Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций. Учебное пособие (практикум)
.pdf
Поставить задачу и решить ее графически. Исследовать модель
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
на чувствительность к изменению параметров.
;16
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
=
а
1
;8
=
а
2
;5
=
а
3
;12
=
а
1
;10
=
а
2
;3
=
а
3
;8
=
а
1
;7
=
а
2
;4
=
а
3
;11
=
а
1
;8
=
а
2
;5
=
а
3
;15
=
а
1
;11
=
а
2
;9
=
а
3
;9
=
а
1
;7
=
а
2
;4
=
а
3
;4
=
b
b
b
b
b
b
b
1
b
2
b
3
b
b
b
b
b
b
b
1
b
b
3
c
1
;7
=
c
2
;9
=
c
3
;3
=
c
1
;5
=
c
2
;6
=
c
3
;3
=
c
1
;6
=
c
2
;9
=
c
3
;3
=
c
1
;4
=
c
2
;9
=
c
3
;4
=
1
;5
=
2
;10
=
3
2
c
;5
=
c
;8
=
c
;16
=
c
;784
=
1
;552
=
2
3
1
2
3
=
=
=
1
2
3
c
c
1
2
3
;567
=
;684
=
;552
=
;558
=
;864
;864
;945
;671
=
;588
=
;423
=
=
1
;865
=
2
=
3
;1431
=
;1224
=
;1328
=
.6;4=b
.2;6=b
.3;2=b
.2;5=b
;1095
;1080
.2;3=b
.2;3=b
;6
2.7.
2.8.
2.9.
=
а
1
;5
=
а
2
;3
=
а
3
;9
=
а
1
;6
=
а
2
;3
=
а
3
;3
=
а
1
;4
=
а
2
;3
=
а
3
;3
=
b
1
b
2
b
3
b
1
b
2
b
3
b
1
b
2
b
3
c
;10
=
c
;12
=
c
;4
=
c
1
;7
=
c
2
;8
=
c
3
;5
=
c
;8
=
c
;11
=
c
;714
=
1
;910
=
2
3
=
=
=
1
2
3
;948
=
;801
;807
;768
;453
=
;616
=
;627
=
.9;3=b
.2;3=b
.9;7=b
51
2.10.
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
;10
=
а
1
;5
=
а
2
;4
=
а
3
;5
=
а
1
;4
=
а
2
;8
=
а
3
;5
=
а
1
;10
=
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
2
;3
=
3
;12
=
1
;7
=
2
;4
=
3
;10
=
1
;8
=
2
;5
=
3
;10
=
1
;11
=
2
;9
=
3
;9
=
b
b
2
b
3
b
1
b
2
b
3
b
1
b
2
b
3
b
1
b
2
b
3
b
1
b
2
b
3
b
b
b
3
c
1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1
2
=
1
;11
c
2
;15
c
3
;2
=
c
1
;7
=
c
2
;8
=
c
3
;4
=
c
1
;5
=
c
2
;6
=
c
3
;3
=
c
1
;6
=
c
2
;9
=
c
3
;2
=
c
1
;4
c
2
;9
c
3
;5
=
c
1
;5
=
c
2
;10
c
3
;1870
=
;1455
=
=
;1815
.6;4=b
;600
;560
;488
.6;4=b
;600
;552
=
;558
=
.2;6=b
;684
;864
;945
.3;2=b
;480
;588
=
;423
=
=
;865
=
=
.2;5=b
;1000
;1080
.2;3=b
;16
2.16.
2.17.
2.18.
=
а
1
;7
=
а
а
а
а
а
2
;4
=
а
3
;6
=
1
;5
=
2
;3
=
3
;16
=
1
;6
=
а
2
;3
=
а
3
;4
=
b
1
b
2
b
3
b
1
=
b
2
=
b
3
b
1
b
2
b
3
c
;8
=
c
;16
=
c
;3
=
c
1
;10
c
2
;12
c
3
;4
=
c
1
;7
=
c
2
;8
=
c
3
;784
=
1
;1224
=
2
=
3
=
=
=
=
=
=
;1328
.2;3=b
;714
;910
;948
.9;3=b
;588
;807
;768
.2;3=b
52
2.19.
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
2.20.
2.21.
2.22.
2.23.
2.24.
;6
=
а
1
;4
=
а
2
;3
=
а
3
;5
=
а
1
;5
=
а
2
;4
=
а
3
;9
=
а
1
;8
=
а
2
;5
=
а
3
;6
=
а
1
;10
=
а
2
;3
=
а
3
;10
=
а
1
;7
=
а
2
;4
=
а
3
;6
=
а
1
;8
=
а
2
;5
=
а
3
;3
=
b
b
b
3
b
1
b
2
b
3
b
1
b
2
b
3
b
b
b
b
b
b
b
1
b
2
b
3
c
1
;8
=
c
2
;11
=
c
;6
=
c
;11
=
c
;15
=
c
;4
=
c
1
;7
=
c
2
;9
=
c
3
;7
=
c
1
;5
=
c
2
;6
=
c
3
;7
=
c
1
;6
=
c
2
;9
=
c
3
;7
=
c
1
;4
=
c
2
;9
=
c
3
;714
=
1
;616
=
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
=
;627
=
;1200
=
;1455
=
;1815
=
;801
=
;552
=
;567
=
;420
=
;552
=
;558
=
;700
=
;864
=
;945
=
;420
;588
=
;423
=
.9;7=b
.6;4=b
.6;4=b
.2;6=b
.3;2=b
.2;5=b
;9
2.25.
2.26.
2.27.
=
а
1
;11
=
а
а
а
а
а
а
а
2
;9
=
а
3
;6
=
1
;7
=
2
;4
=
3
;6
=
1
;5
=
2
;3
=
3
;5
=
b
b
b
3
b
1
b
2
b
3
b
1
b
2
b
3
c
1
2
=
=
=
=
=
=
=
1
;5
=
c
2
;10
c
3
;5
c
1
;8
c
2
;16
c
3
;3
c
1
;10
c
2
;12
c
3
;1260
=
;865
=
;1080
=
;1431
=
;1224
=
;1328
=
;714
=
;910
=
;948
=
.2;3=b
.2;3=b
.9;3=b
53
;12
=
a
=
a
=
a
2.28.
2.29.
2.30.
=
а
1
;6
=
а
2
;3
=
а
3
;15
=
а
1
;4
=
а
2
;3
=
а
3
;7
=
а
1
;5
=
а
2
;4
=
а
3
;3
=
b
b
b
b
b
b
b
1
b
2
b
3
c
1
;7
=
c
2
;8
=
c
3
;4
=
1
3
c
;8
=
c
2
;11
=
c
;8
=
c
;11
=
c
;15
=
c
;684
=
1
;807
=
2
;768
=
3
;600
=
1
;616
=
2
;627
=
3
;1224
=
1
;1455
=
2
;1815
=
3
.2;3=b
.9;7=b
.6;4=b
Рекомендованная литература
1. Шапкин А. С., Шапкин В. А. Математические методы и моде-
ли исследования операций: учебник. – М.: Дашков и Ко, 2012. 400с.
54
ГЛАВА 3
ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ.
РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛОВ
Цель: ознакомить студентов с методикой постановки транс-
портных задач и методом потенциалов их решения.
В результате проработки темы студент должен научиться делать
математическую постановку транспортных задач и освоить метод
потенциалов для их решения.
Формируемая часть компетенции: ПК-11 – знание основных положений, законов и методов естественных наук; способность выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе
профессиональной деятельности, готовность использовать для их
решения соответствующий естественнонаучный аппарат; ОК-12 –
способность использовать основные законы естественнонаучных
дисциплин в профессиональной деятельности.
Актуальность темы: метод потенциалов отличается от других
методов решения задач линейного программирования.
Теоретическая часть
В отличие от других задач линейного программирования (ЗЛП)
транспортные задачи имеют такие особенности:
- распределяются между поставщиками и потребителями толь-
ко однородные ресурсы;
- системой ограничений является система только строгих ра-
венств;
- все переменные выражаются одними единицами измерения;
- матрицы коэффициентов в системах ограничений состоят из
одних единиц;
- в системах ограничений каждая переменная встречается толь-
ко дважды: один раз в ограничениях по поставкам и один раз в
ограничениях по потребностям.
Эти особенности позволяют решать транспортные задачи более
простым, чем симплекс-метод, методом потенциалов, хотя они могут быть решены и симплекс-методом.
55
3.1. Пример постановки транспортной задачи
Потр
е
бители
B
1
B2
В3
В4
A
1 1 2 3 4
120 А2
2 1 5 3
80 А3
8 6 3 1
40 Потре
б
ности
100 70 50 20 240
Задача. Имеется три пункта поставки однородного груза А1, А2,
А3 и четыре пункта потребления груза B1, В2, В3, В4. На пунктах
А1, А2, А3 находится груз соответственно в количестве 120; 80 и
640 т. В пункты B1, В2, В3, В4 требуется доставить соответственно
100; 70; 50: 20 т груза. Затраты на перевозку 1 т груза между пунк-
тами поставки и пунктами потребления приведены в матрице С (в
тыс. руб.):
4
С
æ
ç
=
С
ç
ç
è
ССС
131211
С
ССС
232221
С
ССС
333231
æ
ö
14
ç
÷
=
ç
÷
24
ç
÷
34
è
ø
где Cij – стоимость перевозки 1 т груза от поставщика с номером
i (i = 1; 2; 3) к потребителю с номером j (j = 1; 2; 3; 4). Найти такой
план закрепления потребителей за поставщиками, чтобы общие затраты по перевозкам груза были минимальными.
Сначала сформулируем постановку задачи. Данные задачи запишем в виде матрицы (таблицы) перевозок:
321
ö
÷
3
512
, (3.1)
÷
÷
1
368
ø
Базы
Запасы
В верхнем углу каждой клетки проставлены тарифы, взятые из
матрицы С – технологической матрицы перевозок.
Тариф C1j – это величина, равная (или пропорциональная) стоимости перевозки единицы груза из данного пункта отправления A1 в
указанный пункт назначения Вj.
Введем переменные. Обозначим xijт – величину поставки от базыпоставщика i (i = 1, 2, 3) потребителю j (j = 1, 2, 3, 4); Z (тыс. руб.) –
общая стоимость всех перевозок. Матрица неизвестных {xij}, где
i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4 называется планом перевозок. Очевидно, поставки х
³ 0, они вписываются в клетки матрицы перевозок.
ij
56
Нужно найти оптимальный план перевозок, при котором общая
=++
+
+×+×+×+×=
стоимость перевозок Z – целевая функция – минимальна.
Проверяем сбалансированность данных задачи: сумма всех запасов (120 + 80 + 40) = 240 равна сумме всех потребностей (100 + 70 +
50 + 20) = 240. Модель такой ЗЛП называется закрытой.
Замечание. Если модель ТЗЛП оказалась открытой, то ее «закрывают» введением фиктивного поставщика или потребителя с
недостающим объемом груза и нулевыми тарифами.
Вписывая мысленно хij в клетки таблицы, выпишем ограничения:
а) по запасам:
14131211
24232221
34333231
,120xxxx
,80xxxx
=+++
=+++
(3.2)
,40xxxx
б) по потребностям:
=++
312111
322212
=++
332313
342414
,100xxx
,70xxx
=++
(3.3)
,50xxx
.20xxx
=++
Целевая функция имеет вид:
x4x3x2x1Z
14131211
x3x5x1x2
+×+×+×+×+
24232221
®×+×+×+×+
34333231
(3.4)
.minx1x3x6x8
Так как (3.2), (3.3), (3.4) – линейные соотношения, поставленная
транспортная задача тоже является задачей линейного программирования.
3.2. Составление опорного плана
Составим первоначальный опорный план поставок методом минимального тарифа по всей матрице перевозок. Просматривая та-
рифы по всей матрице, находим наименьший. Их в таблице 3.1 оказалось три: С11 = С22 = С34 = 1. Поэтому заполнение таблицы начнем
57
с любой из клеток: (1;1), (2;2) или (3:4). В каждую из клеток вписы-
β1 = 1
β2 = -1
β3 = 3
β4 = 1
100
1 2
20
+ 3
4
+
2
70
1
10 – _
5
3
8 6
20
3 20 1
Потребн
о
сти 100 70 50 20 240
ваем максимально возможную поставку с учетом запасов и потребностей (таблица 3.1). Ставим в клетку (1.1) поставку, равную 100, в
клетку (2,2) – поставку 70 и в клетку (3,4) – поставку 20.
Ищем в матрице следующие по величине тарифы. В клетке (1,2)
С12 = , но поставку сюда ставить нельзя, т. к. потребности B2 полностью удовлетворены. То же самое можно сказать и о клетке (2,1),
где С21 = 2. Далее отыскиваем С23 = С24 = С33 = 3. В клетку (1,3) ставим поставку 20, т. к. в запасе у поставщика А1 осталось 20 единиц
груза. В клетку (3,3) ставим поставку 20, т. к. у поставщика А3 осталось всего 20 единиц груза. В клетку (2,4) поставку ставить нельзя,
т. к. спрос потребителя В4 удовлетворен полностью. Остается неудовлетворенным спрос потребителя В3 в размере 10 единиц. Эту
поставку ставим в клетку (2,3), т. к. у поставщика А2 есть в запасе
необходимое количество груза.
Таблица 3.1
Потребители
Базы
В1
В2
В3
В4
Запасы
α1 = 0; А1
α2 = 0; А2
α3 = 0; А3
120
80
40
Для контроля проверим сбалансированность поставок по всем
строкам и столбцам (базам и потребителям): по первой строке
(120 + 20) = 120, по второй строке (70 + 10) = 80 и т. д.
Подсчитаем количество заполненных клеток в таблице 3.1. Любому опорному плану должно соответствовать ровно (m + n–1) заполненных клеток, где m – количество поставщиков (строк), n – количество потребителей (столбцов). Если заполненных клеток окажется
меньше, чем (m + n–1), то такой план называется вырожденным.
В нашей задаче m + n–l = 3 + 4–l = 6, где m = 3 – количество поставщиков, n = 4 – количество потребителей. Заполненных клеток в таблице 3.1 также оказалось 6, следовательно, план невырожденный.
58
Замечание. Если план окажется вырожденным, т. е. заполненных
4
8 6
клеток будет меньше чем 6, то их количество нужно довести до 6,
проставляя в некоторые пустые клетки нулевые поставки. Желательно помещать нулевую поставку в клетку с наименьшим тарифом, но при этом обязательно так, чтобы она не образовала с ранее
заполненными клетками замкнутый цикл. В результате заполненных клеток должно оказаться ровно (m + n–1).
В итоге приходим к первому опорному плану, помещенному в
таблице 3.1. Из таблицы видно, что x11 = 100; x13 = 20; x22 = 70; x23 =
10; x33 = 20; x34 = 20.
Пустым клеткам соответствуют переменные xij, равные нулю,
что указывает на отсутствие поставок.
Стоимость перевозок, соответствующая первому опорному плану, определяется с помощью тарифов:
Z = 1∙100 + 3∙20 + 1∙70 + 5∙10 + 3∙20 + 1∙20 = 360 (тыс. руб.).
Другим методом составления первого опорного плана является
метод северо-западного угла, когда заполнение матрицы перевозок
начинается с клетки (1;1), куда вписывается максимально возможная поставка, а затем заполняется соседняя клетка по строке или
столбцу в зависимости от запасов и потребностей груза и т. д., пока
не дойдем до последней клетки (таблица 3.2).
Таблица 3.2
Потребители
Базы
А1 100
В1 В2 В3 В4
1
2 3
20
Запасы
120
А2
А3
1
50
5
30
80
3
20 3 20 1 40
2
Потребности 100 70 50 20 240
Этот метод не учитывает тарифов перевозок, и поэтому получается, как правило, план, далекий от оптимального. В частности указанный план дает стоимость перевозок Z = 420 тыс. руб. Свое
название описанный метод получил оттого, что положение клетки
(1;1) соответствует северо-западу на географической карте.
59
3.3. Решение задачи методом потенциалов
£
Составляется для
Составляется для
1. Введем вспомогательные величины, называемые потенциалами: αi – потенциалы поставщиков (строк), βj – потенциалы потребителей (столбцов).
Проставим буквенные обозначения для потенциалов поставщи-
ков – слева в таблице 3.1 (αi); потребителей – сверху в таблице 3.1
(βj).
2. Потенциалы вычисляются из условия: αi + βj = Cij – для заполненных клеток, где Сij – тарифы этих клеток. В нашей задаче:
=b+a
ì
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
î
3. Значение одного из потенциалов выбираем произвольно.
Например, α1 = 0. Тогда значения остальных потенциалов легко
найдутся из указанной системы: β1 = 1; β3 = 3; α1 = 2; α3 = 0; β3 = -1;
β4 = 1. Эти значения потенциалов проставим в таблице 3.1 сверху и
слева.
4. Проверим план на оптимальность. Оптимальный план должен
удовлетворять условию: αi + β
Проверяем все пустые клетки:
клетка (1;2) 0 + (-1) < 2;
клетка (1;4) 0 + 1 < 4;
клетка (2;1) 2 + 1 > 2;
клетка (2;4) 2 + 1 = 3;
клетка (3;1) 0 + 1 < 8;
клетка (3;2) 0 + (-1) < 6;
Как показывают вычисления, для клетки (2;1) условие оптимальности не выполняется, следовательно, план не оптимален и его
нужно улучшать. Для этого загружаем «неоптимальную» клетку
(2;1) (или одну из них, если их несколько) за счет перераспределения груза в других клетках.
,1
11
=b+a
31
32
33
43
,3
=b+a
22
,1
=b+a
,5
=b+
,3а
=b+
.1а
Cij – для пустых клеток.
j
заполненных клеток!
пустых клеток!
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]