Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Исследование операций. Учебное пособие (практикум)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Z(X) = 5x1 + 2x2 + x

ï í

ï î

³0, j = 1,2,3

Z(X) = x1-8x2-3x

ï í

ï î

³0, j = 1,2,3

³++

321

max,

,xxx

=++

,xxx

422

321

£++

,xxx

12243

321

=++

321

max,

³++

,xxx

-£+-

,xxx

623

,xxx

Z(X) = 6x1 + 7x2 + 9x

ï í

ï î

Z(X) = 5x1 + 2x2 + x

ï í

ï î

321

=++-

321

³0, j = 1,2,3

=++

321

³++

321

³0, j = 1,2,3

³++

,xxx

£-+

522

-³+--

,xxx

12223

min,

,xxx

max,

,xxx

Задание 2. В заданиях 2.1–2.4 методом Гомори (или методом ветвей и границ) найти оптимальные решения задач целочисленного линейного программирования. Дать геометрическую интерпретацию процесса решений задач.

2.1. maxx2x3Z

®+= 2.2. minx7x5Z

®+=

при ограничениях: при ограничениях:

£+

ì ï í ï

,13xx

£-

,6xx

-21x,x целые числа. -21x,x целые числа.

£+-

,9xx3

,0x,0x

³³

ì ï í ï

£+-

,78x14x3

£-

,26x6x5

³+

³³ xx

,25x4x

,0,0

2.3. maxxx2Z

®+= 2.4. minxx6Z

®+=

при ограничениях: при ограничениях:

³+

ì ï í ï

-21x,x целые числа. -21x,x целые числа.

,24x4x6

£+-

,9x3x3

³+-

,3x3x

,0x,0x

³³ ,0x,0x

ì ï í ï

³-

£+

³+-

³³

,9xx3

,50x3x2

,18x41x

Контрольные вопросы

1. Дайте характеристику двойственных ЗЛП.

2. Сформулируйте алгоритм составления двойственной задачи.

3. Сформулируйте основные теоремы теории двойственности.

4. Каков экономический смысл теории двойственности?

5. Что называют объективно обусловленными оценками?

6. Чем отличаются задачи целочисленного программирования,

от других ЗЛП?

7. В чем суть метода ветвей и границ?

8. В чем состоит метод Гомори?

9. Сколько оптимальных решений может иметь задача целочис-

ленного программирования?

ЗАДАНИЯ

(варианты 1–30)

Поставить двойственные задачи к задачам вариантов задания 2 главы 2 и решить их симплекс-методом с помощью общей сим-

плекс-таблицы. Сравнить ответы с полученными ранее результатами и проделать экономическую интерпретацию совместных решений.

Рекомендованная литература

1. Исследование операций в экономике: учебное пособие для бакалавров / Н. Ш. Кремер и др.; под ред. Н. Ш. Кремера. 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Юрайт, 2012. 430 с.

2. Шапкин А. С., Шапкин В. А. Математические методы и модели исследования операций: учебник. – М.: Дашков и Ко, 2012. 400 с.

3. Адамчук А. С., Амироков С. Р., Додонова И. В. Матричные модели и игры в экономике: учебное пособие. – Ставрополь: СевКавГТУ, 2005. – 158 с.

ГЛАВА 6

СВЕДЕНИЕ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ К ЗАДАЧЕ

ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Цель: ознакомить студентов с методикой постановки игровых задач и методами их решения. Студенты должны освоить метод сведения матричной игры к задаче линейного программирования.

В результате проработки темы студент должен научиться находить оптимальные стратегии игроков и цену игры.

Формируемые компетенции: ПК-11 – знание основных положений, законов и методов естественных наук; способность выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, готовность использовать для их решения соответствующий естественнонаучный аппарат; ОК-12 – способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности.

Актуальность темы: задачи теории игр позволяют провести поиск оптимальных решений в некоторых конфликтных ситуациях.

Теоретическая часть

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т. е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Для решения задач с конфликтными ситуациями разработаны математические методы теории игр.

6.1. Решение матричных игр

6.2. в чистых стратегиях

Матричная игра двух игроков с нулевой суммой может рассматриваться как следующая абстрактная игра двух игроков.

Первый игрок имеет m стратегий i = 1, 2, ..., m, второй имеет n стратегий j = 1, 2, ..., n. Каждой паре стратегий (i, j) поставлено в соответствие число аij, выражающее выигрыш игрока 1 за счγт игрока 2, если первый игрок примет свою i-ю стратегию, а 2 – свою j-ю стратегию.

Если рассмотреть матрицу:

a a a a

А =

æ ç

ç ç ç

ç ç

ç è

n1j11211

LLLLLLLLLLLL

÷ ÷

a a a a

inij2i1i

÷ ÷

LLLLLLLLLLLL

a aa a

mnmj2m1m

то проведение каждой партии матричной игры с матрицей А сводится к выбору игроком 1 i-й строки, а игроком 2 j-го столбца и получения игроком 1 (за счγт игрока 2) выигрыша аij.

Главным в исследовании игр является понятие оптимальных стратегий игроков. В это понятие интуитивно вкладывается такой смысл: стратегия игрока является оптимальной, если применение этой стратегии обеспечивает ему наибольший гарантированный выигрыш при всевозможных стратегиях другого игрока. Исходя из этих позиций, игрок 1 исследует матрицу выигрышей А следующим образом: для

каждого значения i (i = m,1 ) определяется минимальное значение вы- игрыша в зависимости от применяемых стратегий игрока 2:

min а

(i = m,1 ),

т. е. определяется минимальный выигрыш для игрока 1 при условии, что он примет свою i-ю чистую стратегию, затем из этих минимальных выигрышей отыскивается такая стратегия i = iо, при которой этот минимальный выигрыш будет максимальным, т. е. находится:

min а

max

a = a . (6.1)

ojo

Определение. Число a , определγнное по формуле (6.1), называется нижней чистой ценой игры и показывает, какой минимальный

выигрыш может гарантировать себе игрок 1, применяя свои чистые стратегии при всевозможных действиях игрока 2.

Игрок 2 при оптимальном своγм поведении должен стремиться по возможности за счγт своих стратегий максимально уменьшить выигрыш игрока 1. Поэтому для игрока 2 отыскивается

max

аij , т. е.

определяется max выигрыш игрока 1, при условии, что игрок 2 применит свою j-ю чистую стратегию, затем игрок 2 отыскивает такую свою j = j1 стратегию, при которой игрок 1 получит min выигрыш, т. е. находит:

min

max

aij =

a = a. (6.2)

j1i

Определение. Число a , определяемое по формуле (6.2), называется чистой верхней ценой игры и показывает, какой максимальный выигрыш за счγт своих стратегий может себе гарантировать игрок 1.

Таким образом, применяя свои чистые стратегии игрок 1 может обеспечить себе выигрыш не меньше a, а игрок 2 за счγт примене-

ния своих чистых стратегий может не допустить выигрыш игрока 1 больше, чем a .

Определение. Если в игре с матрицей А a = a , то говорят, что эта игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры:

u = a = a .

Седловая точка – это пара чистых стратегий (iо, jо) соответственно игроков 1 и 2, при которых достигается равенство a = a. В это понятие вложен следующий смысл: если один из игроков придер-

живается стратегии, соответствующей седловой точке, то другой игрок не сможет поступить лучше, чем придерживаться стратегии, соответствующей седловой точке.

6.2. Примеры задач с решениями

Пример 1. Игра «поиск». Игрок A может спрятаться в одном из двух убежищ (I и II); игрок B ищет игрока A, и если найдет, то получает штраф 1 ден. ед. от A, в противном случае платит игроку A 1 ден. ед. Необходимо построить платежную матрицу игры.

РЕШЕНИЕ

Для составления платежной матрицы следует проанализировать поведение каждого из игроков. Игрок A может спрятаться в убежище I (обозначим эту стратегию через A1) или в убежище II (стратегия A2).

Игрок B может искать первого игрока в убежище I (стратегия B1) либо в убежище II (стратегия B2). Если игрок A находится в убежище

I и там его обнаруживает игрок B, т. е. осуществляется пара страте-

æö

ç÷

èø

A= 0 5 4 0maxmina2,

гий (A1, B1), то игрок A платит штраф, т. е. α11 = –1. Аналогично получаем α22 = –1 (A2, B2). Очевидно, что стратегии (A1, B2) и (A2, B1) дают игроку A выигрыш 1, поэтому α12 = α21 = 1. Таким образом, для игры «поиск» размера 2 × 2 получаем платежную матрицу:

Пример 2

min a

---

1323

æöü ç÷ ç÷

ç÷

2 3 2 2

èøþ

14243

minmaxa2.

maxa2 5 4

ï ý

РЕШЕНИЕ

Исходя из (6.2), седловой элемент α

является минимальным в

iojo

iо-й строке и максимальным в jо-м столбце в матрице А. Отыскание седловой точки матрицы А происходит следующим образом: в матрице А последовательно в каждой строке находят минимальный элемент и проверяют, является ли этот элемент максимальным в своγм столбце. Если да, то он и есть седловой элемент, а пара стратегий, ему соответствующая, образует седловую точку. Пара чистых стратегий (iо, jо) игроков 1 и 2, образующая седловую точку и седловой элемент α

, называется решением игры. При этом iо и jо

iojo

называются оптимальными чистыми стратегиями игроков 1 и 2.

Седловой точкой является пара (iо = 3; jо = 1), при которой

u = a = a = 2.

Заметим, что хотя выигрыш в ситуации (3;3) также равен 2 = a = a , она не является седловой точкой, т. к. этот выигрыш не является

максимальным среди выигрышей третьего столбца.

6.3. Сведение матричной игры

к задаче линейного программирования

Обозначим через G (X, Y, А) игру двух лиц с нулевой суммой, в которой игрок 1 выбирает стратегию хÎХ, игрок 2 – yÎU, после чего игрок 1 получает выигрыш А = А (х, y) за счγт игрока 2.

Определение. Стратегия х1 игрока 1 доминирует (строго доминирует) над стратегией х2, если

А (х1, y) ³ А (х2, y), (А (х1, y)>А (х2, y)), yÎU, (6.3)

т. е. при первой стратегии его выигрыш всегда больше, чем при второй.

Стратегия y1 игрока 2 доминирует (строго доминирует) над стратегией y2, если

А (х, y1) £ А (х, y2), (А(х, y1) < А (х, y2)), хÎX, (6.4)

т. е. его проигрыш меньше при первой стратегии.

При этом стратегии х2 и y2 называются доминируемыми (строго

доминируемыми).

Спектром смешанной стратегии игрока в конечной антагони-

стической игре называется множество всех его чистых стратегий, вероятность которых, согласно этой стратегии, положительна.

Предположим, что цена игры положительна (u>0). Если это не так, то всегда можно подобрать такое число с, прибавление которого ко всем элементам матрицы выигрышей даγт матрицу с положительными элементами, и следовательно, с положительным значением цены игры. При этом оптимальные смешанные стратегии обоих игроков не изменяются.

Итак, пусть дана матричная игра с матрицей А порядка m × n. Согласно стратегиям игроков, оптимальные смешанные стратегии х = (х1, ..., хm), y = (y1, ..., yn) соответственно игроков 1 и 2 и цена игры u должны удовлетворять соотношениям:

ï ï

ï î

u³

iij

);n1,=(j xa

; 1x

(6.5)

; )m1,=(i ,0x

u£

jij

);m1,=(i ya

; 1y

(6.6)

. )n1,=(j ,0y

Разделим все уравнения и неравенства в (6.5) и (6.6) на u (это можно сделать, т. к. по предположению u > 0) и введγм обозначения:

)m,1i( =

)n,1j( =

Тогда (6.5) и (6.6) перепишутся в виде:

iij

1pa

1qa

jij

)m,1i( =

)n,1j( =

Поскольку первый игрок стремится найти такие значения хi и, следовательно, pi, чтобы цена игры u была максимальной, то реше-

ние первой задачи сводится к нахождению таких неотрицательных значений pi )m,1i( = , при которых:

minp

1pa

. (6.7)

iij

Поскольку второй игрок стремится найти такие значения yj и, следовательно, qj, чтобы цена игры u была наименьшей, то решение второй задачи сводится к нахождению таких неотрицательных зна-

чений q )n,1j( = , при которых:

maxq

1qa

å . (6.8)

jij

Формулы (6.7) и (6.8) выражают двойственные друг другу задачи линейного программирования (ЛП). Решив эти задачи, получим

значения pi )m,1i( = , qj )n,1j( = и u. Тогда смешанные стратегии, т. е. xi и yj получаются по формулам:

++®

++³

+³

ppp min;

pp2p1,

2p p1,

p1,

p,p,p0.

++®

qqq max;

q2q 1,

q +q1,

2qq 1,

q,q,q0.

),m1,=(i px

(6.9)

).n1,=(j qy

Пример 3. Найти решение игры, определяемой матрицей:

110

æ ç

A .

ç ç

ö ÷

010

÷ ÷

101

РЕШЕНИЕ

При решении этой игры к каждому элементу матрицы А прибавим 1 и получим следующую матрицу:

021

æ ç

ç è

ö ÷

101

÷ ÷

012

Составим теперь пару взаимно-двойственных задач:

123

ï ï

í ï ï

123

+£

ï ï

+£

ï ï

123

Решим вторую из них:

Б.п. q1 q2 q3 q4 q5 q6 Решение

-1 -1 -1

0 0 0 0

-3

Отношение

1 2 0 1 0 0 1 5 –

1 0 1 0 1 0 1 4

2 1 0 0 0 1 1 5 –

Б.п. q1 q2 q3 q4 q5 q6 Решение

0 0 1 0 1 1

-1

Отношение

q4 1 2 0 1 0 0 1 5

q3 1 0 1 0 1 0 1 4 –

q6 2 1 0 0 0 1 1 5

11 1=

Б.п. q1 q2 q3 q4 q5 q6 Решение

0 0

1 0

0 0

12 52

Отношение

1 0 1 0 1 0 1 4

0 0

- 12

0 1

12 52

Из оптимальной симплекс-таблицы следует, что

(q1, q2, q3) = (0;

; 1),

а из соотношений двойственности следует, что

(p1, p2, p3) = (

; 1; 0).

Следовательно, цена игры с платγжной матрицей А1 равна:

=u ,

ppp

321

qqq

321

а игры с платγжной матрицей А:

-=-=-u=u

При этом оптимальные стратегии игроков имеют вид:

Х = (х1, х2, х3) = (uр1; uр2; uр3) =

Y = (y1, y2, y3) = (uq1; uq2; uq3) =

100

;

ç è

æ ç

213

;

213

××× 1

××× 0

æ ç

;

0 ;

;

ö ÷

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]