Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Исследование операций. Учебное пособие (практикум)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 189 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Z(X)

= 4x1 + 13x2 + 3x3

Z(X)

= 9x1 + 2x2 + 4x3-

Z(X)

= x1 + x2 + 3x3

®min,

-=+-+-

,xxxx

ì í î

³0, j = 1,2,3,4

1235

4321

=-+-

,xxxx

63249

4321

í î

®max,

³0, j = 1,2,3,4

=-++

,xxxx

127234

4321

=-++

,xxxx

4422

4321

í î

³0, j = 1,2,3,4

Z(X) = 11x2 + x3 + 4x

í î

³0, j = 1,2,3,4

®min,

Z(X) = x1-2x2-x3 + 3x

=-+-

,xxxx

2265

4321

=-+-

,xxxx

2521411

4321

min,

=-+-

,xxxx

154

4321

=-+-

,xxxx

11231111

4321

í î

Z(X) = 2x1 + x2-x3-2x

í î

³0, j = 1,2,3,4

®max,

=+-+-

4321

=-++

4321

Контрольные вопросы

1. В чем заключается симплекс-метод задачи линейного про-

граммирования?

2. В какой форме необходимо сделать постановку задачи, если

применять для ее решения симплекс-метод?

3. Как получить опорное решение задачи линейного программи-

рования для дальнейшего ее решения симплекс-методом?

4. В чем геометрический смысл симплекс-метода?

5. Как строится опорное решение ЗЛП методом искусственного

базиса?

6. Сформулируйте последовательность этапов практической ре-

ализации симплекс-метода.

7. Как заполняется исходная симплекс-таблица для решения за-

дачи линейного программирования?

8. Как найти ключевой элемент в исходной симплекс-таблице?

9. Каков алгоритм перехода от одного базиса к другому в поис-

ках оптимального решения задачи?

10. Каков признак оптимального решения в заключительной сим-

плекс-таблице?

=+-+-

min,

=+-+

,xxxx

224

,xxxx

10266

,xxxx

632

,xxxx

ЗАДАНИЯ

(варианты 1–30)

Решить симплекс-методом варианты задания 2 главы 2 и сравнить ответы с полученными ранее результатами графического решения этих заданий.

Рекомендованная литература

1. Исследование операций в экономике: учебное пособие для бакалавров / Н. Ш. Кремер и др.; под ред. Н. Ш. Кремера. 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Юрайт, 2012. 430 с.

2. Шапкин А. С., Шапкин В. А. Математические методы и модели исследования операций: учебник. – М.: Дашков и Ко, 2012. 400 с.

3. Адамчук А. С., Амироков С. Р., Додонова И. В. Матричные модели и игры в экономике: учебное пособие. – Ставрополь: СевКавГТУ, СФЭИ, 2005. – 158 с.

ГЛАВА 5

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Цель: ознакомить студентов с методикой постановки двойственных задач линейного программирования и методам их решения, с методами решения задач с условием целочисленности результатов.

В результате проработки темы студент должен научиться проводить экономико-математическую интерпретацию результатов по итоговой симплекс-таблице.

Формируемые компетенции: ПК-11 – знание основных положений, законов и методов естественных наук; способность выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, готовность использовать для их решения соответствующий естественнонаучный аппарат; ОК-12 – способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности.

Актуальность темы: двойственные задачи позволяют проводить качественное исследование математических моделей.

Теоретическая часть

Каждой задаче линейного программирования соответствует другая задача, называемая двойственной или сопряженной по отношению к исходной. Теория двойственности оказалась важным инструментом для качественных исследований и экономико-математической интерпретации результатов решения задач линейного программирования.

5.1. Экономическая интерпретация задачи

двойственной задаче об использовании ресурсов

В гл. 2 рассмотрена задача об использовании ресурсов (экономико-математическая модель и содержательная интерпретация задачи

I представлены в левой части табл. 5.1). В приведенной модели

bi (i = 1, 2, …, m) обозначает запас ресурса Si; αij − число единиц ре-

...min

=+++®

11121211

+++³

ayayayc

...max

=+++®

...min

=+++®

сурса Si , потребляемого при производстве единицы продукции Pj (j = 1, 2, …, n) ; cj − прибыль (выручка) от реализации единицы

продукции Pj (или цена продукции Pj).

Предположим, что некоторая организация решила закупить ресурсы S1, S2, …, Sm предприятия и необходимо установить оптимальные цены на эти ресурсы y1, y2, …, ym.

Очевидно, что покупающая организация заинтересована в том, чтобы затраты на все ресурсы Z в количествах b1, b2, …, bm по ценам соответственно y1, y2, …, ym были минимальны, т. е.

Zbybyby

1122

С другой стороны, предприятие, продающее ресурсы, заинтересовано в том, чтобы полученная выручка была не менее той суммы, которую предприятие может получить при переработке ресурсов в готовую продукцию. На изготовление единицы продукции P1 расходуется α11 единиц ресурса S1, α21 единиц ресурса S2, …, αj1 единиц ресурса Sj, …, αm1 единиц ресурса Sm по цене соответственно y1, y2, …, yj, …, ym. Поэтому для удовлетворения требований продавца затраты на ресурсы, потребляемые при изготовлении единицы продукции P1, должны быть не менее ее цены c1, т. е.

...

Аналогично можно составить ограничения в виде неравенств по каждому виду продукции P1, P2, …, Pn. Экономико-математическая модель и содержательная интерпретация полученной таким образом двойственной задачи II приведены в правой части табл. 5.1.

Таблица 5.1

Задача I (исходная) Задача II (двойственная)

Fcxcxcx

1122

при ограничениях:

Zbybyby )

1122

при ограничениях:

21122222

...,

..........

+++£

mmmnnm

axaxaxb

0,0,...,0.

³³³

(

)

Xxxx

111212111

121222222

...,

..........

+++³

nnmnmn

ayayayc

0,0,...,0.

³³³

(

)

Yyyy

axaxaxb

11112211

ï ï í

ï ï

+++£

........................................

+++£

1122

...

и условии неотрицательности:

xxx

Составить такой план выпуска продукции

,,...,=

при котором прибыль (выручка) от реализации продукции будет максимальной при условии, что потребление ресурсов по каждому виду продукции не превзойдет имеющихся запасов

ì ï

í ï ï

и условии неотрицательности:

yyy

Найти такой набор цен (оценок) ресурсов

котором общие затраты на ресурсы будут минимальными при условии, что затраты на ресурсы при производстве каждого вида продукции будут не менее прибыли (выручки) от реализации этой

+++³

........................................

1122

...

,,...,=

, при

продукции

Цены ресурсов y1, y2, …, ym в экономической литературе называются учетными, неявными, теневыми. Смысл этих названий состоит в том, что это условные, «ненастоящие» цены. В отличие от «внешних» цен c1, c2, …, cn на продукцию, известных, как правило, до начала производства, цены ресурсов y1, y2, …, ym являются внут- ренними, ибо они задаются не извне, а определяются непосредственно в результате решения задачи, поэтому их чаще называют оценками ресурсов.

5.2. Пример выполнения задания

Задача. Пусть задана математическая модель в стандартном ви- де задачи линейного программирования:

12x1 + 3x2 ≤ 264;

4x1 + 5x2 ≤ 136; (5.1)

3x1 + 14x2 ≤ 266;

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0,

Z = 6x1 + 4x2→МАХ.

РЕШЕНИЕ

Составим по модели (5.1) математическую модель двойственной задачи. Для этого выпишем расширенную матрицу задачи (5.1):

x1 x2 св.ч.

÷ ÷

046

(5.2)

.ч.св

А =

æ ç

ç ç ç

ç è

264312

13654

266143

Математические модели взаимно-двойственных задач связаны между собой по правилам:

1) одна из задач содержит столько неравенств-ограничений (или

равенств), сколько неизвестных у другой;

2) расширенные матрицы обеих задач транспонированы по от-

ношению друг к другу;

3) одна задача имеет ограничения (£) и целевую функцию на

максимум, а другая – ограничения (³) и целевую функцию на ми- нимум;

4) свободные члены системы ограничений и коэффициенты це-

левой функции меняются местами;

5) каждому ограничению-неравенству соответствует неотрица- тельная двойственная переменная, а равенству – переменная без ограничения знака, и наоборот.

Из (5.2) получаем двойственную задачу в виде:

6u3u4u12

³++

321

4u14u5u3

³++

321

(5.3)

minu266u136u264L

®++=

321

.0u,0u,0u

³³³

321

Двойственная задача линейного программирования имеет простой экономический смысл. В исходной задаче неравенства описывали ограничения по ресурсам, и требовалось найти план, обеспечивающий максимум прибыли при заданных нормах расхода каждого ресурса на изделие.

В двойственной задаче переменные u1 имеют смысл оптимальных цен единицы каждого ресурса. Ограничения означают, что стоимость сырья, израсходованного на единицу изделия j (j = 1,2), должна обес-

печивать его продавцу прибыль не менее, чем прибыль от продажи единицы этого изделия. Цель заключается в том, чтобы общая стоимость ресурсов была минимальной с точки зрения покупателя.

Таким образом, двойственная задача заключается в определении оптимальных оценок (условных цен) единицы каждого ресурса при условии минимальной суммарной стоимости ресурсов.

Справедливы две теоремы двойственности.

Первая (основная) теорема. Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая его имеет, причем значения их целевых функций для оптимальных решений совпадают. Если одна из двойственных задач не имеет оптимального решения, то двойственная ей задача противоречива.

Из основной теоремы двойственности вытекает, что существование оптимальных решений двойственных ЗЛП гарантируется наличием хотя бы одного допустимого плана для каждой из двойственных задач, причем оптимальные значения целевых функций совпадут.

Отсюда следует, что решение обеих двойственных задач симплекс-методом можно совместить в одних симплекс-таблицах. Кроме того, зная решение одной из двойственных задач, можно найти решение другой задачи, пользуясь второй теоремой двойственности.

Вторая теорема двойственности. Для оптимальных решений пары симметричных двойственных задач выполняются две группы сопряженных условий:

где xi и uj – основные и двойственные переменные, а νi и νj – дополнительные выравнивающие переменные (искусственный базис двойственной и исходной задач соответственно).

В нашем примере:

Получаем из (5.4) и (5.5) систему:

, (5.4)

0yu

, (5.5)

++-=n

),u3u4u12(6

3211

).u14u5u3(4

3212

(5.6)

,0)u3u4u126(x

=--

(

)

=---×

3211

,0)u14u5u34(x

=---×

3212

,0)x3x12264(u

=--×

211

,0)x5x4136(u

=--×

212

=--×

213

(5.7)

.0)x14x3266(u

Подставим в (5.7) найденные выше х1 = 19, х2 = 12, для двойственных переменных, получим систему линейных алгебраических уравнений:

,0u3u4u126

321

,0u14u5u34

=---

321

,0u225

(5.8)

решая которую, находим решение двойственной задачи:

min

,0u,

===

321

.162L

5.3. Модель ценообразования

Задача 2. Рассмотрим модель ценообразования, которая базиру- ется на балансе спроса и предложения.

Пусть имеем m технологических процессов. Каждый из них описывается вектором

каждую единицу интенсивности j-го технологического процесса. Пусть j-й процесс требует на каждую единицу интенсивности процесса

С единиц труда. Задача состоит в том, чтобы найти интен-

сивности z1, z2,…,zm:

,...,aa , где ija – выпуск i-го продукта на

njij

£a++a+a

Технологические

Необходимый

Продукт 1

1 1 2 21

Продукт 2

2 1 1 12

Затраты труда с

31 11 12

ï ï

ï í

ï ï ï

³a++a+a

;bz...zz

1mm1212111

³a++a+a

;bz...zz

2mm2222121

......................................................

(5.9)

³a++a+a

,bz...zz

nmnm22n11n

где bi – необходимый выпуск i-го продукта, i = 1,…,n. При этом общие затраты труда должны быть минимальными:

с1z1 + c1z2 + … + cmzm→min. (5.10)

Определение оптимальных цен продуктов основывается на решении задачи, которая является двойственной к задачам (5.9) – (5.10).

Пусть Цi – цена единицы i-го продукта, тогда двойственная задача имеет вид:

ï ï

ï í

ï ï

212

222

m22

111

121

m11

Ц...

nmn

;1c

£a++a+a

;2c

..................................................................

£a++a+a

(5.11)

;

b1Ц1 + b2Ц2 + … + bnЦn→max. (5.12)

Экономическая интерпретация двойственной задачи: стоимость выпуска продукции в каждом технологическом процессе не должна превышать затраты труда (условие (5.11)). Общий выпуск продукции максимизируется (условие (5.12)).

Рассмотрим пример ценообразования по двойственной задаче.

Пусть n = 2, m = 3 и матрица

Прямая задача: минимизация затрат труда:

процессы

имеет вид (табл. 5.2).

z2 z3

К = 31Z1 + 11Z2 + 12Z3→min,

Таблица 5.2

выпуск b

при ограничениях:

z1 + z2 + 2z3 ≥ 21; 2z1 + z2 + z3 ≥ 12.

Решение задачи: z1 = 0; z2 = 3; z3 = 9, К = 141.

Двойственная задача: максимизация выпуска:

W = 21Ц1 + 12Ц2→max,

при ограничениях:

Ц1 + 2Ц2 ≤ 31; Ц1 + Ц2 ≤ 11; 2Ц1 + Ц2 ≤ 12.

Решение задачи: z1 = 0; z2 = 3; z3 = 9; W = 141.

Таким образом, К = W, что соответствует теории двойственности.

УПРАЖНЕНИЯ

Задание 1. Сформулировать двойственную задачу и решить ее (таблица 5.3).

Таблица 5.3

Варианты задания 1

№ Задача №

Z(X) = x1 + 4x2 + x

ï í

ï î

Z(X) = 2x1 + x2-x

ï í

ï î

Z(X) = x1-x2 + x

ï í

ï î

³0, j = 1,2,3

max,

=++-

,xxx

321

£++

,xxx

923

321

³++

,xxx

632

321

³-+

321

£+-

£++ =+-

max,

³++

=++-

244

min,

,xxx

624

,xxx

Z(X) = -2x1-2x2-2x

ï í

ï î

Z(X) = -3x1-2x2-2x

Z(X) = -2x1 + 8x2 + 3x

ï í

ï î

³0, j = 1,2,3

ì ï

í ï

³0, j = 1,2,3

Задача

£+

321

min,

£++

,xxx

321

=+-

,xxx

321

³++

623

321

min,

³++

,xxx

321

,xx

-=--

321

³++

1223

321

=++

,xxx

-³+-

321

,xxx

832

min,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 189 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]