Исследование операций. Учебное пособие (практикум)

6.4. Использование методов теории игр

ε1

ε2

ε3

А1 53 63 77

А2 67 77 87

А3 17 27 97

ε1

ε2

ε3

αi

βi

γi

А2 67 77 87 67 87 77

(

)

(

)

aaa

a

(

)

(

)

bbb

в предпринимательской деятельности

Рассмотрим проблему уценки неходового товара, имея цель: получить возможно большую выручку от реализации. Предположим, что эластичность спроса в зависимости от цены неизвестна, т. е. неясно, как отреагирует рынок на то или иное снижение цены. Иными словами, нужно принять решение в условиях неопределенности. В таком случае можно использовать методы теории игр. Обозначим А1, А2, …, Аm – стратегии снижения цены на товар на α1%, α2%, …, αm% соответственно. Возьмем достаточно подробный перечень возможных значений эластичности: ε1, ε2, …, εn. Если выбрать определенную стратегию Аi и знать эластичность товара εj, используя еще некоторые, обычно известные величины, можно подсчитать выручку от реализации товара αij. Проделав это для всех Аi и для всех εj, получим платежную таблицу.

Повторить критерии оптимальности, применяющиеся в задачах «игр с природой» (крайнего пессимизма, крайнего оптимизма, пессимизма-оптимизма и др.)

Пример 4. Пусть таблица для уценки товара имеет вид:

РЕШЕНИЕ

Выберем по каждой строке минимальное из чисел αi, максимальное βi, а затем вычислим их полусумму γi и получим:

А1 53 63 77 53 77 65

А3 17 27 97 17 97 57

b

321

101

6717,67,53max,,max

===

,

9797,87,77max,,max

===

,

(

)

(

)

7757,77,65max,,max

g

===

ggg

321

.

Так как α = 67, и это число находится в строке, соответствующей A2, то A2 – стратегия крайнего пессимизма, ожидаемый выигрыш

равен 67 единиц. Так как β = 97, и это число находится в строке, соответствующей A3, то A3 – стратегия крайнего оптимизма, ожидаемый выигрыш равен 97 единиц. Так как γ = 77, и это число находится в строке, соответствующей A2, то A2 – стратегия оптимизмапессимизма, ожидаемый выигрыш равен 77 единицам.

УПРАЖНЕНИЯ

Задание 1. Решить игру, если задана платежная матрица:

8 6 4

ö

æ

÷

ç

=

P . Ответ: υ = 7; (А

8 7 8

÷

ç

÷

ç

6 6 7

ø

è

3;В1

).

Задание 2. Решить игру, если задана платежная матрица:

8 6 4

ö

æ

÷

ç

=

P . Ответ: υ = 7; (А

7 7 9

÷

ç

÷

ç

8 6 7

ø

è

; В2).

2

Задание 3. Решить игру, если задана платежная матрица:

7 5 3

ö

æ

÷

ç

=

P . Ответ: υ = 6;(А

6 6 8

÷

ç

÷

ç

7 5 6

ø

è

), υ = 6;(А2;В2).

2;В2

Задание 4. Решить игру, если задана платежная матрица:

2 5 7

æ ç

=

P . Ответ: υ = 5; (А

ç ç

è

ö ÷

1 6 7

÷ ÷

5 6 10

ø

; В2)

1

Задание 5. Решить игру, если задана платежная матрица:

-

2 5 3

æ ç

=

P . Ответ: υ = 6; (А

ç ç

è

ö ÷

1 7 2

÷ ÷

5 2 10

ø

; В2).

3

102

ЗАДАЧИ

(варианты 1–30)

Из таблицы случайных чисел выберите свой вариант числа δ (номер варианта предлагает преподаватель):

Последняя цифра варианта

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 535 551 591 521 548 552 516 553 517

1 592 502 578 505 571 541 561 534 547 562

2 533 549 532 591 501 584 504 567 577 509

варианта

первая цифра

Предпоследняя

3 515 560 514 570 550 522 572 546 527 559

Выберите стратегии с позиций крайнего пессимизма, крайнего оптимизма и оптимизма-пессимизма для платежной матрицы своего варианта.

Контрольные вопросы

1. Что такое игра, матрица, цена игры, седловая точка?

2. Что понимают под принципом минимакса, максимина?

3. Что представляют собой смешанные стратегии игроков?

4. Изложите графический метод решения игр 2×n.

5. Что такое «игра с природой»?

6. Сформулируйте основные критерии оптимальности.

ЗАДАНИЯ

(варианты 1–30)

Задание 1. Игрок А записывает одно из трех чисел: а, в или с, игрок В − одно из трех чисел: m, n или p. Если числа одинаковой четности, то А выигрывает, и выигрыш равен сумме этих чисел, если четности выбранных игроками чисел не совпадают, то В выигрывает, выигрыш равен сумме этих чисел. Построить платежную матрицу игры, определить нижнюю и верхнюю цены игры и проверить наличие седловой точки. Решить игру.

103

1.1. а = 1; b = 2; c = 5; m = 2; n = 4; p = 3; 1.2. a = 3;b = 2; c = 7; m = 1; n = 5; p = 4;

1.3. а = 2; b = 3; c = 5; m = 2; n = 4; p = 3; 1.4. a = 1;b = 2; c = 5; m = 1; n = 7; p = 4;

1.5. а = 3; b = 1; c = 6; m = 3; n = 4; p = 7; 1.6. a = 3;b = 4; c = 7;

m = 7; n = 3; p = 4; 1.7. а = 5; b = 2; c = 6; m = 1; n = 2; p = 3; 1.8. a = 4;b = 2; c = 5; m = 6; n = 5; p = 2;

1.9. а = 5; b = 7; c = 8; m = 2; n = 7; p = 3; 1.10. a = 1;b = 2; c = 3; m = 9; n = 5; p = 4;

1.11. а = 6; b = 2; c = 5; m = 1; n = 4; p = 5 .1.12. a = 3;b = 8;

c = 7; m = 2; n = 5; p = 4;

1.13.а = 1; b = 8; c = 5; m = 3; n = 4; p = 6; 1.14. a = 3;b = 2;

c = 1; m = 2; n = 5; p = 4;

1.15. а = 3; b = 2; c = 5; m = 7; n = 4; p = 3; 1.16. a = 2;b = 5;

c = 7; m = 3; n = 5; p = 1;

1.17. а = 1; b = 9; c = 2; m = 3; n = 4; p = 5; 1.18. a = 3;b = 4;

c = 7; m = 3; n = 5; p = 4;

1.19. а = 1; b = 2; c = 5; m = 2; n = 4; p = 3; 1.20 a = 3;b = 2;

c = 7; m = 1; n = 5; p = 4;

1.21. а = 1; b = 2; c = 5; m = 2; n = 4; p = 3; 1.22. a = 3;b = 2;

c = 7; m = 1; n = 5; p = 4;

1.23.а = 1; b = 2; c = 5; m = 2; n = 4; p = 3; 1.24. a = 3;b = 2;

c = 7; m = 1; n = 5; p = 4;

1.25. а = 1; b = 2; c = 5; m = 2; n = 4; p = 3; 1.26. a = 3;b = 2;

c = 7; m = 1; n = 5; p = 4;

1.27. а = 1; b = 2; c = 5; m = 2; n = 4; p = 3; 1.28. a = 3;b = 2;

c = 7; m = 1; n = 5; p = 4;

1.29. а = 1; b = 2; c = 5; m = 2; n = 4; p = 3; 1.30. a = 3;b = 2;

c = 7; m = 1; n = 5; p = 4.

104

Задание 2. Решить игру при помощи задачи линейного програм-

æö

ç÷

èø

213

1.412;

103

æö

ç÷

èø

2365

2.1273;

5430

æö

ç÷

èø

2312

3.3523;

1241

æö

ç÷

èø

111

4.222;

333

æö

ç÷

èø

312

5.241;

576

æö

ç÷

èø

456

6.732;

218

æö

ç÷

èø

1342

7.1481;

61210

æö

ç÷

èø

113

8.524;

375

æö

ç÷

èø

213

9.122;

035

æö

ç÷

èø

2645

10.5362;

7213

æö

ç÷

èø

2130

11.2415;

5743

æö

ç÷

èø

3421

12.5203;

0354

æö

ç÷

èø

113

13.524;

340

æö

ç÷

èø

2415

14.1132;

5240

æö

ç÷

èø

2314

15.3241;

4102

мирования:

2.

-

--

-

2.

-

2.

-

2.

-

2.

-

2.

-

--

105

2.

æö

ç÷

èø

426

16.824;

206

æö

ç÷

èø

461210

17.24146;

10860

æö

ç÷

èø

4624

18.61046;

2482

æö

ç÷

èø

222

19.444;

666

æö

ç÷

èø

624

20.482;

101412

æö

ç÷

èø

81012

21.1464;

4216

æö

ç÷

èø

2684

22.28162;

122420

æö

ç÷

èø

226

23.1048;

61410

æö

ç÷

èø

426

24.244;

0610

æö

ç÷

èø

412810

25.106124;

14426

æö

ç÷

èø

4260

26.48210;

101486

æö

ç÷

èø

6842

27.10406;

06108

æö

ç÷

èø

226

28.1048;

680

æö

ç÷

èø

48210

29.2264;

10480

2.

--

-

2.

-

2.

-

2.

-

2.

-

2.

-

2.

-

2.

-

106

-

æö

ç÷

èø

4628

30.6482.

8204

æö

ç÷

èø

31264

1.;

56421

æö

ç÷

èø

210

15

2.;

48

72

121

æö

ç÷

èø

7154211

3.;

327132

æö

ç÷

èø

205

913

4.;

316

154

618

æö

ç÷

èø

314

113

5.;

47

76

211

æö

ç÷

èø

954121

6.;

54736

æö

ç÷

èø

103

113

7.;

315

514

162

æö

ç÷

èø

31965

8.;

564211

2.

--

Задание 3. Пусть игра задана платежной матрицей. Найти реше-

ние игры графически:

3.

107

3.

æö

ç÷

èø

301122927

9.;

152042214

æö

ç÷

èø

123

115

10.;

413

172

214

æö

ç÷

èø

17121598

11.;

98111419

æö

ç÷

èø

614

430

12.;

148

264

422

æö

ç÷

èø

1220

1015

13.;

1418

1712

2211

æö

ç÷

èø

101711156

14.;

15918720

æö

ç÷

èø

157.5

5.510

15.;

112

4.511

13.57

æö

ç÷

èø

327144

16.;

7154513

æö

ç÷

èø

1311121614

17.;

1516141211

æö

ç÷

èø

420

210

18.;

816

144

242

3.

108

3.

æö

ç÷

èø

4.57.5215.5

19.;

1.513.56.51

æö

ç÷

èø

227

1115

20.;

518

176

820

æö

ç÷

èø

415

124

21.;

58

87

312

æö

ç÷

èø

845122

22.;

42838

æö

ç÷

èø

51.5

0.56

23.;

1.57.5

27

86

æö

ç÷

èø

6109610

24.;

1016424

æö

ç÷

èø

131122620

25.;

5241412

æö

ç÷

èø

62

51

26.;

26

91

17

æö

ç÷

èø

86724

27.;

43579

æö

ç÷

èø

38

212

28.;

74

122

111

3.

109

æö

ç÷

èø

610

29.;

æö

ç÷

èø

58333

30.;

729810

æö

ç÷

èø

300200200200

200100300400

1.;

400300100150

30020050100

æö

ç÷

èø

10050200150

100150200250

2.;

100200150150

150200250200

æö

ç÷

èø

75100175125

3.;

12515010075

507512575

æö

ç÷

èø

с 2с 3с 2с

с 3с 2сс

4.;

с 4с 3с

с 3с 2с

æö

ç÷

èø

с 3с

22

с 5с

22

5.;

с 2с

с 3с

22

æö

ç÷

èø

с 7с 5с

222

с 5с 3с

222

6.;

с 5с

22

с 3с

22

58

3.

79

3.

96

113

Задание 4. Пусть G = (X,Y,A), где X = {1,2,3,4}; Y = {1,2,3,4}. Найти оптимальные стратегии X,Y для игроков 1 и 2, найти решение игры G. Функция выигрыша А задана платежной матрицей

(c>0):

4.

с 2с

3

с 2с

4.

с 5с

2

22

с 2с

3

4.

2

4

3с

2

с

2

3

2с

3

с

7

2с 3с

5

3с 2с

110