворяет
полуплоскость, лежащая ниже прямой (1').
Аналогично, поступим для неравенства (2) 2x1 + 5x2 <=
1600. Возьмем точку с координатами (0; 0). Получается 0 <=
1600 – данное неравенство верно. Неравенству (2) удовлетво-
ряет полуплоскость, расположенная ниже прямой (2').
17
Стрелки на каждой границе, с какой стороны прямой выполнены ограничения. Учитывая, что x1 и x2 являются неотрицательными, получаем, что четырехугольник ОАВС является
областью, содержащей точки, для которых выполнены условия, заключенные в фигурные скобки.
Точки, лежащие внутри и на границе этой области, являются допустимыми решениями, но нам нужны только те, при
которых функция F будет принимать максимальное значения.
3. Построение прямой уровня.
Возьмем произвольную точку, принадлежащую области
допустимых решений – четырехугольнику ОАВС, например,
точку М с координатами (100; 100). Подставим координаты
точки М в функцию F.
F(100; 100) = 2 ∙ 100 + 4 ∙ 100 = 600.
Прямая уровня будет иметь вид: 2x1 + 4x2 = 600
Построим полученную прямую. Для этого необходимо
найти координаты двух произвольных точек этой прямой. Одна точка у нас уже есть – это точка М (100; 100). Найдем
еще одну точку. Пусть x2 = 0, тогда x1 = 300. Следовательно,
координаты дополнительной точки (300; 0). Отметим полученные точки и построим прямую уровня (на рис. 4 она обозначена (3')).
Значения функции F будут возрастать, по мере того как
прямая уровня удаляется от начала координат в положительном квадранте. Направление возрастания функции F будет
совпадать с вектором, координаты которого являются коэффициентами при переменных x1 и x2 функции F. На рисунке это
вектор a{2; 4}, отложенный от точки М.
Примечание. Обратите внимание, что вектор a, определя-
ющий направление возрастания функции F, всегда будет перпендикулярен прямой уровня.
4. Максимизация целевой функции F.
Для нахождения точки, в которой функция F достигнет
своего максимального значения, необходимо перемещать прямую уровня по направлению вектора a до пересечения этой
прямой с граничной точкой области допустимых решений. На
нашем рисунке это точка В.
18
Рис. 4. Решение задачи линейного программирование
160052
170043
21
21
xx
xx
0,0
1
623
842
min3
21
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
xxF
графическим методом
Найдем координаты точки B. Данная точка расположена на
пересечении двух прямых (1') и (2'), поэтому, чтобы найти ее
координаты необходимо решить следующую систему уравнений:
x1 = 300; x2 = 200
(300; 200) – точка, соответствующая оптимальному решению
задачи, следовательно, максимум составит 2 ∙ 300 + 4 ∙ 200 =
1400.
Задание 2. Решить задачу линейного программирование
графическим методом.
19
Задание 3. Решить задачу линейного программирование
0,0
1553
10
min2
21
21
21
21
xx
xx
xx
xxF
0,0
63
1042
min3
21
21
21
21
xx
xx
xx
xxF
графическим методом.
Задание 4. Решить задачу линейного программирование
графическим методом.
Контрольные вопросы
1. Задачи линейного программирования.
2. Алгоритм решения задач ЛП графическим методом?
Литература: 1–5.
Интернет-ресурсы: 1-3.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]