Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций. Учебное пособие (практикум)
.pdf
x
=
X
Затраты на перевозку в ден. ед.
I II 1 15 20 2 8 25
1
3
2
x
2
x3
3
x
x
С2
-=++
С2
x2
=--
.
3
6
-=-
Обратным ходом найдем решение системы:
x +=--==
3
x;2
2
x;С24
1
.С4
Таким образом, мы получим бесчисленное множество решений,
называемое общим решением системы.
(4 + C; -4-2C; 2; C),
где С – произвольная постоянная.
Если положить свободную переменную
x ==
4
,0С
получим од-
но из базисных решений (базис) системы:
Х
= (4; -4; 2; 0).
1баз
Заметим, что в качестве базисных можно было выбрать другие
неизвестные, например, х4, х2, х3, тогда х1 было бы свободным, и
получил бы другое базисное решение.
Замечание. Очевидно, что можно сразу приводить матрицу системы к диагональному виду (1.13), не перенося заранее свободные
переменные в правые части уравнений.
Задача 3. С двух заводов поставляются автомобили для двух
автохозяйств, потребности которых составляют 200 и 300 автомобилей. Первый завод выпустил 350 машин, второй – 150. Затраты на перевозку машин с завода в каждое автохозяйство приведены в таблице:
Заводы
Минимальные затраты на перевозку составляют 7950 ден. ед.
Найти оптимальный план перевозок машин.
Для постановки задачи составим балансовую таблицу, в уголки
ячеек которой внесем технологические коэффициенты задачи и
впишем переменные задачи xij – количество машин, поставляемых
i-м заводом j автохозяйству (i, j = 1.2).
РЕШЕНИЕ
21
Заводы
Автохозяйства
I II 1 x
11
15
x
12
20
350 2 x
21
8
x
22
25
150 Потребности
200 300 500
Итак, нужно найти матрицу неизвестных X =
æ
ç
ç
è
Выпуск
хх
ö
1211
÷
, эле-
÷
хх
2221
ø
менты которой удовлетворяют ограничениям:
а) по выпуску автомобилей:
х11 + х12 = 350,
х21 + х22 = 150,
б) по потребностям автохозяйств:
х11 + х12 = 200,
х21 + х22 = 300,
в) цель задачи – обеспечить минимальные затраты на перевозку
в размере 7950 ден. ед., в соответствии с технологией перевозок:
15х11 = 20х12 + 8х21 = 25х22 = 7950.
Получим систему 5 уравнений с четырьмя неизвестными:
=+
ì
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
î
1211
2221
2111
2212
22211211
350xx
=+
150xx
=+
200xx
=+
300xx
=+++
7950x25x8x20x15
Решим систему методом Гаусса.
Преобразуем расширенную матрицу системы к треугольному
виду. Для этого сначала переставим 4-ю строку на место 2-й, 2-ю –
на место 3-й, доставляя нули в первом столбце.
æ
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
2582015
0011
1100
0101
1010
350
150
200
300
7950
æ
ö
ç
÷
ç
÷
ç
÷
~
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
ø
è
2582015
0011
1100
0101
1010
350
150
200
300
7950
ö
÷
÷
÷
.
÷
÷
÷
ø
Вычтем из 4-й строки первую, потом из 5-й – первую, умноженную на ( + 15):
22
æ
ç
ç
ç
~
ç
ç
-
ç
ç
è
350
0011
1010
1100
0110
25850
300
150
-
150
2700
ö
÷
÷
÷
~.
÷
÷
÷
ø
Разрешающим элементом возьмем а22 = 1, четвертую строку
сложим со второй, пятую сложим со второй, умноженной на (-5):
æ
ç
ç
ç
~
ç
ç
-
ç
ç
è
25850
0011
1010
1100
0110
350
300
150
-
150
2700
ö
æ
÷
ç
÷
ç
÷
~
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
20800
0011
1010
1100
350
300
150
1200
ö
÷
÷
~.
÷
÷
÷
ø
Видим, что третья и четвертая строки оказались одинаковыми
(это означает, что ранг системы равен 4, одно из уравнений лиш-
нее). Вычеркнем одну из них. Выберем теперь разрешающей строкой третью, умножим ее на (-8) и сложим с последней:
æ
ç
ç
~
ç
ç
ç
è
350
0011
ö
÷
300
1010
÷
.
÷
150
1100
÷
÷
0
20000
ø
Получаем систему:
=+
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
1211
2212
2221
22
350xx
=+
300xx
=+
=
.
150xx
0x12
Обратным ходом снизу вверх получаем ответ:
х22 = 0; х21 = 150; х12 = 300; х11 = 50.
Задача 4. Найти все возможные группы основных (базисных)
переменных в системе:
0xxxx
=--+ ,
4321
0xxxx2
=+-- .
4321
23
РЕШЕНИЕ
2
4
=
12131
,;,;
xxxxx
4232434
;,;,;,
xxxxxxx
¹
1314
,;,
xxxx
3142
xcxc
==
+
=
3142
xcxc
==
Общее число групп основных переменных не более чем
4 ·
C
3/2 = 6, т. е. возможные группы основных переменных:
,
.
Выясним, могут ли быть основными переменные х1, х2. Так как
определитель матрицы из коэффициентов при этих переменных равен -3
, то х1, х2 могут быть основными переменными. Рассуждая
0
аналогично, найдем, что могут быть основными переменные
, xx
32
;
, но не могут быть основными
, xx
43
;
, xx
, так
42
как соответствующий определитель при них равен нулю.
Задача 5. Решить систему уравнений:
0xxxx
=--+ ,
4321
0xxxx2
=+-- .
4321
РЕШЕНИЕ
Установлено, что основными могут быть переменные х1, х2; х1,
х3; х1, х4; х2, х3; х3, х4. Возьмем в качестве основных (базисных) переменные х1, х2, а переменные х3, х4 будем считать неосновными
(свободными) и перенесем их с соответствующими коэффициентами в правые части уравнений системы. Получим:
xxxx +=+ ,
4321
xxxx2 -=- .
4321
Решая данную систему любым способом, найдем
xx3/1x += . Задавая неосновным (свободным) переменным х
432
х4 произвольные значения
,
получим бесконечное
,
множество решений этой системы: (
,
).
c3/2x= ;
11
x3/2x = ;
31
и
3
3/1 ccx
212
;
24
УПРАЖНЕНИЯ
(
)
Решить систему уравнений в виде вектора
=
)x,x,x,x(X
4321
, где
основными переменными будут х1 и х2, а две другие – свободными
с1 и с2, где с1 и с2 – произвольные постоянные.
=+--
ì
í
î
1
Ответ:
2
æ
;
X .
ç
3
è
+-=
3
ö
c;c;cc2
÷
2121
ø
Решить систему уравнений в виде вектора
0xx2xx
4321
.
=--+
2xx2xx2
4321
, где
=
)x,x,x,x(X
4321
основными переменными будут х1 и х2, а две другие – свободными
с1 и с2, где с1 и с2, – произвольные постоянные.
-=--+
ì
í
î
Ответ:
.
c,c,c4c2,с21X -++-=
21212
Решить систему уравнений в виде вектора
1x2xxx3
4321
.
=+-+
1x2xxx
4321
, где
=
)x,x,x,x(X
4321
основными переменными будут х1 и х4, , а две другие – свободными
с1 и с2, где с1 и с2, – произвольные постоянные.
=+--
ì
í
î
Решить систему уравнений в виде вектора
0xx2xx
4321
.
=-++
2xx2xx2
4321
, где
=
)x,x,x,x(X
4321
основными переменными будут х1 и х3, а две другие – свободными
с1 и с2, где с1 и с2, – произвольные постоянные.
-=--+
ì
í
î
Решить систему уравнений в виде вектора
1x2xxx3
4321
.
=--+
1x2xxx
4321
, где
=
)x,x,x,x(X
4321
основными переменными будут будут х1 и х4, а две другие – свободными с1 и с2, где с1 и с2, – произвольные постоянные.
-=--+
ì
í
î
1x2xxx3
4321
.
=--+
1x2xxx
4321
25
1.4. Геометрический смысл решений
12
34120
-+£
12
320
-³
системы неравенств
Рассмотрим решение линейного неравенства:
a11х1 + а12х2 ≤ b1. (1.18)
Так как строгое равенство представляет собой уравнение прямой, то множество решений неравенства (1.18) является одной из
двух полуплоскостей, на которые вся плоскость делится прямой
а11х1 + а12х2 ≤ в1, включая и эту прямую, а другая полуплоскость с
той же прямой есть множество решений неравенства с противоположным знаком:
а11х1 + а12х2 ≥ b1. (1.19)
Для определения искомой полуплоскости задают произвольную
контрольную точку, не лежащую на ее границе, т. е. не являющуюся решением уравнения. Если неравенство верно в той точке, то оно
выполняется и во всех точках полуплоскости, содержащей контрольную точку, и не выполняется в точках другой полуплоскости.
Рассуждая аналогично, легко заметить, что множество решений
системы линейных неравенств с двумя переменными является пересечением полуплоскостей:
а11х1 + а12х2 ≤ b
а11х1 + а12х2 ≤ b
…………………
am1х1 + аm2х2 ≤ bm.
В случае совместности системы это множество является выпуклым многоугольником или выпуклой многоугольной областью, содержащей конечное число угловых точек.
Напомним, что множество точек называется выпуклым, если для
любых двух точек множества ему принадлежит и весь отрезок, соединяющий эти точки.
В частных (выраженных) случаях в качестве множества решений
может быть луч, отрезок, единственная точка. В случае несовместности ограничений системы ее решением будет пустое множество.
Пример. Построить множество решений неравенства:
xx
xx
1
2
;
.
(1.25)
26
РЕШЕНИЕ
12
34120
-+=
(
)
4;0
(
)
0;3
(
)
0;3
(
)
4;0
1x2
x
0
4
-
3
-
2-1-1
2
3
1
2
3
(
)
1;0
(
)
2;3
1x2
x
0
3
-
2-1-1
2
3
1
2
3
а
б
3040120
×-×+£
12
340
-=
Известно, что множество решений линейного неравенства есть
полуплоскость.
1. Построим границу полуплоскости прямую
найдя точки ее пересечения с осями координат
xx
A -
B
и
на рис. 1.1 а.
Для определения искомой полуплоскости (верхней или нижней)
рекомендуется задать произвольную контрольную точку, не лежащую на ее границе (построенной прямой). Если неравенство выполняется в контрольной точке, то оно выполняется и во всех точках
полуплоскости, содержащей контрольную точку, и не выполняется
во всех точках другой полуплоскости.
,
B
A
-
Рисунок 1.1
A
B
И, наоборот, в случае невыполнения неравенства в контрольной
точке, оно не выполняется во всех точках полуплоскости, содержащей контрольную точку, и выполняется во всех точках другой полуплоскости.
В качестве контрольной точки удобно взять начало координат
О(0; 0), не лежащее на построенной прямой. Координаты точки О
не удовлетворяют неравенству:
, следовательно,
решением данного неравенства является нижняя полуплоскость, не
содержащая контрольную точку О. Искомая полуплоскость выделена штриховкой.
2. Построим границу полуплоскости прямую
xx
по
двум точкам. Одной из этих точек является начало координат на
рис. 1.1 б (в уравнении прямой отсутствует свободный член), а дру-
27
гую точку берем на прямой произвольно, например, А(2; 3) на рис.
31200
×-׳
81.
x1–2x2 + x3 = 1,
82. 2
x1–
x2 + 3
x3 = 1,
83. 2
x1–3x2 + 4
x3 = 20,
84.4
x1–
x2 + 3
x3 = 1,
85. 10
x1–7x2 = 7,
86. 2
x1 + 7
x2 + 13
x3 = 0,
87. 2
x1 + 4
x2–3x3 = 2,
88. 2
x1–3x2 + x3 = 2,
89.
x1 + x2–3x3 = 0,
90. 2
x1 + 6
x2–
x3 = 7,
1.1 б. В качестве контрольной возьмем, например, точку В(1; 0).
Самую «простую» точку О(0; 0) здесь в качестве контрольной брать
не следует, ибо она лежит на построенной прямой. Так как координаты контрольной точки В(1; 0) удовлетворяют неравенству, т. е.
, то решением данного неравенства является нижняя
(правая) полуплоскость, содержащая эту точку.
Контрольные вопросы
1. Какие переменные в системе уравнений называются основ-
ными, свободными?
2. Что называется базисным решением системы?
3. Какое множество точек называется выпуклым?
4. Какие множества на плоскости описываются линейными не-
равенствами?
5. Какие переменные в системе уравнений называются базисными?
6. В каких точках множества ограничений следует искать допу-
стимые базисные решения системы линейных уравнений?
ЗАДАНИЯ
Решить системы уравнений по правилу Крамера, матричным
способом и методом Жордана – Гаусса:
2x1 + 3x2–x3 = 8,
x1–x2 + 2x3 = -1.
3x1 + 4x2–2x3 = -11,
4x1 + 2x2 + 3x3 = 9.
–3x1 + 2x2 + 6x3 = 4,
5x1–x2 + 5x3 = 6.
x1 + x2 + 2x3 = 0,
3x1–2x2 + x3 = -5.
3x1 + 2x2–2x3 = -1,
x1–x2 + 5x3 = -2.
x1–2x2–5x3 = -9,
4x1 + 3x2–2x3 = 4.
3x1 + 2x2 + 4x3 = 8,
2x1–2x2 + 4x3 = 0.
3x1 + 14x2–12x3 = 8,
5x1 + 25x2 + 16x3 = 39.
x1 + 5x2–4x3 = -5,
4x1 + x2–3x3 = -4.
4x1–x2 + x3 = 4,
x1 + 2x2–3x3 = 0.
28
91.x + 2y–3z = 1,
2x–3y–z = -7,
92.2x
+ 3y + z = 1,
93. 3x–y + 4z = 2,
94.3x
–2y–z = -5,
95. 4x + 2y–z = 0,
96. 2x–y = -1,
97. 2x–y + 5z = 4,
98. x–2y–z = -2,
99. 3x + 2y–4z = 8,
100. 2x–y + 4z = 15,
101. 4x + 2y–z = 0,
102. 2x–y = -1,
103. 2x–y + 5z = 4,
104. x–2y–z = -2,
105. x–4y + 3z = -
22,
106. x + 2y–3z = 0,
107. 3x–3y + 2z = 2,
1
08. 3x + 2y–4z = 8,
109. x
+ y + z = 1,
110. 2x–y + 4z = 15,
111. 3
x1–
x2 + 5
x3–
x4 = -3,
112. 3
x1–
x2 + 4
x3 + x4 = 1,
4x + y–2z = 0.
x + y–4z = 0,
4x + 5y–3z = 1.
x + 2y + 3z = 7,
5x + 3y + 2z = 8.
x + 2y + z = 1,
y–z = -3.
3x–y + 5z = 0,
5x + 2y + 13z = 2.
2x + 4y–5z = 11,
4x–3y + 2z = 1.
x + 2y + z = 1,
y–z = -3.
3x–y + 5z = 0,
5x + 2y + 13z = 2.
2x + 3y + 5z = 12,
3x–y–2z = 0.
4x–5y + 2z = 1,
5x–6y + 4z = 3.
x + 3y + 2z = 2,
5x–2y + 4z = -7.
x + 2y–z = -2,
y + z = -2.
2x–y = -1,
y + z = -2.
3x–y + z = 8,
-2x + y + z = 0.
x + 2y–z = -2,
y + z = -2.
2x–y = -1,
y + z = -2.
2x–y + 4z = 5,
3x + y–z = 2.
2x + 4y–5z = 11,
4x–3y + 2z = 1.
x–y + 2z = -5,
4x + y + 4z = -2.
3x–y + z = 8,
-2x + y + z = 0.
Исследовать совместность и найти общее решение следующих
систем:
2x1 + 3x2–x3 + x4 = 5,
x1 + x2–3x3 = 1,
4x1 + x2 + x3 + 6x4 = -11,
2x1 + 3x2–10x3 + 3x4 = 9.
4x1 + 2x2–18x3 + x4 = 4.
29
113. 9
x1 + 3
x2–
x3 + x4 = 8,
6x1–2x2 + x3–x4 = 6,
114. 2
x1 + 2
x2–
x3 + 7
x4 = 3,
115. x1 + 2
x2 + 3
x3–
x4 + x5 = 8,
116. x1–2x2 + 3
x3–
x4 + 2
x5 = 1,
117. x1 + 3
x3–
x4 + x5 = 9,
118. 7
x1–2x2–4x3 + x5 = -
10,
119. 3
x1–
x2 + 4
x3–
x4–
x5 = -8,
120. 4
x1–2x2 + x3 + x4–
x5 = 2,
x1–3x2 + 7x3 + 2x4 = 8.
3x1–x2 + 3x3–16x4 = 5,
4x1 + x2–5x3 + x4 = 0.
2x1–2x2 + x3–x4 + 3x5 = 6,
x1–4x2 + 3x3 + x4–x5 = 2.
2x1 + x2–5x3 + x4–x5 = -10,
x1–3x2 + x3–x4–x5 = -1.
x1 + 10x2–x3–x4 + 2x5 = -9,
2x1–x2 + 3x3 + x4 + x5 = 1.
6x1–x2 + x3–7x4 + x5 = 6,
3x1 + x2–3x3 + 4x4–x5 = 3.
x1–x2 + x3 + x4–6x5 = 8,
x1 + 2x2 + 2x3–3x4 = 11.
x1–4x2 + 3x3–x4 + x5 = 9,
2x1 + 2x2–x3–x4 + 3x5 = -8.
Рекомендованная литература
1. Исследование операций в экономике: учебное пособие / Н. Ш. Кре-
мер и др.; под ред. Н. Ш. Кремера. 2-е изд., перераб. и доп. – М.:
Юрайт, 2012. 430 с.
2. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Математика для экономистов. –
СПб.: Питер, 2005. 464 с.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]