Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Исследование операций. Учебное пособие (практикум)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 184 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

ГЛАВА 2

ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

И ПРИМЕРЫ ИХ ПОСТАНОВКИ.

АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ

Цель: ознакомить студентов с методикой постановки задач ли-

нейного программирования и способом графического их решения.

В результате проработки темы студент должен научиться переводить словесное описание задачи в математическую постановку в виде линейных уравнений, неравенств, определять область допустимых решений и графически находить оптимальное решение задачи.

Формируемая часть компетенции: ПК-11 – знание основных положений, законов и методов естественных наук; способность выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, готовность использовать для их решения соответствующий естественнонаучный аппарат.

Актуальность темы: постановка задач является ключевым моментом при математическом моделировании. Графический метод решения – простейший для задач линейного программирования.

На основе известных законов (природы, физики, экономики и других) составляются уравнения, неравенства или их системы, описывающие либо равновесие спроса и предложения, либо баланс материальных и денежных ресурсов, а также физические законы сохранения материи, энергии, вещества, соотношения денежного обмена и т. п. Составление этих математических задач как раз и является сутью математического моделирования, а результаты их решения описывают различные аспекты моделируемого явления.

К ИЗМЕНЕНИЮ ПАРАМЕТРОВ

Теоретическая часть

2.1. Примеры постановки задач линейного программирования

Задача 1 (об ассортименте). Для производства различных моде- лей А и В используется три вида сырья. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья первого вида а1 = 12 кг, сырья второго вида а2 = 4 кг, сырья третьего вида а3 = 3кг. На изготовле-

ние единицы изделия В требуется затратить сырья: первого вида

Вид изделия

А В Первое

264

Прибыль,

руб. 6 4

b1 = 3 кг, второго вида b2 = 5 кг, третьего вида b3 = 14 кг.

Производство обеспечено сырьем первого вида в количестве р1 = 264 кг, сырьем второго вида в количестве р2 = 136 кг, сырьем третьего вида в количестве р3 = 266 кг.

Прибыль от реализации единицы готового изделия А составит а = 6 руб., а изделия В: b = 4 руб. Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.

Постановка задачи

Процесс построения математической модели начинается с ответов на три вопроса:

1. Каковы переменные задачи? Их обозначаем

x,...,x,x

n21

2. Какие ограничения должны учитываться для переменных?

3. В чем состоит цель задачи, что представляет собой целевая

функция?

Рассмотрим процесс построения математической модели на примере нашей задачи. Оформим данные задачи в виде таблицы:

Вид сырья

Второе

Третье

4 3

Запасы сырья

136 266

Введем переменные.

Обозначим: х1 (ед.) – количество изделий А;

Х2 (ед.) – количество изделий В;

U (руб.) – прибыль от реализации всей продукции.

Совокупность неизвестных (х1; х2) называется планом производства. Очевидно, должны соблюдаться условия неотрицательности:

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0.

Составим ограничения по сырью каждого вида. На изготовление х1 единиц изделий А расходуется 12∙ х1 кг сырья первого вида, на

изготовление х2 единиц изделий В расходуется 3∙ х 2 кг сырья первого вида. Полный расход сырья первого вида составит (12 х1 + 3 х2) кг, и не должен превышать запасов этого сырья в количестве 264 кг, т. е. 12 х1 + 3 х2 ≤ 264.

Аналогично для сырья второго вида 4 х1 + 5 х2 ≤ 136 и для сырья третьего вида 3 х1 + 14 х2 ≤ 266.

По условию задачи прибыль от реализации единицы изделия А составляет 6 руб., а следовательно, прибыль от реализации всех х1 единиц изделий А составит 6 х1 руб., прибыль от реализации х2 единиц изделий В составит 4∙ х2 руб.

Общая прибыль от реализации всех изделий U = (6 х1 + 4 х2) руб., U называется целевой функцией задачи. Ее значение должно быть максимальным, т. е. U = 6 х1 + 4 х2 ® МАХ.

Система полученных линейных неравенств-ограничений по сырью вместе с условием неотрицательности и целевой функцией образует математическую модель задачи стандартного вида:

12 х1 + 3 х2 ≤ 264;

4 х1 + 5 х2 ≤ 136; (2.1)

3 х1 + 14 х2 ≤ 266;

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0;

U = 6 х1 + 4 х

® МАХ.

Полученная математическая модель (2.1) называется задачей линейного программирования (ЗЛП), т. к. линейны все неравенства системы ограничений и целевая функция U.

Допустимый план – это пара значений (х1; х2), удовлетворяющая системе ограничений и условиям неотрицательности.

Оптимальный план – это допустимый план, доставляющий максимум (или минимум) целевой функции U.

Если неравенства в модели (2.1) непротиворечивы, то имеется бесчисленное множество допустимых планов, из которых нужно выбрать оптимальный (наилучший).

Задача 2 (об использовании ресурсов, одна из задач планирова- ния производства). Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2

используют четыре вида ресурсов S1, S2, S3 и S4. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в таблице 2.1 (цифры условные).

Прибыль, получаемая от единицы продукции Р1 и Р2, соответственно 2 и 3 руб.

Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

РЕШЕНИЕ

Составим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим х1, х2 − число единиц продукции соответственно Р1 и

318,

216,

321.

+£

Число единиц, затрачиваемых

на изготовление единицы пр

дукции

−

0,0

³³

23max

=+®

Р2, запланированных к производству. Для их изготовления (таблица

2.1) потребуется (1 + х1 + 3х2) единиц ресурса S1, (2x1 + 1 · x2) единиц

ресурса S2, (1 · x2) единиц ресурса S3 и 3x1 единиц ресурса S4. Так как потребление ресурсов S1, S2, S3 и S4 не должно превышать их запасов соответственно 18, 16, 5 и 21 единицы, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:

í ï

(2.2)

Таблица 2.1

Вид ресурса Запас ресурса

По смыслу задачи переменные:

(2.3)

Суммарная прибыль F составит 2x1 руб. от реализации продукции P1 и 3x2 руб. − от реализации продукции P2, т. е.

F = 2x1 + 3x2 (2.4)

Итак, экономико-математическая модель задачи: найти такой план выпуска продукции X = (x1, x2), удовлетворяющий системе (2.2) и условию (2.3), при котором функция (2.4) принимает максимальное значение.

2.2. Графический метод решения задач линейного программирования. Примеры выполнения заданий

Задача 3. Решить геометрически задачу линейного программи-

рования:

Fxx

при ограничениях:

(III)

(IV)

(V,VI)

318,

216,

x2x

max

III

IVVVI

6F=

318,

+£

216,

+£

ï í

ï ï ï

321,

0,0.

³³

РЕШЕНИЕ

(I)

(II)

Изобразим многоугольник решений на рис. 2.1. Очевидно, что при F = 0 линия уровня 2x1 + 3x2 = 0 проходит через начало координат (строить ее не обязательно). Зададим, например, F = 6 и построим ли-

нию уровня 2x1 + 3x2 = 6. Ее расположение указывает на направление возрастания линейной функции (вектор

). Так как рассматриваемая

задача – на отыскание максимума, то оптимальное решение − в угловой точке C, находящейся на пересечении прямых I и II, т. е. координа- ты точки C определяются решением системы уравнений:

откуда x1 = 6, x2 = 4, т. е. C(6; 4).

Максимум (максимальное значение) линейной функции равен

= 2 · 6 + 3 · 4 = 24.

max

Рисунок 2.1

Итак, F

Нормы расхода

A B

I 8 14 130 II 9 2 200 III 3 1 105 Прибыль от реализ

ции

= 24 при оптимальном решении x1 = 6, x2 = 4, т. е. мак-

max

симальная прибыль в 24 руб. может быть достигнута при производстве 6 единиц продукции P1 и 4 единиц продукции P2.

Замечание. Многоугольник допустимых планов может быть в частности треугольником, четырехугольником и т. д. Может оказаться, что полуплоскости не имеют общих точек. Это означает, что система ограничений противоречива, и ЗЛП решений не имеет, т. к. нет допустимых планов.

УПРАЖНЕНИЯ

В заданиях 1−3 составить экономико-математические модели.

Задание 1. Для производства двух видов изделий A и B предпри- ятие использует три вида сырья. Другие условия задачи приведены в таблице:

Общее

Вид сырья

сырья на одно изделие, кг

количество

сырья, кг

одного изделия, ден. ед.

Составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль предприятия от реализации продукции будет максимальной при условии, что изделий B надо выпустить не менее чем изделий A.

Задание 2. Рацион для питания животных на ферме состоит из двух видов кормов I и II. Один килограмм корма I стоит 70 ден. ед. и содержит 0,5 ед. жиров, 4 ед. белков, 1 ед. углеводов, 1 ед. нитратов. Один килограмм корма II стоит 16 ден. ед. и содержит 3 ед. жиров, 6 ед. белков, 4 ед. углеводов, 3 ед. нитратов.

Составить наиболее дешевый рацион питания, обеспечивающий жиров не менее 9 ед., белков не менее 5 ед., углеводов не менее 4 ед., нитратов не более 11 ед.

Задание 3. На двух автоматических линиях выпускают аппараты трех типов. Другие условия задачи приведены в таблице:

34 25

Тип

300

200

150

®++

®+-

аппарата

Производительность

работы

линий, шт. в сутки

Затраты на работу ли-

ний, ден.ед. в сутки

1 2 1 2

План,

шт.

6 8

5 2

200 150

100 150

80 50

Составить такой план загрузки станков, чтобы затраты были минимальными, а задание выполнено не более чем за 10 суток.

Задание 4. Найти опорное решение задачи линейного програм- мирования вида X = (x1; x2; 0) и соответствующее допустимое значение целевой функции Z:

max23

xxxZ

321

£-+

xxx

321

7243

£-+

xхx

321

3,1,0

=³

Ответ: Z = 4.

Задание 5. Найти опорное решение задачи линейного програм- мирования вида X = (0; x2; x3) и соответствующие допустимые значения целевой функции Z:

max23

xxxZ

321

£-+

xxx

321

2243

£-+

xхx

321

3,1,0

=³

Ответ: Z = 2.

Задание 6. Найти опорное решение задачи линейного програм- мирования вида X = (x1; x2; 0) и соответствующее допустимое значение целевой функции Z:

max534

xxxZ

321

£-+

xxx

321

7243

£-+

xхx

321

3,1,0

=³

Ответ: Z = 3.

Задание 7. Решить графическим методом задачи с двумя пере-

Вариант

риант

менными (таблица 2.2).

Таблица 2.2

Варианты задания 7

Задача Ва

Z(X) = 2x1 + 4x

ì ï

ï í

ï ï

³+

£-

£+

³0, x2³0

Z(X) = 15x1 + 10x

ì ï ï

ï í

ï ï ï

³-

£+

£-

³+

³0, x2³0

Z(X) = 3x1 + 2x

ì ï

ï í

ï ï

³-

-³-

£-

³0, x2³0

Z(X) = 2x1 + 5x

ì ï ï

ï í

ï ï ï

³0, x2³0

³+

£+-

£+

,4xx

,3xx

£+-

³+-

£+-

,5x5x

,3xx6

,2x2x

,4xx2

max,

,6x2x3

,10x2x

,8x2x

,24x2x3

max,

,0xx3

,2xx

,16xx4

,6xx2

min,

,4xx

,14x2x

,5x3x

max,

Z(X) = -3x1-x

Z(X) = 2x1 + 3x

Z(X) = 4x1 + 6x

Z(X) = -x1 + 4x

ì ï í ï

ì ï

ï í

ï ï

ì ï

ï í

ï ï

ì ï

ï í

ï ï

Задача

³0, x2³0

³+

³0

®min,

³-

,0xx4

£-

,0xx2

£+

,3xx

®max,

³+

,2x2x

,2xx

³+

,4xx2

£-

³-

£-

³+

,2xx2

®min,

£-

³+

-³+

,1xx

,0x3x2

max,

,0x5x4

,0x3x2

,6x3x2

,6x2x3

,0x3x2

Вариант

Z(X)

= 2x1 + 8x2 + 3x3

Z(X)

= 2x1 + 6x2 + x3

Z(X)

= 2x1 + 3x2-

Z(X)

= 2x1 + 5x2 + x3

Z(X)

= 4x1 + 13x2 + 3x3

Z(X)

= 9x1 + 2x2 + 4x3-

Z(X) = 2x1-x

ì ï

ï í

ï ï

³0, x2³0

max,

£+-

,2xx

³+

,16x3x2

£+

,10xx

£-

,8xx2

Z(X) = x1 + 4x

ì ï

ï í

ï ï

³0, x2³0

£+

³+

³+-

,3xx

£-

Задание 8. Решить графическим методом задачи с n переменны- ми (таблица 2.3).

Таблица 2.3

Варианты задания 8

Задача Вариант

®min,

=-+-

ì í î

³0, j = 1,2,3,4

®min,

ì í

=++

421

³0, j = 1,2,3,4

,8x7x2x3x13

4321

-=+-+-

,2x4xx2x7

4321

,21x7x3x2

4321

-=-+--

,12x5xx2x

ì í î

Задача

®max,

³0, j = 1,2,3,4

®max,

432

³0, j = 1,2,3,4

min,

,6x3x2

,0x3x2

=++

-=-++-

,2xx2x5x4

4321

,6xx2x3

-=+--

,1xx3x8x5

=+--

,1xx3x2x5

®min,

ì í î

³0, j = 1,2,3,4

Z(X) = x1 + x2 + 3x3 +

®min,

ì í î

³0, j = 1,2,3,4

®max,

-=+-+-

,1x2xx3x5

4321

=-+-

,6x3x2x4x9

4321

ì í î

³0, j = 1,2,3,4

Z(X) = x1-2x2-x3 + 3x

ì í

=-+-

,2x2xx6x5

4321

=-+-

4321

,2x5x2x14x11

³0, j = 1,2,3,4

4321

=-++

=+-+-

4321

=-++

,4x4xx2x2

max,

,2xxx2x4

=+-+-

,12x7x2x3x4

,10x2xx6x6

Z(X)

= 11x2 + x3

Z(X) = 2x1 + x2-x3-2x

®min,

=-+-

ì í î

³0, j = 1,2,3,4

,1xxx5x4

4321

=-+-

4321

,11x2x3x11x11

ì í î

³0, j = 1,2,3,4

4321

Контрольные вопросы

1. Что называется экономико-математической моделью?

2. Перечислите основные этапы экономико-математического

моделирования.

3. Что называется целевой функцией?

4. Сформулируйте общую постановку задачи линейного про-

граммирования.

5. Чем отличается постановка задачи линейного программиро-

вания в канонической форме от постановки в общей форме?

6. В чем заключается геометрическая интерпретация задачи ли-

нейного программирования?

7. Чем отличается формулировка задачи линейного программиро-

вания от формулировки задачи математического программирования?

8. Что называется допустимым решением задачи линейного про-

граммирования?

9. Где следует искать оптимум задачи линейного программиро-

вания?

10. Что называется опорным решением ЗЛП?

11. В чем суть принципа оптимальности в планировании и управ-

лении?

12. В чем заключается геометрическая интерпретация задачи ли-

нейного программирования?

13. Каковы основные этапы метода графического решения задачи

линейного программирования?

14. Каким может быть множество допустимых решений задачи

линейного программирования?

15. Какое направление для целевой функции указывает ее градиент?

16. Когда применяется графический метод ЗЛП?

17. Что подразумевают под исследованием модели на чувстви-

тельность к изменению параметров?

18. Что называют линией уровня целевой функции?

19. Какой вектор называется градиентом?

20. Как определяют направление оптимизации целевой функции?

=-++

=+-+

min,

,6xx3xx2

,7xx2xx

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 184 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]