Исследование операций. Учебное пособие (практикум)

Найти f(A):

21

-4211

ö ÷

;

÷

- 30

ø

ö ÷

;

÷ ø

21

æ ç

ç è

ö ÷

;

÷

- 43

ø

æ

48. f(x) = 3x2–4, A =

49. f(x) = x2 + x, A =

ç

ç è

æ ç

ç è

50. f(x) = 3x2–2x + 1, A =

Найти транспонированные и обратные для следующих матриц:

51.

53.

55.

57.

59.

321

æ ç

ç ç

è æ

ç

-

ç ç

è æ

ç ç ç

-

è æ

ç ç ç

è æ

ç ç ç

è

ö ÷

423

; 52.

÷ ÷

351

ø

012

ö ÷

141

; 54.

÷ ÷

122

ø

-

110

ö ÷

214

; 56.

÷ ÷

631

ø

321

ö ÷

032

; 58.

÷ ÷

- 413

ø

-

111

ö ÷

-

413

; 60.

÷ ÷

201

ø

-

æ ç

ç ç

-

è æ

ç ç ç

è æ

ç ç ç

- 141

è æ

ç ç ç

è æ

ç ç ç

è

411

ö ÷

820

;

÷ ÷

131

ø

411

ö ÷

142

;

÷ ÷

---213

ø

160

ö ÷

021

;

÷ ÷

ø

201

ö ÷

146

;

÷ ÷

--133

ø

110

ö ÷

124

.

÷ ÷

--173

ø

Решить матричные уравнения:

æ ç

61.

ç è

63. X ·

æ ç

ç ç

è

21

13

ö ÷

X =

÷ ø

--012

53

ö

æ

÷

ç

. 62. X ·

÷

ç

95

ø

è

321

ö

æ

÷

ç

123

=

÷

ç

÷

ç

ø

--012

è

21

æ ç

ç

--41

è

031

ö ÷

613

.

÷ ÷

ø

ö ÷

=

÷ ø

21

æ ç

ç è

ö ÷

÷

--53

ø

.

11

---

65. a) (A

T)T

= A; b) (A

+ B)T = AT + BT; 66. (A

· B)T = BT · AT;

a

68. (A

–

1)T

= (AT)

–

1

; 69. (A

· B)

–

1

= B

–

1

· A

–

1

.

135

--

231

--

125

64. X

æ ç

ç ç

è

Доказать равенства:

-

ö

æ

÷

ç

=

÷

ç

÷

ç

ø

è

038

ö ÷

-

095

.

÷

-

÷

0152

ø

67. (α · A)–1 =

70. Вычислить: A · AT и AT · A для A =

æ ç

ç è

1

-- 5114

A–1;

1321

ö ÷

÷ ø

.

1.2. Ранг матрицы

Если выделить в матрице из m×n элементов k строк и k столбцов, где k – число меньшее или равное меньшему из чисел m и n, то определитель порядка k, составленный из элементов выделенных k строк и k столбцов, называется минором, порожденным матрицей A.

Базисным минором называется всякий отличный от нуля определитель, порядок которого равен рангу матрицы.

Методы нахождения ранга матрицы:

1. Метод единиц и нулей. Путем элементарных преобразований матрицу приводим к виду, когда каждый ее ряд содержит только нули и одну единицу. Число оставшихся единиц и определяет ранг исходной матрицы.

2. Метод окаймляющих миноров. Минор M содержащий в себе минор Mk порядка k, называется окаймляющим минором Mk. Если матрица A имеет минор Mk≠0, а все окаймляющие его миноры M

= 0, то ранг матрицы равен k (rang A = k).

k + 1

ПРИМЕР

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров:

A =

-

æ ç

-

ç ç

-

è

4521

ö ÷

3442

÷ ÷

2363

ø

, M2 =

-

= -8 + 20 = 12≠0.

4452-

порядка k + 1,

k + 1

12

Для M2 окаймляющими будут:

521

-

)1(

M

= = 0,

3

442

-

363

-

Поэтому rang A = 2.

Найти ранг матрицы:

-

410

ö ÷

521

÷ ÷

. 72.

713

÷ ÷

-

1050

÷

031

ø

04321

ö ÷

10432

. 74.

÷ ÷

21043

ø

4311

ö ÷

0512

. 76.

÷ ÷

-

1231

ø

64125

ö ÷

-

01275

÷

. 78.

÷

34075

÷ ÷

-

01625

ø

3210

ö ÷

7654

. 80.

÷ ÷

111098

ø

71.

73.

75.

77.

79.

æ ç

-

ç ç ç ç ç

è æ

ç ç ç

è

-

æ ç

-

ç ç

è

-

æ ç

ç ç ç

ç è

æ ç

ç ç

è

)2(

M

--= = 0.

3

-

УПРАЖНЕНИЯ

æ ç

ç ç

è

æ ç

ç ç

è æ

ç ç ç ç

ç è

æ ç

ç ç ç

ç è

æ ç

ç ç ç

ç è

452

344

236

-

--231

-

42321

ö ÷

71513

.

÷ ÷

18212

ø

2121

ö ÷

4343

.

÷ ÷

2515

ø

001

ö ÷

121

÷

.

÷

765

÷ ÷ ø

321

ö ÷

---

654

÷

.

÷

301

÷ ÷

111110

ø

41021

ö ÷

20531

÷

.

÷

80376

÷ ÷

--

32121

ø

13

1.3. Системы линейных алгебраических

a11x1 + a12x2

+ … + a1nxn = b1,

уравнений и методы их решения

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными.

Теорема Кронекера – Капелли. Для того чтобы система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы A был равен рангу расширенной матрицы B, rang A = rang B = r, где

A =

Если r = n, то система имеет единственное решение, если r < n система имеет бесконечное множество решений, зависящее от n–r произвольных параметров.

Если в системе (1.7) все свободные члены равны нулю, система называется однородной, в противном случае – неоднородной. Так как для однородной системы rang A = rang B, она всегда совместна.

1. Метод Крамера решения систем m линейных уравнений с n не-

известными состоит в отыскании неизвестных по формуле Крамера:

где Δ – основной определитель системы, а определители Δi представляют собой определители того же порядка, которые получены из основного путем замены в нем i-го столбца столбцом свободных членов системы.

2. Матричный метод решает также систему n уравнений с n неизвестными, для которой матрица коэффициентов является невырожденной. Тогда для A существует обратная матрица A–1.

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b

……………………………………………….

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm.

a...aa

æ ç

ç ç ç

ç è

n11211

a...aa

......................

a...aa

nn2n1n

xi =

ö ÷

÷

n22221

, B =

÷ ÷

÷ ø

D

i

, (i = 1, 2, 3, …, n), (1.9)

D

2,

(1.7)

ba...aa

æ ç

ç ç ç

ç è

......................

ö

1n11211

÷

ba...aa

÷

2n22221

÷

. (1.8)

÷ ÷

ba...aa

nnn2n1n

ø

14

Заданную систему уравнений:

4

x2 + 4

x3 = -

19,

3217-

32

-

32

a11x1 + a12x2

+ … + a1nxn = b1,

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2,

(1.10)

an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn,

Если обозначить

B =

b

ö

æ

1

÷

ç

b

÷

ç

2

÷

ç

.

; X =

÷

ç

÷

ç

.

÷

ç

b

n

ø

è

x

ö

æ

1

÷

ç

x

÷

ç

2

÷

ç

.

,

÷

ç

÷

ç

.

÷

ç

x

n

ø

è

то можно записать в матричном виде:

A · X = B, A–1 · A · X = A–1 · B, X = A–1 · B, (1.11)

где введены в рассмотрение матрицы-столбцы для свободных членов и неизвестных. Умножая матричное уравнение на обратную матрицу A–1 слева, получим матрицу-столбец, дающую решение системы.

Задача 1. Решить методом Крамера систему:

2x1–3x2–5x3 = -5,

-3x1–2x2–3x3 = 2.

Решение системы имеет вид:

x1 =

D

1

; x2 =

D

2

D

; x3 =

D

3

.

D

Вычислим определители:

Δ =

440

532

- = 32; Δ

323

---

-

=

1

4419

535

---

322

--

= -17;

Δ2 =

x1 =

4190

-

552

--

= -43; Δ3 =

323

--

; x2 =

--

443

; x3 =

15

1940

-

--

223

532

= 291;

291

.

Задача 2. Данную систему уравнений записать в матричной

x1 + 5

x2–

x3 = 3

форме и решить ее с помощью обратной матрицы:

2x1 + 4x2–3x3 = 2 3x1–x2–3x3 = -.

РЕШЕНИЕ

Обозначим через A – матрицу коэффициентов при неизвестных; X – матрицу-столбец неизвестных x1, x2, x3; B – матрицу-столбец свободных членов:

-

A =

151

æ ç

ç ç

è

ö ÷

-

242

; X =

÷ ÷

--

313

ø

x

æ

1

ç

x

ç

2

ç

x

3

è

ö ÷

; B =

÷ ÷

ø

3

ö

æ

÷

ç

2

.

÷

ç

÷

ç

- 7

ø

è

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:

A · X = B.

Если матрица A – невырожденная (ее определитель Δ отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу A–1. Умножив обе части уравнения на A–1 слева, получим:

A–1 · A · X = A–1 · B.

Но A–1 · A = E (E – единичная матрица), а E · X = X, поэтому

X = A–1 · B.

Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу A–1.

Пусть имеем невырожденную матрицу:

aaa

ö

131211

÷

aaa

÷

232221

,

÷

aaa

333231

ø

ААА

ö

312111

÷

DDD

÷

ААА

÷

322212

,

÷

DDD

÷

ААА

332313

÷

DDD

ø

A =

тогда A-1 =

æ ç

ç ç

è

æ ç

ç ç ç ç ç è

16

где Aij (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) – алгебраические дополнения для эле-

16

ментов aij в определителе матрицы A.

Вычислим определитель Δ и алгебраические дополнения Aij элементов матрицы A.

151

-

Δ =

342

-

313

--

= -6≠0,

следовательно, матрица A имеет обратную матрицу A–1.

A11 =

A31 =

A22 =

-

= -5; A21 = –

3134--

-

= -1; A12 = –

3415-

-

= 0; A32 = –

3311-

-

3115--

= –3;

3332-

11 -

32

= 16;

= 1;

A13 =

A33 =

Тогда A–1 =

= -4; A23 = –

1342-

51

= –6;

42

--

111615

æ ç

-

ç ç

è

ö ÷

103

--

61614

1

·

÷ ÷

ø

.

-

= 16;

2351-

Находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

X =

x

ö

æ

1

÷

ç

x

= –

÷

ç

2

÷

ç

x

3

ø

è

æ ç

=

ç ç

è

æ ç

1

·

-

ç ç

è

---

--

111615

103

--

61614

-++-

)16/()773245(

ö ÷

)16/()79(

=

÷ ÷

-++-

)16/()423242(

ø

3

ö ÷

÷ ÷

ø

æ ç

ç ç

--2

è

·

1

ö

æ

÷

ç

2

=

÷

ç

÷

ç

- 7

ø

è

4

ö ÷

.

÷ ÷

ø

Отсюда x1 = -4; x2 = 1; x3 = -2.

3. Метод Жордана – Гаусса или метод последовательных ис-

ключений является наиболее универсальным по сравнению с

17

предыдущими методами решения систем линейных алгебраических

=++

4xx

x

уравнений, так как позволяет решать и системы m линейных уравнений с n неизвестными, когда основная матрица A системы имеет ранг r¹n. Тогда расширенная матрица системы путем элементарных преобразований может быть приведена к виду:

ba...aa...a1

æ ç

ç ç ç ç ç

+

............................................

+

ç ç

è

ö

1n11r1r112

÷

ba...aa...10

÷

2n21r2r2

÷ ÷

, (1.12)

÷

ba...a1...00

rrn1rr

÷

b0...00...00

+

1r

÷ ÷

b0...00...00

rn

ø

т. е. исходная система уравнений к виду:

x1 + a12x2 + … + a1rxr + a

x2 + … + a2rxr + a

2r + 1xr + 1

1r + 1xr + 1

+ … + a1nxn = b

+ … + a2nxn = b

1

2

…………………………………………..

xr + a

rr + 1xr + 1

+ … + arnxn = br

0 = b

r + 1

0 = brn. (1.13)

Если хотя бы одно из чисел b ма не имеет решений. Если b

r + 1

= … = brn не равно нулю, систе-

r + 1

= … = brn = 0, система совместна, из

нее можно последовательно выразить в явном виде базисные неизвестные xr, x

(n–r):x

r + 1

,…, xn.

, … , x2, x1 через свободные, число которых

r–1

В случае r = n решение этой системы единственно, и все неизвестные последовательно выражаются из последней системы снизу вверх.

Задача 1. Методом Жордана – Гаусса решить систему:

ì ï ï

í ï ï

î

411

Так как D = ,019

132

111

--

¹-=

321

. (1.14)

=++

9xx3x2

321

-=--

2xxx

321

система имеет единственное

решение.

18

Прямой ход. Умножаем первое уравнение сначала на (-2) и скла-

-

дываем со вторым, затем первое на (-1) и складываем с третьим. Получим:

x

2

1

x

3

2

x2

2

=++

3

1

=-

x2

3

6

-=--

4

x

Третье уравнение можно сократить на ( + 2), а потом третье уравнение сложить со вторым. Получим треугольную систему:

x

1

x

2

x

2

x2

3

4

+++

3

1

=-

3

. (1.15)

2

-=-

Заметим, что прямой ход преобразований системы (1.14) соответствует приведению расширенной матрицы коэффициентов системы к треугольному виду методом Гаусса. Подчеркиваем разрешающий ведущий элемент, ведущую строку умножаем на (-2), (-1):

)1()2(

~

æ ç

ç ç è

-

æ ç

ç ç è

ö

4

111

÷

9

132

÷ ÷

2

111

---

ø

ö

4

111

÷

,

~

1

110

÷ ÷

6

220

---

ø

складываем со второй и третьей строками соответственно, получая нули сначала в первом столбце под диагональным элементом. Потом ведущей считаем вторую строку и подчеркиваем разрешающий элемент, складываем ее с третьей строкой:

æ ç

~ ~)1(

ç ç è

-

ö

4

111

÷

1

110

÷ ÷

3

110

---

ø

æ ç

ç ç è

111

-41

ö

4

÷

110

200

.

÷ ÷

--

ø

Получили треугольную матрицу. Из нее получим треугольную систему (1.15).

Обратный ход. Из последнего уравнения определяем х3 = 1, из второго находим х2 = 1 + х3 = 2, из первого х1 = 4 – х2 – х3 = 4 – 2 – 1 = 1.

Решение системы Х = (1; 2; 1).

Задача 2. Найти одно из базисных решений системы:

19

3x1

x

3

4

-×-

1 x2

1

x

3

2

x

x2

2

=--

4

x

2x

=+++

4

2x2

-=+-+

.

4

3

2x

Так как в системе содержится 3 уравнения и 4 неизвестных, система либо имеет бесчисленное множество решений, либо несовместна. Найдем ранг системы. Составим расширенную матрицу системы и будем приводить ее к треугольному виду методом Гаусса:

ö ÷

4

÷

. (1.16)

-

2

÷ ÷

-

2

1

÷ ø

Так как

æ ç

1

ç

2

ç ç

1

ç è

111

ранг матрицы r = 3, поэтому три не-

122

101

,03

¹-=--=D

1

-

2

1

2

--

1

0

известных

x,2x,1x

можно выбрать базисными, тогда

свободной. Обозначим ее через

x

= С, перенесем в правые части

x

уравнений, тогда система приобретает вид:

x

1 x2

1

x

1

3

2

x2

2

x

3

x

С2

-=++

x

3

С2

+=-

С22

--=-+

. (1.17)

Приведем матрицу системы к диагональному виду:

æ ç

ç ç è

æ ç

ç ç ç

è

-

--

111

122

-

101

-

ö

-

111

310

210

С2

÷ ÷

6

÷ ÷

С2

ø

ö

С4

÷

С22

--

÷ ÷

С2

+

ø

æ ç

ç ç

~~

ç ç

ç è

)1()2(

ö ÷

-

111

---

210

-

300

С2

÷

.

÷

С2

÷

-

÷

6

÷ ø

На последнем этапе поменяли 2 и 3 строку местами. Получим

треугольную систему:

20

будет