Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций. Учебное пособие (практикум)
.pdf
Для того чтобы осуществить перераспределение груза, построим
цикл пересчета к «неоптимальной» клетке.
Циклом называется многоугольник, у которого:
1) все стороны лежат в строках и столбцах;
2) все углы прямые;
3) все вершины лежат в заполненных клетках, а одна вершина –
в свободной неоптимальной клетке;
4) в цикл включены лишь те клетки, где находятся его вершины.
Циклы пересчета могут иметь следующую форму (рис. 3.1):
1) 2) 3)
Рисунок 3.1
Число их вершин обязательно четно. «Неоптимальная» клетка
может находиться в любой вершине цикла. Для определенности
«неоптимальная» клетка каждого цикла отмечается вопросом или
знаком « + ».
По циклу будем перемещать поставку. Для нахождения величины этой поставки сначала проставим знаки в вершинах цикла: в
«неоптимальную» клетку ставим знак « + » (плюс), а далее, совершая обход по циклу, чередуем знаки «-» (минус) и « + » (плюс) в его
вершинах. Из клеток, отмеченных знаком « - » (минус), выбираем
наименьшую поставку.
В нашей задаче цикл, составленный к клетке (2;1), отмечен
пунктиром в таблице 3.1. В него входят клетки (2;1), (1;1). (1;3).
(2;3). Наименьшая из поставок, отмеченных знаком « - », равна 10:
min{100;10} = 10. Перемещаем ее по циклу. При этом прибавляем
по 10 единиц к поставкам, находящимся в вершинах со знаком « + »,
вычитаем по 10 единиц из поставок, находящихся в вершинах со
знаком «-». В результате всех этих перемещений приходим к новому плану, указанному в таблице 3.2.
Этот план является опорным, т. к. удовлетворяет всем признакам
опорного плана:
1) соблюдены балансы по всем строкам и столбцам;
2) число заполненных клеток равно: m + n–1 = 6;
3) из заполненных клеток (или их части) нельзя образовать ни
одного замкнутого цикла.
61
= 0; А1
90
1
2
30
3
10
2
70
1
5
8 6
α1
Базы
β1 = 1
В1
Потребители
β2 = 0
В2
β3 = 3
В3
β4 = 1
В4
Таблица 3.3
Запасы
4
120
= 1; А2
α2
α3 = 0; А3
Потребности
20 3 20 1 40
100 70 50 20 240
3
80
Стоимость перевозок, соответствующая полученному опорному
плану, уменьшается:
Z = 1 · 90 + 3 · 30 + 2 · 10 + 1 · 70 + 3 · 20 + 1 · 20 = 250 (тыс. руб.),
т. е. новый опорный план лучше (дешевле) предыдущего.
Выясним, оптимален ли полученный план, с помощью метода
потенциалов повторяя весь ход рассуждений, начиная с пункта 1.
Вычисляем новые потенциалы поставщиков и потребителей с
помощью системы уравнений, составленной для заполненных клеток таблицы 3.3.
=b+a
ì
11
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
î
31
22
32
33
43
,1
=b+a
,3
=b+a
,1
=b+a
=b+a
=b+a
,5
,3
.1
Полагая α1 = 0, получим:
β1 = 1; α3 = 0; α2 = 1; β2 = 0; β3 = 3; β4 = 1.
Проставим найденные потенциалы вверху и слева в таблице 3.3.
Проверяем на оптимальность все пустые клетки таблицы 3.3:
клетка (1;2) 0 + 0 < 2;
клетка (1;4) 0 + 1 < 4; Все клетки оптимальны.
клетка (2;3) 1 + 3 < 5; Значит, полученный в
клетка (2;4) 1 + 1 < 3; таблице 3.3 план
клетка (3;1) 0 + 1 < 8; оптимален.
клетка (3;2) 0 + 0 < 6.
62
Ответ. Оптимальный план перевозок:
x11 = 90; x13 = 30; x21 = 10; x22 = 70; x33 = 20; x34 = 20.
Расходы по его осуществлению минимальны и составляют
Z
= 350 тыс. руб.
min
Замечание. Количество таблиц при решении транспортной зада-
чи может оказаться любым. Это зависит от того, насколько первый
опорный план окажется близким к оптимальному плану. Возможно,
что первая же таблица будет соответствовать оптимальному плану.
Это устанавливается методом потенциалов.
Транспортная задача всегда имеет оптимальное решение (один
или несколько опорных оптимальных планов).
УПРАЖНЕНИЯ
Задание 1. В транспортной задаче, где запасы поставщиков опи-
сываются вектором А (50; 70), потребности – вектором В (30; 40; 50), а
стоимость перевозки единицы груза от поставщиков потребителям
1
ö
æ
÷
задана матрицей: Д =
ç
.
÷
ç
34125
ø
è
Найти общую стоимость допустимого плана перевозок, полу-
ченного по методу северо-западного угла.
Ответ: 250.
Задание 2. В транспортной задаче, где запасы поставщиков опи-
сываются вектором А (50; 70), потребности – вектором В (35; 50; 35),
а стоимость перевозки единицы груза от поставщиков потребителям
1
ö
æ
÷
задана матрицей: Д =
ç
.
÷
ç
34125
ø
è
Найти общую стоимость допустимого плана перевозок, полу-
ченного по методу северо-западного угла.
Ответ: 170.
Задание 3. В транспортной задаче, где запасы поставщиков опи-
сываются вектором А (60; 60), потребности – вектором В (35; 50;
35), а стоимость перевозки единицы груза от поставщиков потребителям задана матрицей стоимость оптимального плана перевозок
1
ö
æ
÷
равна: Д =
ç
.
÷
ç
34125
ø
è
Найти общую стоимость оптимального плана перевозок.
Ответ: 120.
63
Задание 4. Решить методом потенциалов транспортные задачи
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
(таблица 3.4).
Таблица 3.4
Варианты задания 4
№
ai \ b
50 3 4 6 5 13
50 6 3 7 6 10
1
100 10 5 2 2 6
150 9 4 4 9 5
100 3 2 4 2 3
ai \ b
200 200 400 200 100
200 5 2 1 6 4
300 6 2 4 4 6
2
200 9 2 3 7 5
200 7 3 5 8 7
100 3 2 4 2 3
ai \ b
100 150 150 100 300
50 3 4 5 4 1
100 1 2 7 1 5
3
150 4 6 6 3 7
100 2 7 4 7 2
200 3 8 9 4 5
Задача №
50 50 100 100 50
Задача
ai \ b
10 10 25 25 30
10 1 5 7 9 3
20 4 6 4 7 13
6
10 1 5 3 4 9
30 2 4 2 10 3
10 3 2 5 6 4
ai \ b
100 200 200 300 200
100 4 3 5 2 3
200 7 1 2 3 1
7
300 9 2 4 5 6
100 1 3 6 4 10
200 5 8 15 6 15
ai \ b
200 400 100 200 100
200 1 7 12 2 5
100 2 3 8 4 7
8
200 3 5 4 6 9
400 4 4 3 8 2
400 5 3 7 10 1
ai \ b
400 600 500 400 500
400 1 2 3 1 2
500 3 4 2 4 5
4
600 5 7 6 3 9
400 4 10 15 4 8
200 3 4 5 3 7
ai \ b
100 150 150 100 100
50 3 4 5 4 6
100 1 5 7 1 5
5
150 4 6 6 3 4
100 2 7 4 7 2
100 1 9 6 3 2
ai \ b
5 10 15 15 15
10 2 5 5 6 7
5 4 3 4 4 3
9
5 5 2 3 6 2
10 3 6 5 7 8
15 1 9 7 6 4
ai \ b
10 30 30 30 40
10 3 1 3 4 3
30 5 1 2 2 6
10
60 2 3 4 1 1
10 6 2 5 3 2
60 3 7 4 4 1
64
Задание 5. Решить методом потенциалов транспортные задачи с
j
j
j
ограничениями на пропускную способность (таблица 3.5).
Таблица 3.5
Варианты задания 5
№
ai \ bj 1000 500 1500 2000
500 3 1 2 5
1
1000 1 3 4 2
500 3 6 5 6
1500 4 3 9 8
Задача №
x21£500, x44³500
Задача
x21£500, x44³1000
ai \ bj 1000 1000 2000 2000
500 3 1 3 4
6
1000 5 1 2 2
1500 2 3 4 1
2000 6 2 5 3
x21£25, x32³20
ai \ b
2
50 25 50 25
25 3 1 8 1
50 2 5 2 3
75 9 4 6 5
25 7 3 10 3
x23£30, x32³30
ai \ b
3
30 90 60 60
30 1 3 4 5
60 9 5 2 4
90 3 4 5 4
90 5 7 2 6
x33£100, x42³100
ai \ b
200 300 200 300
100 2 3 4 5
4
200 2 4 2 6
300 6 5 4 5
300 4 6 7 6
x32£100, x43³100
ai \ bj 50 150 200 150
50 4 5 6 10
5
100 6 3 8 4
150 5 1 3 1
150 7 2 4 2
x42£50, x24³50
ai \ bj 50 100 100 100
50 2 4 5 8
7
100 5 3 4 6
50 3 1 2 4
100 7 2 6 9
x44£100, x23³50
ai \ bj 50 100 200 200
50 1 9 2 2
8
100 6 4 10 3
100 8 4 7 5
200 7 6 5 3
x43£50, x21³100
ai \ bj 100 200 100 200
100 1 3 1 2
9
200 4 7 3 5
50 3 4 1 6
100 7 8 3 6
x11£20, x33³30
ai \ bj 30 30 60 90
60 3 11 4 4
10
30 2 10 5 6
60 3 13 3 7
30 1 4 2 1
65
Контрольные вопросы
(
)
(
)
=
1. Чем отличается постановка транспортных задач от других ЗЛП?
2. Перечислите и охарактеризуйте основные методы построения
опорного плана.
3. В чем суть метода потенциалов для решения транспортных задач?
4. Дайте экономическую интерпретацию метода потенциалов?
5. Можно ли решать транспортные задачи графическим или
симплексным методами?
ЗАДАНИЯ
Задание 1. Имеются три пункта поставки однородного груза
,, и пять пунктов
ААА
321
за. На пунктах
стве
,, т. В пункты
ааа
321
ответственно
,, находится груз соответственно в количе-
ААА
321
,,,, т груза. Затраты на перевозку 1 т груза
bbbbb
54321
,,,, потребления этого гру-
ВВВВВ
54321
,,,, требуется доставить со-
ВВВВВ
54321
между пунктами поставки и потребления приведены в матрице Д (в
рублях):
æ
ç
=
Д ,
ç
ç
è
ö
ddddd
1514131211
÷
÷
ddddd
2524232221
÷
ddddd
3534333231
ø
где dij – есть стоимость в рублях перевозки 1 т груза от поставщика
с номером
3,2,1ii =
к потребителю с номером
5,4,3,2,1jj =
.
Найти такой план закрепления потребителей за поставщиками
однородного груза, чтобы общие затраты на перевозки были минимальными.
Поставить задачу и решить методом потенциалов.
,100
1
,130
=
2
=
3
=
4
=
5
æ
ç
,80
=
Д .
ç
ç
,190
è
,100
52475
ö
÷
101317
÷
÷
78632
ø
1.1.
b
,200
=
а
1
=
а
2
=
а
3
b
,175
b
,225
b
b
66
1.2.
=
=
=
=
=
=
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
b
,200
=
а
1
=
а
2
=
а
3
b
,450
b
,250
b
b
b
,250
=
а
1
=
а
2
=
а
3
b
,200
b
,200
b
b
b
,350
=
а
1
=
а
2
=
а
3
b
,330
b
,270
b
b
b
,300
=
а
1
=
а
2
=
а
3
b
,250
b
,200
b
b
b
,350
=
а
1
=
а
2
=
а
3
b
,200
b
,300
b
b
b
,200
=
а
1
=
а
2
=
а
3
b
,250
b
,200
b
b
,100
1
,125
=
2
=
3
=
4
=
5
1
=
2
=
3
=
4
=
5
1
=
2
=
3
=
4
=
5
1
=
2
=
3
=
4
=
5
1
=
2
=
3
=
4
=
5
1
=
2
=
3
=
4
=
5
æ
ç
,325
=
Д .
ç
ç
,250
è
,100
,120
,130
æ
ç
,100
=
Д .
ç
ç
,160
è
,140
,210
,170
æ
ç
,220
=
Д
ç
ç
,150
è
,200
,210
,150
æ
ç
,120
=
Д .
ç
ç
,135
è
,135
,170
,140
æ
ç
,200
=
Д .
ç
ç
,195
è
,145
,190
,100
æ
ç
,120
=
Д .
ç
ç
,110
è
,130
310785
ö
÷
65224
÷
÷
29537
ø
2931353627
ö
÷
3532262322
÷
÷
3932384235
ø
719123
ö
÷
.
1021142
÷
÷
8512147
ø
721384
ö
÷
1791149
÷
÷
4110163
ø
3028161422
ö
÷
3636261719
÷
÷
4139313037
ø
2427252728
ö
÷
2132272618
÷
÷
3431233327
ø
67
1.8.
=
=
=
=
=
=
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
b
,230
=
а
1
=
а
2
=
а
3
b
,250
b
,170
b
b
b
,200
=
а
1
=
а
2
=
а
3
b
,300
b
,250
b
b
,200
=
а
1
,350
=
а
2
а
3
а
1
а
2
а
3
а
1
а
2
а
3
а
1
а
2
а
3
,300
=
,200
=
,225
=
,175
=
,200
=
,400
=
,300
=
,200
=
,250
=
,200
=
,140
1
,90
=
2
=
3
=
4
=
5
1
=
2
=
3
=
4
=
5
b
1
=
b
2
=
b
3
=
b
4
=
b
5
b
1
=
b
2
=
b
3
=
b
4
=
b
5
b
1
=
b
2
=
b
3
=
b
4
=
b
5
b
1
=
b
2
=
b
3
=
b
4
=
b
5
æ
ç
,160
=
Д .
ç
ç
,110
è
,150
,210
,150
æ
ç
,120
=
Д .
ç
ç
,135
è
,135
,270
,130
æ
ç
,190
=
Д
ç
ç
,150
è
,110
,100
,130
æ
ç
,80
=
Д .
ç
ç
,190
è
,100
,100
,125
æ
ç
,325
=
Д .
ç
ç
,250
è
,100
,120
,130
æ
ç
,100
=
Д
ç
ç
,160
è
,140
3525251940
ö
÷
3818272649
÷
÷
4540362746
ø
1813131020
ö
÷
2216201927
÷
÷
2321191726
ø
1627555024
ö
÷
2117234750
.
÷
÷
4127555935
ø
72564
ö
÷
101317
÷
÷
78632
ø
210386
ö
÷
65224
÷
÷
29537
ø
1930152617
ö
÷
.
3532262322
÷
÷
3932384235
ø
68
1.14.
=
=
=
=
=
=
1.15.
1.16.
1.17.
1.18.
1.19.
b
,350
=
а
1
=
а
2
=
а
3
b
,300
b
,300
b
b
b
,250
=
а
1
=
а
2
=
а
3
b
,300
b
,200
b
b
b
,350
=
а
1
=
а
2
=
а
3
b
,300
b
,200
b
b
b
,200
=
а
1
=
а
2
=
а
3
b
,200
b
,250
b
b
b
,250
=
а
1
=
а
2
=
а
3
b
,230
b
,170
b
b
b
,200
=
а
1
=
а
2
=
а
3
b
,300
b
,350
b
b
,210
1
,170
=
2
=
3
=
4
=
5
1
=
2
=
3
=
4
=
5
1
=
2
=
3
=
4
=
5
1
=
2
=
3
=
4
=
5
1
=
2
=
3
=
4
=
5
1
=
2
=
3
=
4
=
5
æ
ç
,220
=
Д .
ç
ç
,150
è
,200
,210
,150
æ
ç
,120
=
Д .
ç
ç
,135
è
,135
,170
,140
æ
ç
,200
=
Д .
ç
ç
,195
è
,145
,190
,100
æ
ç
,120
=
Д .
ç
ç
,110
è
,130
,140
,90
æ
ç
,160
=
Д .
ç
ç
,110
è
,150
,210
,150
æ
ç
,120
=
Д .
ç
ç
,135
è
,135
719105
ö
÷
1021142
÷
÷
8512147
ø
721126
ö
÷
1791149
÷
÷
4110163
ø
3028161420
ö
÷
3636261710
÷
÷
4139313017
ø
2427252718
ö
÷
2132272628
÷
÷
3431233317
ø
3525251930
ö
÷
3818272629
÷
÷
4540362719
ø
181313910
ö
÷
2216201920
÷
÷
2321191716
ø
69
1.20.
=
=
=
=
=
=
1.21.
1.22.
1.23.
1.24.
1.25.
b
,350
=
а
1
=
а
2
=
а
3
b
,300
b
,200
b
b
b
,175
=
а
1
=
а
2
=
а
3
b
,200
b
,225
b
b
b
,200
=
а
1
=
а
2
=
а
3
b
,250
b
,450
b
b
b
,200
=
а
1
=
а
2
=
а
3
b
,250
b
,200
b
b
b
,330
=
а
1
=
а
2
=
а
3
b
,270
b
,350
b
b
b
,200
=
а
1
=
а
2
=
а
3
b
,300
b
,250
b
b
,270
1
,130
=
2
=
3
=
4
=
5
1
=
2
=
3
=
4
=
5
1
=
2
=
3
=
4
=
5
1
=
2
=
3
=
4
=
5
1
=
2
=
3
=
4
=
5
1
=
2
=
3
=
4
=
5
æ
ç
,190
=
Д .
ç
ç
,150
è
,110
,100
,130
æ
ç
,80
=
Д .
ç
ç
,190
è
,100
,100
,125
æ
ç
,325
=
Д .
ç
ç
,250
è
,100
,120
,130
æ
ç
,100
=
Д .
ç
ç
,160
è
,140
,210
,170
æ
ç
,220
=
Д .
ç
ç
,150
è
,200
,210
,150
æ
ç
,120
=
Д .
ç
ç
,135
è
,135
1627555020
ö
÷
2117234740
÷
÷
4127555925
ø
53476
ö
÷
101317
÷
÷
78632
ø
310753
ö
÷
65224
÷
÷
29537
ø
2931353025
ö
÷
3532262322
÷
÷
3932384235
ø
719105
ö
÷
1021142
÷
÷
8512147
ø
721087
ö
÷
1791149
÷
÷
4110163
ø
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]